1、2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上,用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准
2、使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式:样本数据x1,x2,xn的方差s2=1n(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2,其中x表示样本均值.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015广东,理1)若集合M=x|(x+4)(x+1)=0,N=x|(x-4)(x-1)=0,则MN=()A.1,4B.-1,-4C.0D.答案:D解析:由题意
3、知集合M=-4,-1,N=4,1,M和N没有相同的元素.故MN=.2.(2015广东,理2)若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则z=()A.2-3iB.2+3iC.3+2iD.3-2i答案:A解析:因为z=i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,所以z=2-3i.3.(2015广东,理3)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y=1+x2B.y=x+1xC.y=2x+12xD.y=x+ex答案:D解析:根据函数奇偶性的定义,易知函数y=1+x2,y=2x+12x为偶函数,y=x+1x为奇函数,所以排除选项A,B,C.故选D.4.(2015广东,理4)袋中共有15个除了颜色外
4、完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为()A.521B.1021C.1121D.1答案:B解析:从15个球中任取2个球,其中白球的个数服从超几何分布,根据超几何分布的概率公式,得所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为C101C51C152=105157=1021.5.(2015广东,理5)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()A.2x+y+5=0或2x+y-5=0B.2x+y+5=0或2x+y-5=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+5=0或2x-y-5=0答案:A解析:设与
5、直线2x+y+1=0平行的直线方程为2x+y+m=0(m1),因为直线2x+y+m=0与圆x2+y2=5相切,即点(0,0)到直线2x+y+m=0的距离为5,所以|m|5=5,|m|=5.故所求直线的方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.6.(2015广东,理6)若变量x,y满足约束条件4x+5y8,1x3,0y2,则z=3x+2y的最小值为()A.4B.235C.6D.315答案:B解析:作出题中约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,由z=3x+2y可得y=-32x+z2.z2指的是直线y=-32x+z2在y轴上的截距,根据图形可知当直线y=-32x+z2通过点A时,可使z2取得最小值
6、,即z取得最小值.易知点A的坐标为1,45,所以zmin=31+245=235.7.(2015广东,理7)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1的离心率e=54,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为()A.x24-y23=1B.x29-y216=1C.x216-y29=1D.x23-y24=1答案:C解析:因为双曲线C的右焦点为F2(5,0),所以c=5.因为离心率e=ca=54,所以a=4.又a2+b2=c2,所以b2=9.故双曲线C的方程为x216-y29=1.8.(2015广东,理8)若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值()A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D
7、.大于5答案:B解析:特殊值法.当n=3时,正三角形的三个顶点之间两两距离相等,故n=3符合;当n=4时,联想正四面体的四个顶点之间两两距离相等,故n=4符合.由此可以排除选项A,C,D.故选B.二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(913题)9.(2015广东,理9)在(x-1)4的展开式中,x的系数为.答案:6解析:该二项展开式的通项为Tr+1=C4r(x)4-r(-1)r,当x的指数为1时,4-r=2,解得r=2.故T3=C42(x)2(-1)2=6x,即x的系数为6.10.(2015广东,理10)在等差数列an中,若a3+a4+a5+a6+a
8、7=25,则a2+a8=.答案:10解析:根据等差数列的性质,得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,解得a5=5.又a2+a8=2a5,所以a2+a8=10.11.(2015广东,理11)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=3,sin B=12,C=6,则b=.答案:1解析:由sin B=12解得B=6或B=56.根据三角形内角和定理,舍去B=56,所以B=6,A=23.根据正弦定理asinA=bsinB,得3sin23=bsin6,解得b=1.12.(2015广东,理12)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数
9、字作答)答案:1 560解析:该问题是一个排列问题,故共有A402=4039=1 560条毕业留言.13.(2015广东,理13)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p=.答案:13解析:根据二项分布的均值、方差公式,得E(X)=np=30,D(X)=np(1-p)=20,解得p=13.(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)14.(2015广东,理14)(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为2sin-4=2,点A的极坐标为A22,74,则点A到直线l的距离为.答案:522解析:2sin-4=2,即2sin cos4-2cos si
10、n4=2,将其化为直角坐标方程为y-x=1.又点A的直角坐标为22cos74,22sin74=(2,-2),所以点A(2,-2)到直线y-x=1的距离d=52=522.15.(2015广东,理15)(几何证明选讲选做题)如图,已知AB是圆O的直径,AB=4,EC是圆O的切线,切点为C,BC=1,过圆心O作BC的平行线,分别交EC和AC于点D和点P,则OD=.答案:8解析:设OD交劣弧AC于点M,由OPBC,得OP=12,P为AC的中点,PM=32.由切割线定理得DC2=DM(DM+4).在ABC中,AC为直角边,且AC=AB2-BC2=42-12=15,所以CP=152.在RtDCP中,DC2
11、=(DM+PM)2+CP2,联立可求得DM=6,所以OD=8.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(2015广东,理16)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=22,-22,n=(sin x,cos x),x0,2.(1)若mn,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为3,求x的值.解:(1)m=22,-22,n=(sin x,cos x),且mn,mn=22,-22(sin x,cos x)=22sin x-22cos x=sinx-4=0.又x0,2,x-4-4,4.x-4=0,即x=4.tan x=tan4=1.(2)
12、由(1)和已知得cos3=mn|m|n|=sinx-4222+-222sin2x+cos2x=sinx-4=12,又x-4-4,4,x-4=6,即x=512.17.(本小题满分12分)(2015广东,理17)某工厂36名工人的年龄数据如下表:工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄140103619272834244113120432939340123821413043441133922373138533144323343242640154524423353745163925373437842173826443549943183627423639(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量
13、为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;(2)计算(1)中样本的均值x和方差s2;(3)36名工人中年龄在x-s与x+s之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到0.01%)?解:(1)依题意知所抽取的样本编号是一个首项为2,公差为4的等差数列,故其所有样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34,对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)由(1)可得其样本的均值x=44+40+36+43+36+37+44+43+379=40,方差s2=19(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(
14、43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2=1942+02+(-4)2+32+(-4)2+(-3)2+42+32+(-3)2=1009.(3)由(2)知s=103,所以x-s=3623,x+s=4313.因为年龄在x-s与x+s之间共有23人,所以其所占的百分比是233663.89%.18.(本小题满分14分)(2015广东,理18)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3,点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.(1)证明:PEFG;(
15、2)求二面角P-AD-C的正切值;(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.(1)证明:PD=PC,且点E为CD边的中点,PEDC.又平面PDC平面ABCD,且平面PDC平面ABCD=CD,PE平面PDC,PE平面ABCD.又FG平面ABCD,PEFG.(2)解:四边形ABCD是矩形,ADDC.又平面PDC平面ABCD,且平面PDC平面ABCD=CD,AD平面ABCD,AD平面PDC.PD平面PDC,ADPD.PDC即为二面角P-AD-C的平面角.在RtPDE中,PD=4,DE=12AB=3,PE=PD2-DE2=7,tanPDC=PEDE=73,即二面角P-AD-C的正切值为73.(3)解:
16、如图所示,连接AC,AF=2FB,CG=2GB,即AFFB=CGGB=2,ACFG,PAC即为直线PA与直线FG所成的角或其补角.在PAC中,PA=PD2+AD2=5,AC=AD2+CD2=35.由余弦定理可得cosPAC=PA2+AC2-PC22PAAC=52+(35)2-422535=9525,直线PA与直线FG所成角的余弦值为9525.19.(本小题满分14分)(2015广东,理19)设a1,函数f(x)=(1+x2)ex-a.(1)求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)在(-,+)上仅有一个零点;(3)若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP
17、平行(O是坐标原点),证明:m3a-2e-1.解:(1)由题意可知函数f(x)的定义域为R,f(x)=(1+x2)ex+(1+x2)(ex)=(1+x)2ex0,故函数f(x)的单调递增区间为(-,+),无单调递减区间.(2)a1,f(0)=1-a1+a2-a2a-a=a0.函数f(x)在区间(0,a)上存在零点.又由(1)知函数f(x)在(-,+)上单调递增,函数f(x)在(-,+)上仅有一个零点.(3)由(1)及f(x)=0,得x=-1.又f(-1)=2e-a,即P-1,2e-a,kOP=2e-a-0-1-0=a-2e.又f(m)=(1+m)2em,(1+m)2em=a-2e.令g(m)=
18、em-m-1,则g(m)=em-1,由g(m)0,得m0,由g(m)0,得m0.函数g(m)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增.g(m)min=g(0)=0,即g(m)0在R上恒成立,即emm+1.a-2e=(1+m)2em(1+m)2(1+m)=(1+m)3,即3a-2e1+m.故m3a-2e-1.20.(本小题满分14分)(2015广东,理20)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值
19、范围;若不存在,说明理由.解:(1)由x2+y2-6x+5=0,得(x-3)2+y2=4,从而可知圆C1的圆心坐标为(3,0).(2)设线段AB的中点M(x,y),由弦的性质可知C1MAB,即C1MOM.故点M的轨迹是以OC1为直径的圆,该圆的圆心为C32,0,半径r=12|OC1|=123=32,其方程为x-322+y2=322,即x2+y2-3x=0.又因为点M为线段AB的中点,所以点M在圆C1内,所以(x-3)2+y253.易知x3,所以53x3.所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为x2+y2-3x=053x3.(3)存在实数k满足题意.由(2)知点M的轨迹是以C32,0为圆心,32为半
20、径的圆弧EF(如图所示,不包括两个端点),且E53,253,F53,-253.又直线L:y=k(x-4)过定点D(4,0),当直线L与圆C相切时,由k32-4-0k2+1=32,得k=34.又kDE=-kDF=-0-2534-53=257,结合上图可知当k-34,34-257,257时,直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点.21.(本小题满分14分)(2015广东,理21)数列an满足:a1+2a2+nan=4-n+22n-1,nN*.(1)求a3的值;(2)求数列an的前n项和Tn;(3)令b1=a1,bn=Tn-1n+1+12+13+1nan(n2),证明:数列bn的前n项和Sn满
21、足Sn2+2ln n.解:(1)依题意知3a3=(a1+2a2+3a3)-(a1+2a2)=4-3+223-1-4-2+222-1=34,即a3=14.(2)当n2时,nan=(a1+2a2+nan)-a1+2a2+(n-1)an-1=4-n+22n-1-4-n+12n-2=n2n-1,an=12n-1.又a1=4-1+220=1也适合此式,an=12n-1,即数列an是首项为1,公比为12的等比数列.故Tn=1-12n1-12=2-12n-1.(3)由bn=a1+a2+an-1n+1+12+1nan,且b1=a1,知b2=a12+1+12a2,b3=a1+a23+1+12+13a3,Sn=b1+b2+bn=1+12+1n(a1+a2+an)=1+12+1nTn=1+12+1n2-12n-11),则f(x)=1x-1x2=x-1x20,f(x)在(1,+)上是增函数,又f(1)=0,即在(1,+)上f(x)0.又k2,且kN*时,kk-11,fkk-1=ln kk-1+1kk-1-10,即ln kk-11k.12ln 21,13ln 32,1nln nn-1,即有12+13+1nln 21+ln 32+ln nn-1=ln n.21+12+13+1n2+2ln n,即Sn2+2ln n.
