1、第9节 圆锥曲线的综合问题,最新考纲 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.,知 识 梳 理,1.直线与圆锥曲线的位置关系,判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程，,(1)当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则： 0直线与圆锥曲线C_； 0直线与圆锥曲线C_； 0直线与圆锥曲线C_. (2)当a0，b0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时
2、，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是_；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是_.,相交,相切,相离,平行,平行或重合,2.圆锥曲线的弦长,微点提醒,1.直线与椭圆位置关系的有关结论 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； (2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切； (3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交. 2.直线与抛物线位置关系的有关结论 (1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点，两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线； (2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线； (3)过抛物线内
3、一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条与对称轴平行或重合的直线.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点.( ) (2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点.( ) (3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点.( ),解析 (2)因为直线l与双曲线C的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切.(3)因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切. 答案 (1) (2) (3) (4),2.(选修21P
4、88例4改编)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x0，过点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x0). 答案 C,3.(选修21P76A10改编)已知倾斜角为60的直线l通过抛物线x24y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦|AB|_.,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y214，|AB|y1y2p14216.,答案 16,4.(2019浙江八校联考)抛物线yax2与直线ykxb(k0)交于A，B两点，且这两
5、点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则( ) A.x3x1x2 B.x1x2x1x3x2x3 C.x1x2x30 D.x1x2x2x3x3x10,答案 B,答案 D,第1课时 最值、范围、证明问题,考点一 最值问题 多维探究 角度1 利用几何性质求最值,A.9，12 B.8，11 C.8，12 D.10，12,解析 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|PB|2a10，连接PA，PB分别与圆相交于两点，此时|PM|PN|最小，最小值为|PA|PB|2R8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于两点，此时|PM|PN|最大，最大值为|PA
6、|PB|2R12，即最小值和最大值分别为8，12.,答案 C,角度2 利用基本不等式或二次函数求最值 【例12】 (2018郑州二模)已知动圆E经过点F(1，0)，且和直线l：x1相切. (1)求该动圆圆心E的轨迹G的方程； (2)已知点A(3，0)，若斜率为1的直线l与线段OA相交(不经过坐标原点O和点A)，且与曲线G交于B，C两点，求ABC面积的最大值.,解 (1)由题意可知点E到点F的距离等于点E到直线l的距离，动点E的轨迹是以F(1，0)为焦点，直线x1为准线的抛物线，故轨迹G的方程是y24x. (2)设直线l的方程为yxm，其中3m0，C(x1，y1)，B(x2，y2)，,规律方法
7、圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何方法，即通过利用 圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.,解 (1)由已知，得|PF1|PF2|2a， |PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 604c2， 即|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|4c2，,(2)根据题意可知直线MN的斜率存在，且不为0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为xmy4， 代入椭圆方程，整理得(3m24)y2
8、24my360， 则(24m)2436(3m24)0，所以m24.,则MNF1的面积SMNF1|SNTF1SMTF1|,考点二 范围问题 【例2】 (2018浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.,规律方法 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，
9、从而求出参数的取值范围； (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.,又a2b2c2，b1，a2，,依题意，(8km)24(4k21)(4m24)0， 化简得m24k21，,y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.,(4k25)x1x24km(x1x2)4m20，,即(4k25)(m21)8k2m2m2(4k21)0，,考点三 证明问题,(2)解 由题意得F(1，0).设P(x3，y3)， 则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0，0). 由(1)及题设得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0.,规
10、律方法 圆锥曲线中的证明问题常见的有： (1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等. (2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等. 在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，但有时也会用反证法证明.,【训练3】 (2019合肥模拟)如图，圆C与x轴相切于点T(2，0)，与y轴正半轴相交于两点M，N(点M在点N的下方)，且|MN|3.,(1)解 设圆C的半径为r(r0)，依题意，圆心C的坐标为(2，r).,即点M(0，1)，N(0，4). 当ABx轴时，可知ANMBNM0. 当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为ykx1.,所以ANMBNM. 综合知ANMBNM.,
