1、第四章第四章 功和能功和能4.2 动能定理动能定理4.3 保守力功与势能保守力功与势能4.4 功能原理功能原理机械能守恒定律机械能守恒定律4.1 功功大海的能量大海的能量 (冲浪冲浪)太阳能飞机太阳能飞机讨论讨论：力在空间的积累效应：力在空间的积累效应功，动功，动能、势能、动能定理、能量守恒定律能、势能、动能定理、能量守恒定律等。等。1 功和功率功和功率一、恒力做功一、恒力做功 直线运动直线运动rFSFA记作MMFF S位移无限小时：位移无限小时：dA称为元功称为元功功等于质点受的力和它的位移的点积功等于质点受的力和它的位移的点积(标积标积)rdFdAA=Fcos S二、变力做功二、变力做功
2、曲线运动曲线运动如果力是位置如果力是位置(时间）的函数，质时间）的函数，质点在力的作用下沿一曲线运动，点在力的作用下沿一曲线运动，则功的计算如下：则功的计算如下：元功：元功：abFrd元位移：元位移：rd在元位移在元位移 中将力中将力视为恒力视为恒力rdrdFdAbadAAbardF从从a a到到b b，力对质点做功：，力对质点做功：cosbaF dr在上述力作用下沿曲线由在上述力作用下沿曲线由a运动到运动到b解析式：解析式：bayxdyFdxFA)(质点同时受到质点同时受到N个力作用：个力作用：NFFF,21 合力合力 对质点做的功为：对质点做的功为：F babaNabrdFFFrdFA)(
3、21 bababaNr dFr dFr dF21NabababAAA 21合力的功等于各分力沿同一路径所合力的功等于各分力沿同一路径所做的功的代数和做的功的代数和讨论讨论1）A是标量是标量 但有但有正负正负：取决于力与位移：取决于力与位移的的夹角夹角。2）功是过程量）功是过程量-反映力在空间过程中的积反映力在空间过程中的积累作用。累作用。3）合力的功为各分力的功的代数和。）合力的功为各分力的功的代数和。4）功与）功与参考系参考系有关。有关。单位：单位：J 量纲：量纲：ML2T2 功的其它单位：功的其它单位：1eV=1.610-19J 1erg10-7J三、功率：三、功率：tAP 平平均均功功率
4、率：瞬时功率：rdFdA力在单位时间内所作的功力在单位时间内所作的功dtdAtAlimPt0vFdtrdFP单位：单位：W或或Js-1 量纲：量纲：ML2T3解解：dxFAbaxdxx100)54(J)290例例1：某质点在力：某质点在力 的作用下沿的作用下沿x轴做直线运动，轴做直线运动，求在从求在从x=0移到移到x=10m的的过程中，力过程中，力 所做的功。所做的功。ixF54F例例2、质量为、质量为 2 kg 的质点的质点在在 (SI)力力i tF 12的作用下，从静止出发，沿的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运轴正向作直线运动。求前三秒内该力所作的功。动。求前三秒内该力所作的功。12
5、WF drtvdt23tv JtdttdtttW7299363124303302例例3 3.一质点在如图所示的坐标平面内作圆周一质点在如图所示的坐标平面内作圆周运动，有一力运动，有一力 作用在质点作用在质点上在该质点从坐标原点运动到上在该质点从坐标原点运动到(0(0，2 2R R)位位置过程中，力置过程中，力 对它所作的功为多少？对它所作的功为多少？)(0j yi xFFF x y R O.()bbxyaaAF drF dxF dy例例4 如图，水平桌面上有质点如图，水平桌面上有质点 m，桌面的摩，桌面的摩擦系数为擦系数为 求：两种情况下摩擦力作的功求：两种情况下摩擦力作的功 rfAbasab
6、d圆弧mRab rdbasfRmgRmgrfAsab2直径1）沿圆弧（）沿圆弧（ab）；）；2）沿直径（）沿直径（ab）sfrd)()(bassfd摩擦力的功与路径有关摩擦力的功与路径有关解：解：一定是负的吗？一定是负的吗？2 动能定理动能定理一、质点的动能定理一、质点的动能定理BAABvdtdtdvmA BAABrdFAvdtdsrd BArdFBArdamdtdva 222121ABvvmvmvvdvmBA合外力对物体做功能改变质点的运动，在合外力对物体做功能改变质点的运动，在数量上和功相应的是数量上和功相应的是 这个量的改变。这个量的改变。221mv单位：单位：J 量纲：量纲：ML2T2
7、 在一空间过程中，在一空间过程中，合外力合外力对质点所做的功等于对质点所做的功等于质点动能的增量。质点动能的增量。定义：定义：Ek=mv2/2 为质点的动能为质点的动能 AAB=EKB-EKAmpmvEk22122动能定理动能定理KEAEk状态量状态量 动能是否依赖于参考系动能是否依赖于参考系?1、动能是状态量，任一运动状态对应一定的、动能是状态量，任一运动状态对应一定的动能。动能。2、EK=EKB-EKA为动能的增量，增量可正可为动能的增量，增量可正可负，视功的正负而变。负，视功的正负而变。3、动能是质点因运动而具有的做功本领。、动能是质点因运动而具有的做功本领。说明说明二、质点系的二、质点
8、系的动能定动能定理理两个质点两个质点组成的质点系：组成的质点系：m1 m2内力：内力：初速度：初速度：21 FFAAvv21 111111111 :BABArdfrdFm外力：外力：末速度：末速度：21 ffBBvv21 222222222 :BABArdfrdFm2112112121ABvmvm2222222121ABvmvm1F2F1m2m1f2f1A1B2B2A两式相加得：两式相加得：2211221122112211 BABABABArdfrdfrdFrdF即：所有外力的功之和所有内力的功之和即：所有外力的功之和所有内力的功之和 系统末动能系统初动能系统末动能系统初动能记作：记作：A外外
9、A内内EKB-EKA）（22221122221121212121AABBvmvmvmvm质点系的动质点系的动能定理能定理注意：内力能改变系统的注意：内力能改变系统的总动能总动能，但，但不能改变系统的不能改变系统的总动量总动量。上述结论可以推广到任意多个质点上述结论可以推广到任意多个质点组成的质点系组成的质点系思考：思考：为什么为什么内力内力之和之和一定一定为零，而为零，而 内力作功内力作功之和之和不一定不一定为零呢？为零呢？例：炸弹爆炸例：炸弹爆炸例例4、一链条总长为、一链条总长为l，质量为，质量为m。放在桌面上并使其。放在桌面上并使其下垂，下垂的长度为下垂，下垂的长度为a，设链条与桌面的滑动
10、摩擦系数，设链条与桌面的滑动摩擦系数为为，令链条从静止开始运动，则：（，令链条从静止开始运动，则：（1）到链条离开）到链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？（桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？（2）链条）链条离开桌面时的速率是多少？离开桌面时的速率是多少？al-a xO解：解：(1)建坐标系如图建坐标系如图()lfamgAf drlx dxl负号说明：负号说明：摩擦力作负摩擦力作负功！功！lxlmgf/)(22)(2)21(allmgxlxlmglafrd(2)对链条应用动能定理：对链条应用动能定理：2022121:mvmvAAAfP据21222)()(alallgv得20210m
11、vAAvfPlalmgxdxlmgrdPAlalaP2)(22lalmgAf2)(2前已得出：前已得出：2222212)(2)(mvlalmglalmg m1m2f2f1A2A1B2B1一对力的功一对力的功m1、m2组成一个封闭系统组成一个封闭系统2121rdfrdfdA一对力所做功之和一对力所做功之和内力成对出现，属一对作用力反作用力内力成对出现，属一对作用力反作用力讨论一对力作功之和的特点与计算方法讨论一对力作功之和的特点与计算方法or1r2dr1dr22112rrr)(122rdrdfdA21ff212rdfdA)(122rrdfor1r2 m1m2dr1dr2f2f1A2A1B2B1r
12、21212rdfdAABABAAB2121rdfrdfdA一对力所做功之和一对力所做功之和一对力做功只决定于质点间的相对位移，一对力做功只决定于质点间的相对位移，和参考系的选取无关和参考系的选取无关。所以可用下述所以可用下述方法方法计算计算一对力一对力的功：认为其中的功：认为其中一个质点静止以它所在位置为坐标原点，计算一个质点静止以它所在位置为坐标原点，计算另一质点在此坐标系运动时所受的内力所做的另一质点在此坐标系运动时所受的内力所做的功。这样用一个力计算出来的功，也就等于相功。这样用一个力计算出来的功，也就等于相应的一对力所做的功。应的一对力所做的功。例例:重力的功重力的功中学已使用过这个结
13、论。如：中学已使用过这个结论。如：一对正压力的功一对正压力的功21AAAdddmMmrNd0一对滑动摩擦力作功一对滑动摩擦力作功mMrrfAdmMrrfd 0 0总功一定减少体系的动能总功一定减少体系的动能MmmNrfmMrd中学熟知的例子中学熟知的例子使用这些结果时，思考过是一对力作功之和吗？使用这些结果时，思考过是一对力作功之和吗？一、一、保守力保守力 两个质点之间的引力两个质点之间的引力rrmGmf3212BAABrfAd2BArrrrmGmd2211211()ABBAAGm mrr如果一对力做功与相对路径的形状无关，而只决定于相如果一对力做功与相对路径的形状无关，而只决定于相互作用的质
14、点的互作用的质点的始末相对位置始末相对位置，这样一对力就叫，这样一对力就叫保守力保守力。（一对力的功）（一对力的功）rAB1m2mArBrBArrmGmdr3213 保守力的功与势能保守力的功与势能保守力沿任意闭合路径做的功必然是零保守力沿任意闭合路径做的功必然是零0d rfm1 m2Lfr 重力作功重力作功222121baabkxkxAbaabmghmghA弹性力的功弹性力的功 kmoxaxbx二、势能二、势能在保守力场，可引入一个只与两质点相对位在保守力场，可引入一个只与两质点相对位置有关的函数，置有关的函数，势能函数势能函数。PE bABPaPbaAflEE保d保守力做功与保守力做功与势
15、能的关系势能的关系若选末态为若选末态为势能零点势能零点0pbEABaPaArfEd势能参考点保)(任意状态任意状态A的势能为：的势能为：势能零点可根据需要任意选取，对不同的势能零点可根据需要任意选取，对不同的势能零点，势能不同，势能差是一定的。势能零点，势能不同，势能差是一定的。pE 三三.常见的几种保守力和相应的势能常见的几种保守力和相应的势能地面为势能零点地面为势能零点mghEP1)重力势能重力势能2)弹性势能弹性势能221kxEP以弹簧原长为以弹簧原长为势能零点势能零点3)万有引力势能万有引力势能rMmGEP以无限远为以无限远为势能零点势能零点讨论讨论1、只要有保守力，就可引入相应的势能
16、。、只要有保守力，就可引入相应的势能。2、势能仅有、势能仅有相对相对意义意义,计算势能必须规定零势计算势能必须规定零势能参考点。能参考点。3、保守力所做的功可用相应势能增量的负、保守力所做的功可用相应势能增量的负值来表示，即值来表示，即A保内保内-（EPBEPA）。4、势能是属于具有保守力相互作用的质点、势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的。系统的。例例.设两粒子之间的相互作用力为排斥力，设两粒子之间的相互作用力为排斥力，其变化规律为其变化规律为 ，k k为常数。若取无为常数。若取无穷远处为零势能参考位置，试求两粒子穷远处为零势能参考位置，试求两粒子相距为相距为r r时的势能。（时的势能。
17、（从定义出发从定义出发）3rkf 例例：一弹簧原长：一弹簧原长l0=0.1m，倔强系数，倔强系数k=50N/m，其一端固定在半径为其一端固定在半径为R=0.1m的半圆环的端点的半圆环的端点A，另一端与一套在半圆环上的小环相连。在把小环另一端与一套在半圆环上的小环相连。在把小环由半圆环中点由半圆环中点B移到另一端移到另一端C的过程中，弹簧的的过程中，弹簧的拉力对小环所做的功为拉力对小环所做的功为 JBRAOc-0.207提示提示：)21()E-(EP1P2212221kxkxA RlRx12201RlRx0221、质点系的功能原理、质点系的功能原理质点系的动能定理：质点系的动能定理：A外外+A内
18、内=EkB-EkA因为因为 A内内=A保内保内A非保内非保内所以所以 A外外+A保内保内A非保内非保内=EkB-EkA 又因为又因为 A保内保内-（EPBEPA）所以所以 A外外 A非保内非保内(EkB+EPB)-(EkA+EPA)即即 A外外 A非保内非保内EB-EA质点系在运动过程中，它所受质点系在运动过程中，它所受外力外力的功与系统内的功与系统内非保非保守力守力的功的总和等于它的机械能的增量的功的总和等于它的机械能的增量-功能原理功能原理。4 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律2、机械能守恒定律、机械能守恒定律A外外0A非保内非保内0则则EB EA常量常量如果如果在只有在只有
19、保守内力保守内力做功的情况下，质点系的机做功的情况下，质点系的机械能保持不变。械能保持不变。3、能量守恒定律、能量守恒定律一个封闭系统内经历任何变化时，该系统的所有能一个封闭系统内经历任何变化时，该系统的所有能量的总和保持不变。这是普遍的能量守恒定律。量的总和保持不变。这是普遍的能量守恒定律。4、守恒定律的特点及其应用、守恒定律的特点及其应用动量守恒：动量守恒：角动量守恒：角动量守恒：机械能守恒：机械能守恒：特点和优点：不追究过程细节而能对系统的状态下特点和优点：不追究过程细节而能对系统的状态下结论。结论。0外外F 0外外M00 非保内非保内外外，AA碰撞过程：碰撞过程：完全非弹性碰撞（碰后合
20、在一起）：完全非弹性碰撞（碰后合在一起）：动量守恒，动能不守恒动量守恒，动能不守恒完全弹性碰撞：完全弹性碰撞：动量守恒，动能守恒动量守恒，动能守恒第第4章结束章结束如：对质点组有以下几种说法：如：对质点组有以下几种说法：（1）质点组总动量的改变与内力无关）质点组总动量的改变与内力无关 （2）质点组总动能的改变与内力无关）质点组总动能的改变与内力无关 （3）质点组机械能的改变与保守内力无关）质点组机械能的改变与保守内力无关在上述说法中：在上述说法中：（A）只有（只有（1）是正确的）是正确的（B）（1）（）（3）是正确的）是正确的（C）（1）（）（2）是正确的）是正确的（D）（2）（）（3）是正确
21、的）是正确的B例：对功的概念有以下几种说法：例：对功的概念有以下几种说法：(1)(1)保守力作正功时系统内相应的势能增加保守力作正功时系统内相应的势能增加.(2)(2)质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零功为零.(3)(3)作用力与反作用力大小相等、方向相反，所以作用力与反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作的功的代数合必为零两者所作的功的代数合必为零在上述说法中：在上述说法中：C (A)(A)(1)(1)、(2)(2)是正确的是正确的(B)(B)(2)(2)、(3)(3)是正确的是正确的(C)(C)只有只有(2)(2)是正确的是正确的(D)(D
22、)只有只有(3)(3)是正确的是正确的B又如：两质量分别为又如：两质量分别为m1、m2的小球，用的小球，用一倔强系数为一倔强系数为k的轻弹簧相连，放在水的轻弹簧相连，放在水平光滑桌面上，如图所示。今以等值反平光滑桌面上，如图所示。今以等值反向的力分别作用于两小球时，若以两小向的力分别作用于两小球时，若以两小球和弹簧为系统，则系统的球和弹簧为系统，则系统的（A）动量守恒，机械能守恒动量守恒，机械能守恒（B）动量守恒，机械能不守恒动量守恒，机械能不守恒（C）动量不守恒，机械能守恒动量不守恒，机械能守恒（D）动量不守恒，机械能不守恒动量不守恒，机械能不守恒FFD如图所示，有一个小块物体，置于如图所示
23、，有一个小块物体，置于一个光滑的水平桌面上，有一绳其一个光滑的水平桌面上，有一绳其一端连接此物体，另一端穿过桌面一端连接此物体，另一端穿过桌面中心的小孔，该物体原以角速度中心的小孔，该物体原以角速度w w在距孔为在距孔为R的圆周上转动，今将绳的圆周上转动，今将绳从小孔缓慢往下拉。则物体从小孔缓慢往下拉。则物体（A）动能不变，动量改变动能不变，动量改变（B）动量不变，动能改变动量不变，动能改变（C）角动量不变，动量不变角动量不变，动量不变（D）角动量不变，动能、动量都改变角动量不变，动能、动量都改变R例例.如图所示，圆锥摆的小球在水如图所示，圆锥摆的小球在水平面内作匀速率圆周运动，判断平面内作匀
24、速率圆周运动，判断下列说法中正确的是下列说法中正确的是（A）重力和绳子的张力对小球都不作功。）重力和绳子的张力对小球都不作功。（B）重力和绳子的张力对小球都作功。）重力和绳子的张力对小球都作功。（C）重力对小球作功，绳子张力对小球不作功。）重力对小球作功，绳子张力对小球不作功。（D）重力对小球不作功，绳子张力对小球作功。）重力对小球不作功，绳子张力对小球作功。A A 练习练习.一质量为一质量为 mm 的质点的质点,在半径为在半径为 R 的半球形容器的半球形容器中中,由静止开始自边缘上的由静止开始自边缘上的 A 点滑下点滑下,到达最低点到达最低点 B 时时,它对容器的正压力数值为它对容器的正压力
25、数值为 N,则质点自则质点自 A 滑到滑到 B 的过的过程中程中,摩擦力对其做的功为摩擦力对其做的功为:A ,2/)(C)(mgNR,2/)3()A(mgNR,2/)3()B(NmgR。2/)2()(DmgNRoABR221mvAAfpRvmmamgNn2可利用动能定理求解可利用动能定理求解质量为质量为m m的轮船在水中行驶，停机时的速度的轮船在水中行驶，停机时的速度大小为大小为v v0 0，水的阻力为，水的阻力为kvkv（k k为常数），为常数），求停机后轮船滑行求停机后轮船滑行L L距离的过程中水的阻力距离的过程中水的阻力作的功？作的功？功的定义式功的定义式或动能定理或动能定理作业：作业：
26、P P1313 3 3RMm例：有一面为例：有一面为1/41/4凹圆柱面（半径凹圆柱面（半径R R）的物体（质量）的物体（质量M M）放置在光滑水平面，一小球（质量）放置在光滑水平面，一小球（质量m m），从静止），从静止开始沿圆面从顶端无摩擦下落（如图）。求：开始沿圆面从顶端无摩擦下落（如图）。求：1 1）小球飞离大物体时球和槽的速度各是多少？小球飞离大物体时球和槽的速度各是多少？2 2）求）求下滑的过程当中，物体对槽做的功。下滑的过程当中，物体对槽做的功。1 1）水平方向动量守恒）水平方向动量守恒机械能守恒机械能守恒221122mgRMVmv0mvMVmMMgRv2)(2mMMgRmV槽对
27、物体做的功？槽对物体做的功？例例:质量为质量为m的小块物体，置于的小块物体，置于一光滑水平桌面上。有一绳一一光滑水平桌面上。有一绳一端连接此物，另一端穿过桌面端连接此物，另一端穿过桌面中心的小孔（如图所示）。该中心的小孔（如图所示）。该物体原以角速度物体原以角速度 在距孔在距孔 的圆的圆周上转动。今将绳从小孔缓慢周上转动。今将绳从小孔缓慢往下拉，使该物体的转动半径往下拉，使该物体的转动半径由由 减少为减少为 。向下拉的速。向下拉的速度为度为v，求下拉过程中拉力所做，求下拉过程中拉力所做的功。的功。0w0r0r02/1rF解：由角动量守恒解：由角动量守恒000021rvmrvm2022121mv
28、mvAB222vvvB由质点的动能定理由质点的动能定理小球对桌面的总速度小球对桌面的总速度02vv 220202202022212321232121mvmrmvmvmvvvmAw光滑水平面上有一轻弹簧，倔强系数为光滑水平面上有一轻弹簧，倔强系数为k=100N/mk=100N/m，弹簧一端固定在，弹簧一端固定在O O点，另一端拴点，另一端拴一个质量为一个质量为1kg1kg的物体，弹簧初始时处于自的物体，弹簧初始时处于自然长度为然长度为l l0 0=0.2m=0.2m，物体速度为，物体速度为v v0 05m/s5m/s方向方向与弹簧垂直，以后某一时刻，弹簧长度与弹簧垂直，以后某一时刻，弹簧长度l=
29、0.5ml=0.5m，求该时刻物体的速度大小，以及速，求该时刻物体的速度大小，以及速度与度与l l方向的夹角方向的夹角 lvl00v机械能守恒机械能守恒角动量守恒角动量守恒4.4.轻且不可伸长的线悬挂质量为轻且不可伸长的线悬挂质量为500g500g的圆柱的圆柱体圆柱体又套在可沿水平方向移动的框架体圆柱体又套在可沿水平方向移动的框架内，框 架 槽 沿 铅 直 方 向 框 架 质 量 为内，框 架 槽 沿 铅 直 方 向 框 架 质 量 为200g200g自悬线静止于铅直位置开始，框架在自悬线静止于铅直位置开始，框架在水平力水平力F F=20.0N=20.0N作用下移至图中位置，求圆柱作用下移至图
30、中位置，求圆柱体的速度，线长体的速度，线长20cm20cm，不计摩擦，不计摩擦作业册作业册 P P1414 4 4物体在槽内上下可动，重力物体在槽内上下可动，重力只对圆柱做功只对圆柱做功例：两个自由质点，其质量分别为例：两个自由质点，其质量分别为m1和和m2，它，它们之间的相互作用符合万有引力定律。开始时，们之间的相互作用符合万有引力定律。开始时，两质点间的距离为两质点间的距离为l，它们都处于静止状态，试，它们都处于静止状态，试求当它们的距离变为求当它们的距离变为l/2时，两质点的速度各为时，两质点的速度各为多少？多少？解：解：系统的动量和机械能均守恒系统的动量和机械能均守恒02211vmvm
31、lmGmvmvmlmGm21222211212212121212mmlGmv21122mmlGmv三章作业三章作业 P P9 9 2 2 例例：有一倔强系数为：有一倔强系数为k的轻弹簧，原长为的轻弹簧，原长为l0，将它，将它掉在天花板上，当它下端挂一托盘平衡时，其长掉在天花板上，当它下端挂一托盘平衡时，其长度变为度变为l1，然后托盘中放一重物，弹簧长度变为，然后托盘中放一重物，弹簧长度变为l2，则由则由l1伸长至伸长至l2的过程中，弹簧弹性力所做的功为的过程中，弹簧弹性力所做的功为（以弹簧原长处为坐标原点）（以弹簧原长处为坐标原点）21(A)llkxdx 0201(C)llllkxdx 21(
32、B)llkxdx 0201(D)llllkxdxC已知已知l长的绳端拴一质量长的绳端拴一质量m的小球的小球(另一另一端固定在端固定在o点点)，自水平位置由静止释放。，自水平位置由静止释放。求球摆下求球摆下 角时，球的速度。角时，球的速度。cosBABABAABrdmgrdgmrdgmTAd olTmmg （利用动能定理重解该题）（利用动能定理重解该题）AB小球从小球从A下落到下落到B的过程中，合的过程中，合外力（外力（Tmg）对它做功为）对它做功为rdldrd0sincosmglldmgAAB0Av对小球应用动能定理对小球应用动能定理vvB221sinmvmglAAB解得：解得：sin2glv
