1、1（Momentum and Angular Momentum）教学要求教学要求:1)理解动量理解动量,冲量冲量,角动量的概念及它们的矢量性角动量的概念及它们的矢量性.2)掌握及应用动量定理掌握及应用动量定理,动量守恒定律以及质点的角动动量守恒定律以及质点的角动 量守恒定律来计算力学问题量守恒定律来计算力学问题.3)理解质心的概念理解质心的概念,了解质心运动定理了解质心运动定理.23.1 冲量与动量定理冲量与动量定理牛顿定律是瞬时的规律。牛顿定律是瞬时的规律。力在任意时刻的作用，是使力在任意时刻的作用，是使质点产生加速度，运动状态发生变化。质点产生加速度，运动状态发生变化。但在有些问题中，如：
2、碰撞（宏观）、散射（微观）但在有些问题中，如：碰撞（宏观）、散射（微观）我们往往只关心力的作用按时间累积起来的总的效果，我们往往只关心力的作用按时间累积起来的总的效果，即只关心始末态间的关系，对过程的细节不感兴趣。即只关心始末态间的关系，对过程的细节不感兴趣。力在时间上的积累力在时间上的积累效应：效应：角角动动量量冲冲量量矩矩，改改变变转转动动动动量量冲冲量量，改改变变平平动动31 1、冲量、冲量（impulse）大小：大小：方向：速度变化的方向方向：速度变化的方向单位：单位：Ns 量纲：量纲：MLT1说明说明冲量是表征力持续作用一段时间的累积效应；冲量是表征力持续作用一段时间的累积效应；冲量
3、是冲量是矢量：矢量：大小和方向；大小和方向；冲量是冲量是过程量，过程量，改变物体机械运动状态的原因。改变物体机械运动状态的原因。21ttdtFIt1F0tt2dtF定义定义:力对一段时间的积累力对一段时间的积累微分形式微分形式:ptFIddd 42 2、动量、动量（momentum）定义：物体的质量与速度的乘积叫做物体的动量定义：物体的质量与速度的乘积叫做物体的动量 vmP 说明说明:动量是矢量，大小为动量是矢量，大小为 mvmv，方向就是速度的方向；，方向就是速度的方向；冲量的方向冲量的方向不是与动量的方向相同，而是与动量增量的方向相同不是与动量的方向相同，而是与动量增量的方向相同.动量表征
4、了物体的运动状态动量表征了物体的运动状态.牛顿第二定律的另外一种表示方法牛顿第二定律的另外一种表示方法单位：单位：kgms-1 量纲：量纲：MLT1dtPdvmdtddtvdmamF )(53、质点的动量定理质点的动量定理（theorem of momentum of a particle）物理意义物理意义:在给定的时间间隔内，外力作用在质点上在给定的时间间隔内，外力作用在质点上的冲量，等于该质点在此时间内动量的增量的冲量，等于该质点在此时间内动量的增量.12I2121PPdtFPdttPP dtFPd dtPdF 质点动量定理的质点动量定理的微分微分形式形式质点动量定理的质点动量定理的积分积
5、分形式形式注注:F为恒力时，可以得出为恒力时，可以得出IF t F作用时间很短时，可用力的平均值来代替。作用时间很短时，可用力的平均值来代替。平均冲力平均冲力tptttFFtt 1221d 冲力冲力6说明说明:6.6.应用：应用：利用冲力：增大冲力，减小作用时间利用冲力：增大冲力，减小作用时间冲床冲床 避免冲力：减小冲力，增大作用时间避免冲力：减小冲力，增大作用时间轮船靠岸时的缓冲轮船靠岸时的缓冲 1.1.动量定理将始末时刻的动量与冲量联系起来动量定理将始末时刻的动量与冲量联系起来,而忽略细节变化；而忽略细节变化；2.2.碰撞或冲击过程碰撞或冲击过程,牛顿第二定律无法直接使用牛顿第二定律无法直
6、接使用,用动量定理解；用动量定理解；3.3.变质量物体的运动过程变质量物体的运动过程,用动量定理较方便用动量定理较方便;4.4.动量定理说明质点动量的改变是由外力和外力作用时间两个因动量定理说明质点动量的改变是由外力和外力作用时间两个因 素，即冲量决定的素，即冲量决定的;5.5.动量定理的分量式动量定理的分量式.zztzzyytyyxxtxxmvmvdtFImvmvdtFImvmvdtFI121212 7应用举例应用举例:例例1.1.例例2.问题：问题：人为什人为什么从高处跳到地面么从高处跳到地面时，要把腿弯一下？时，要把腿弯一下？8例例3.3.“船行八面风船行八面风”-帆船靠风力推动前进，只
7、要有风，不帆船靠风力推动前进，只要有风，不管风从什么方向吹来，都可借助风力前进。管风从什么方向吹来，都可借助风力前进。9帆帆v1 v2v1 v2v风风 F风对帆风对帆 F横横 F进进 F横横 F阻阻龙骨龙骨F帆对风帆对风v10pppt12F帆给风团的冲力为帆给风团的冲力为:方向向斜后方方向向斜后方根据牛顿第三运动定律根据牛顿第三运动定律,风团对帆有一反作用力风团对帆有一反作用力 :FF帆对风帆对风可分解为两个分量可分解为两个分量/FF与水对船的垂直阻力相平衡与水对船的垂直阻力相平衡与船平行与船平行,并指向船前进的方并指向船前进的方向向11m/s26.6280.922 ghvvmp2 vmptF
8、2 地地对对球球地地对对球球球球对对地地FF N1082.3019.026.658.0222 tmv方向向上方向向上s019.0t球对地F例例4.一篮球质量一篮球质量m=0.58kg,从从h=2.0m的高度下落的高度下落,到达到达地面后以同样速率反弹地面后以同样速率反弹,接触地面时间接触地面时间 。求：求：篮球对地面的平均冲力篮球对地面的平均冲力 解：解：篮球到达地面的速率为：篮球到达地面的速率为：篮球接触地面前后动量改变（大小）为：篮球接触地面前后动量改变（大小）为：由动量定理有：由动量定理有：由牛顿第三定律有：由牛顿第三定律有：12例例5.在斜面上放着一个盛有细沙的箱子在斜面上放着一个盛有
9、细沙的箱子,在摩擦力的作用在摩擦力的作用下箱子刚好不下滑下箱子刚好不下滑.若有一物体若有一物体m从竖直方向坠入箱中从竖直方向坠入箱中,试试问在该物体的冲力作用下问在该物体的冲力作用下,箱子是否还能保持静止箱子是否还能保持静止?mmgNfF已知已知s解解:箱子是否下滑箱子是否下滑,决定于物体坠入决定于物体坠入箱子时箱子时,在冲力的作用下箱子的受力在冲力的作用下箱子的受力是否平衡是否平衡.刚好不下滑时刚好不下滑时:tgcosmgfmgsinss 当一物体竖直坠入箱中当一物体竖直坠入箱中,在冲力作用下在冲力作用下,时的瞬间应满足时的瞬间应满足:ma)sinFsinmg()cosFcosmg(s tg
10、s代入代入 得得 a=0133.2 质点系的动量定理质点系的动量定理（theorem of mometum of a system of particles）1、两个质点组成的系统、两个质点组成的系统ffF1F2m1 m2已知已知:碰撞前两质点的速度分别为碰撞前两质点的速度分别为2010 和和相碰时的相互作用相碰时的相互作用内力内力为为ff和同时受系统外其它物体的作用同时受系统外其它物体的作用外力外力为为21FF 和碰撞后两质点的速度分别为碰撞后两质点的速度分别为21 和和对质点对质点m1:dtPdfF11 对质点对质点m2:dtPdfF22 两式相加两式相加,得得14dtPddtPdffFF
11、2121 )mm()mm()PP(ddt)FF()PP(dtdFFff20210122112121tt212121 意义意义:两个物体总动量的改变只决定于外力的冲量两个物体总动量的改变只决定于外力的冲量,而与内力无关而与内力无关.内力的冲量呢内力的冲量呢?只会使每一个物体的动量发生改变只会使每一个物体的动量发生改变,但对总动量没有任何影响但对总动量没有任何影响.)()(20210122112121vmvmvmvmdtFFtt 152、多个质点组成的系统、多个质点组成的系统共有共有N N个粒子个粒子为质点为质点 i 受的受的合外力，合外力，iF 为质点为质点 i 受质点受质点 j 的的内力，内力
12、，ijfip为质点为质点 i 的动量。的动量。对质点对质点 i：i j质点系质点系Fipi fj i fi ji j质点系质点系iijijiptfFdd ）（对质点系：对质点系：iiiijijiptfFdd(）由牛顿第三定律有：由牛顿第三定律有：iijijf016 iiiiptFdd(）所以有：所以有：PpFFiiii ，外外令令PtFdd 外外则有：则有：tPFdd 外外或或质点系动量定理质点系动量定理（微分形式）（微分形式）1221dPPtFtt 外外质点系动量定理质点系动量定理（积分形式）（积分形式）意义意义:作用在系统的合外力的冲量等于系统作用在系统的合外力的冲量等于系统动量的增量动量
13、的增量17系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。用质点系动量定理处理问题可避开内力。用质点系动量定理处理问题可避开内力。说明说明:质点系动量定理是一矢量式质点系动量定理是一矢量式,因此在直角坐标因此在直角坐标 系中它的分量式为系中它的分量式为:212121ttzzttyyttxxzzyyxxPdtFPdtFPdtFdtdPFdtdPFdtdPF 或或18例例1 1：一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳
14、将落在桌面上。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重量的三倍。落到桌面上的绳重量的三倍。ox证明：取如图坐标，设证明：取如图坐标，设t时刻已有时刻已有x长的柔绳落至桌面，随后的长的柔绳落至桌面，随后的dt时间时间内将有质量为内将有质量为 dx(Mdx/L)的柔绳以的柔绳以dx/dt的速率碰到桌面而停止，它的的速率碰到桌面而停止，它的动量变化率为：动量变化率为：dtdtdxdxdtdP 19根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：2vdtdtdxdxdtdPF 柔绳对桌面的冲
15、力柔绳对桌面的冲力FF 即：即：L/Mgx2F gx2v vLMvF222 而而 而已落到桌面上的柔绳的重量为而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L所以所以F总总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg20例例2:(page72)一辆装煤车以一辆装煤车以v=3m/s的速率从煤斗下通过的速率从煤斗下通过,每每秒钟落入车厢的煤为秒钟落入车厢的煤为m=500kgm=500kg.如果使车厢的速率保持不如果使车厢的速率保持不变变,应用多大的牵引力拉车厢应用多大的牵引力拉车厢?Fvmdm21例例3:质量为质量为M的滑块正沿着光滑水平地面向右滑动的滑块正沿着光滑水平地面向右滑动.一质量一质量为为m
16、的小球水平向右飞行的小球水平向右飞行,以速度以速度 (相对地面相对地面)与滑块斜与滑块斜面相碰面相碰,碰后竖直向上弹起碰后竖直向上弹起,速度为速度为 (相对地面相对地面).若碰撞若碰撞时间为时间为 ,求求:在这个过程中滑块对地面的平均作用力和在这个过程中滑块对地面的平均作用力和滑块速度的增量滑块速度的增量.1v2vt 223.3 动量守恒定律动量守恒定律（law of conservation of momentum）由动量定理：由动量定理：tdPdF 外外当一个质点系所受的合外力为当一个质点系所受的合外力为0时，则有时，则有0ddtP即有：即有：常矢量常矢量 P动量守恒定律动量守恒定律其分量
17、形式：其分量形式：恒恒量量恒恒量量恒恒量量zyxppp意义意义:当系统所受合外力为零时，当系统所受合外力为零时，即即F外外=0时，系统的动量的增量为时，系统的动量的增量为零，即系统的总动量保持不变。零，即系统的总动量保持不变。23说明：说明：1.动量定理和动量守恒定律只适用于惯性系。动量定理和动量守恒定律只适用于惯性系。2.动量若在某一惯性系中守恒，动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一切惯性系中均则在其它一切惯性系中均守恒。守恒。3.3.动量是矢量动量是矢量,因此动量守恒定律的数学表达式是一个矢因此动量守恒定律的数学表达式是一个矢量关系式。但在一些实际问题中量关系式。但在一些实际问题中,若系统
18、所受的合外力若系统所受的合外力不为不为0,0,但合外力沿着某个坐标轴的分量为但合外力沿着某个坐标轴的分量为0,0,则尽管总的则尽管总的动量不守恒动量不守恒,但总动量在这个方向上的分量却是守恒的。但总动量在这个方向上的分量却是守恒的。4.4.在合外力为在合外力为0 0时时,尽管质点系的总动量不变尽管质点系的总动量不变,但组成系统但组成系统的各个质点的动量是可以变化的。的各个质点的动量是可以变化的。245.无论相互作用力是什么力无论相互作用力是什么力(重力、弹力、摩擦力、电场重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力、分子作用力、核子作用力力、磁场力、分子作用力、核子作用力)，动量守恒定，动量守恒定律都适
19、用。因此，动量守恒定律是一条大到星体间的作用律都适用。因此，动量守恒定律是一条大到星体间的作用,小到基本粒子间的作用的关于自然界一切物理过程的最基小到基本粒子间的作用的关于自然界一切物理过程的最基本定律。本定律。6.质点相互作用后质点相互作用后,不论它们是结合在一起运动还是分开不论它们是结合在一起运动还是分开运动运动,不论是整体还是分裂成碎块不论是整体还是分裂成碎块,不论是接触作用还是超不论是接触作用还是超距作用距作用,动量守恒定律都适用。动量守恒定律都适用。7.系统动量守恒定律的条件是合外力为系统动量守恒定律的条件是合外力为0,但在某些外力比但在某些外力比内力小得多的情况下内力小得多的情况下
20、,外力对质点系的总动量变化影响很外力对质点系的总动量变化影响很小小,这时可以近似地认为它满足守恒条件这时可以近似地认为它满足守恒条件,即可以近似地应即可以近似地应用动量守恒定律来解题了。用动量守恒定律来解题了。25解题步骤：解题步骤：1选好系统，分析要研究的物理过程；选好系统，分析要研究的物理过程；2进行受力分析，判断守恒条件；进行受力分析，判断守恒条件；3确定系统的初动量与末动量；确定系统的初动量与末动量；4建立坐标系，列方程求解；建立坐标系，列方程求解；5必要时进行讨论。必要时进行讨论。26例例1:一个有一个有1/4圆弧滑槽的大物体圆弧滑槽的大物体,质量为质量为M,停在光滑的水停在光滑的水
21、平面上平面上;另有一质量为另有一质量为m的小物体从圆弧顶点由静止滑下的小物体从圆弧顶点由静止滑下.求当小物体滑到底时大物体求当小物体滑到底时大物体M在水平面上移动的距离在水平面上移动的距离.RMmVRSs27例例2:水平光滑铁轨上有一车水平光滑铁轨上有一车,长度为长度为l,质量为质量为m2，车的一端有一人车的一端有一人(包括所骑自行车包括所骑自行车)，质量为，质量为m1，人和车原来都静止不动。当人从车的一端走到另人和车原来都静止不动。当人从车的一端走到另一端时，人、车各移动了多少距离？一端时，人、车各移动了多少距离？28解：解：以人、车为系统，在水平方向上不受外力作用，动以人、车为系统，在水平
22、方向上不受外力作用，动量守恒。建立如图所示的坐标系，有量守恒。建立如图所示的坐标系，有 m1v1-m2v2=0 即即 v2=m1v1/m2 tttdtvmmmdtvmmmudtl01221012210在这段时间内人相对于地面的位移为在这段时间内人相对于地面的位移为 lmmmdtvxt212011小车相对于地面的位移为小车相对于地面的位移为 lmmmxlx21112 设人在时间设人在时间t 内从车的一端走到另一端，则有内从车的一端走到另一端，则有人相对于车的速度人相对于车的速度 u=v1+v2=(m1+m2)v1/m229例例3:在一次在一次 粒子散射过程中，粒子散射过程中，粒子粒子(m)和和静
23、止的氧原子核静止的氧原子核(M)发生碰撞。实验测出：碰撞发生碰撞。实验测出：碰撞后后 粒子沿与入射方向成粒子沿与入射方向成 的方向运动的方向运动,而氧原子核沿与而氧原子核沿与 粒子的入射方向粒子的入射方向成成 的方向反冲，求的方向反冲，求 粒子碰撞后与碰撞前的速率粒子碰撞后与碰撞前的速率之比之比？72 41 303.4变质量系统、火箭飞行原理变质量系统、火箭飞行原理 粘附粘附 主体的质量增加（如滚雪球）主体的质量增加（如滚雪球）抛射抛射 主体的质量减少（如火箭发射）主体的质量减少（如火箭发射）低速（低速（v c）情况下的两类变质量问题：）情况下的两类变质量问题：下面仅以火箭飞行为例，下面仅以火
24、箭飞行为例，讨论变质量问题。讨论变质量问题。还有另一类变质量问题是在高速（还有另一类变质量问题是在高速（v c）情况下，这时即使没有情况下，这时即使没有粘附和抛射，质量也可以随速度改变粘附和抛射，质量也可以随速度改变 m=m(v)，这是相对论情，这是相对论情形，不在本节讨论之列。形，不在本节讨论之列。31条件：条件：燃料相对箭体以恒速燃料相对箭体以恒速u 喷出喷出 一一.火箭不受外力情形火箭不受外力情形（在自由空间飞行）（在自由空间飞行）1.火箭的火箭的速度公式速度公式系统：系统：火箭壳体火箭壳体+尚存燃料尚存燃料32初态初态(喷出燃料前喷出燃料前)：系统质量系统质量 M，速度速度v(对地对地
25、)，动量动量 M v微过程：微过程：t t+dt末态末态(喷出燃料后喷出燃料后)：喷出燃料的质量：喷出燃料的质量：dm=-dM喷出燃料速度喷出燃料速度(对地对地)：v-u火箭壳体火箭壳体+尚存燃料的质量：尚存燃料的质量：M-dm火箭壳体火箭壳体+尚存燃料的速度尚存燃料的速度(对地对地)：v+d v系统动量：系统动量：(M-dm)(v+d v)+-dM(v-u)33 由动量守恒，有由动量守恒，有 M v=-dM(v-u)+(M-dm)(v+d v)经整理得：经整理得：Mdv =-udMMMudd v fiMMfiMMuddv速度公式：速度公式：fiifMMuln vv此式此式意义意义:火箭在燃料
26、燃烧后所增加的速度和喷气速度成正比火箭在燃料燃烧后所增加的速度和喷气速度成正比,也和火箭的始末质量比的自然对数成正比也和火箭的始末质量比的自然对数成正比.34引入引入火箭质量比：火箭质量比：fiMMN 得得Nuifln vv讨论：讨论：提高提高 vf 的途径的途径 (1)提高提高 u（现可达（现可达 u=4.1 km/s）(2)增大增大 N（受一定限制（受一定限制,决定于火决定于火 箭本身的结构）箭本身的结构）为提高为提高N，采用多级火箭（一般，采用多级火箭（一般为三级）为三级）v=u1ln N1+u2ln N2+u3ln N3或或 齐奥尔科夫斯基数齐奥尔科夫斯基数ifMMZ 35t+dt时刻
27、：时刻：速度速度 v-u，动量动量 dm(v-u)由动量定理，由动量定理，dt内喷出气体所受冲量内喷出气体所受冲量 2.火箭所受的反推力火箭所受的反推力研究对象：研究对象：喷出气体喷出气体 dmt 时刻：时刻：速度速度v(和主体速度相同和主体速度相同)，动量动量 vdm F箭对气箭对气dt=dm(v-u)-vdm=-F气对箭气对箭dt由此得火箭所受燃气的反推力为由此得火箭所受燃气的反推力为tmuFFdd 气对箭气对箭意义意义:火箭受到的推力与燃料的燃烧速率成正比火箭受到的推力与燃料的燃烧速率成正比,也与喷出也与喷出 气体相对火箭的速率成正比气体相对火箭的速率成正比.36二二.重力场中的火箭发射
28、重力场中的火箭发射 可得可得 t 时刻火箭的速度：时刻火箭的速度：忽略地面附近重力加速度忽略地面附近重力加速度 g 的变化，的变化，tiiMMugttln)(vv Mt：t 时刻火箭壳和尚余燃料的质量时刻火箭壳和尚余燃料的质量思考题思考题:“喷气飞机所以能飞行喷气飞机所以能飞行,是因为喷出的气体推空气是因为喷出的气体推空气,而空气给而空气给喷出气体以反作用力喷出气体以反作用力,从而推动飞机前进从而推动飞机前进.”这种说法对吗这种说法对吗?373.5 质心及质心运动定理质心及质心运动定理一一.质心质心(center of mass)-为便于研究质点系总体运动为便于研究质点系总体运动rcCmizr
29、i yx0用数学公式定义某一质点系的用数学公式定义某一质点系的质心质心 C 的位矢为的位矢为：mmrriiC ）（immmxmxiiC mymyiiC mzmziiC 说明说明:质心位置是质心位置是质点位置以质点位置以质质 量为量为权重权重的平均值。的平均值。写成分量式为写成分量式为:38二二.几种系统的质心几种系统的质心1)两质点系统两质点系统m2m1r1r2C m1 r1=m2 r2 2)连续体连续体rrcdmC0m zx ymmrrC dmmdxxC mmdyyC mmdzzC 3)均匀杆、圆盘、均匀杆、圆盘、圆环、球，质心为其几何中心。圆环、球，质心为其几何中心。重心重心-一个物体各部
30、分所受重力的合作用点。一个物体各部分所受重力的合作用点。4)小线度物体小线度物体(其上各处其上各处 相等相等)的质心和重心是重合的。的质心和重心是重合的。g39例例1:如图示，如图示，求求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。挖掉小圆盘后系统的质心坐标。解：解：由对称性分析，质心由对称性分析，质心C应在应在x轴上。轴上。令令 为质量的面密度，为质量的面密度，则质则质心坐标为：心坐标为：2220rRrdxC ）（1/2 rRdR CxC Or Orddx y O均质圆盘均质圆盘挖空挖空 40例例2：任意三角形的每个顶点有一质量任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。，求质心。332121xxmmxmxxc
31、 3311ymmyyc 41例例3:一段均匀铁丝弯成半圆形一段均匀铁丝弯成半圆形,其半径为其半径为R,求此半求此半圆形铁丝的质心。圆形铁丝的质心。解：半圆关于解：半圆关于y轴对称，质心轴对称，质心即在即在y轴上。轴上。任取任取dl长的一段铁丝，其质量长的一段铁丝，其质量为为dm，则：，则：R2mdsinRmsinRdmmydm02 cy42三三.质心运动定理质心运动定理（theorem of motion of center of mass）rcCvcmizri yx0viCmPv 质点系的总动量质点系的总动量 trCCdd vmtrmii dd mmii v 是质点系的是质点系的“平均平均”
32、速度速度Cv iiiCmmvv 质心动量质心动量P 总动量总动量 意义意义:质点系的总动量等于它的总质量与质心的运质点系的总动量等于它的总质量与质心的运 动速度的乘积。动速度的乘积。43tmmttPFCCdd)(ddddvv 外外CamF 外外 质心运动定理质心运动定理有有拉力拉力纸纸C问：球往哪边移动？问：球往哪边移动？质心的运动如同一个在质心位置处的质点的质心的运动如同一个在质心位置处的质点的运动，运动，该质点集中了整个质点系的质量和所受的外力。该质点集中了整个质点系的质量和所受的外力。在质点力学中所谓在质点力学中所谓“物体物体”的运动，实际上是物的运动，实际上是物体质心的运动。体质心的运
33、动。思考思考质点系所受合外力：质点系所受合外力：答：沿拉动纸的方向移动答：沿拉动纸的方向移动44 在光滑水平面上在光滑水平面上滑动的扳手，其质滑动的扳手，其质心做匀速直线运动心做匀速直线运动 做跳马落地动作做跳马落地动作的运动员尽管在翻的运动员尽管在翻转，但其质心仍做转，但其质心仍做抛物线运动抛物线运动 爆炸的焰火弹虽爆炸的焰火弹虽然碎片四散，但其然碎片四散，但其质心仍在做抛物线质心仍在做抛物线运动运动例如：例如：说明：说明：1.系统系统内力内力不会影响质心的运动，不会影响质心的运动，时时0 外外F0 Ca高台跳水452.动量守恒与质心的运动动量守恒与质心的运动质点系动量守恒和质心匀速运动等价
34、质点系动量守恒和质心匀速运动等价！iixF 0如如：常常量量 cxv若合外力为零，若合外力为零，质点系动量守恒质点系动量守恒常矢量常矢量 ccav0则则若合外力分量为若合外力分量为0，质点系分动量守恒质点系分动量守恒则则相应的质心分速度不变相应的质心分速度不变动量守恒定律的另一种表述：动量守恒定律的另一种表述：当一质点系所受的当一质点系所受的合外力为零时，其质心速度不变。合外力为零时，其质心速度不变。46例例1：一质量一质量m2=50kg的人站在一条的人站在一条m1=200kg，长度长度l=4m的船的船头上，开始时静止，试求当人的船的船头上，开始时静止，试求当人走到船尾时船移动的距离。走到船尾
35、时船移动的距离。oxc1c2x1x2X2X1d47解：解：把船和人视为同一系统把船和人视为同一系统,则人对船或船对人的各种作则人对船或船对人的各种作用力都是内力用力都是内力.在水平方向上没有外力在水平方向上没有外力,则质心的水平速度则质心的水平速度不变不变,原来静止原来静止,则依然静止则依然静止,即质心的坐标不变。即质心的坐标不变。人行走后：人行走后：初始状态：初始状态：2122111cmmxmxmx 2122112cmmxmxmx 2c1cxx 又由图可知：又由图可知：dlxx,dxx2211 m8.0lmmmd212 oxc1c2x1x2X2X1d48例例2：设有一个质量为设有一个质量为2
36、m的弹丸，从地面斜抛出去，它飞的弹丸，从地面斜抛出去，它飞行到最高点处爆炸成质量相等的两块碎片。其中一块碎片行到最高点处爆炸成质量相等的两块碎片。其中一块碎片竖直自由下落，另一个碎片水平抛出，它们同时落地。试竖直自由下落，另一个碎片水平抛出，它们同时落地。试问第二块碎片落地点在何处？问第二块碎片落地点在何处？解：解：考虑弹丸为一系统，空气阻力略去不计。爆炸前后弹丸的质考虑弹丸为一系统，空气阻力略去不计。爆炸前后弹丸的质心的运动轨迹都在同一抛物线上。如取第一块碎片的落地点为坐标心的运动轨迹都在同一抛物线上。如取第一块碎片的落地点为坐标原点，水平向右为坐标轴的正方向，设原点，水平向右为坐标轴的正方
37、向，设m1和和m2为两个碎片的质量，为两个碎片的质量，且且m1=m2=m；x1和和x2为两块碎片落地点距原点的距离，为两块碎片落地点距原点的距离，xc为弹丸质为弹丸质心距坐标原点的距离。有假设可知心距坐标原点的距离。有假设可知x1=0，于是，于是 212211mmxmxmxC 由于由于x1=0，m1=m2=m，由上式可得，由上式可得 Cxx22 即第二块碎片的落地即第二块碎片的落地点的水平距离为碎片点的水平距离为碎片质心与第一块碎片水质心与第一块碎片水平距离的两倍。平距离的两倍。49 1.质心系质心系质心系质心系是固结在质心上的是固结在质心上的平动平动参考系。参考系。质心系不一定是惯性系。质心
38、系不一定是惯性系。质点系的复杂运动通常可分解为：质点系的复杂运动通常可分解为：讨论天体运动及碰撞等问题时常用到讨论天体运动及碰撞等问题时常用到质心系。质心系。质点系整体随质心的运动质点系整体随质心的运动各质点相对于质心的运动各质点相对于质心的运动 在质心系中考在质心系中考察质点系的运动。察质点系的运动。*质心（参考）系质心（参考）系（frame of center of mass）502.质心系的基本特征质心系的基本特征0)(Cvviiimm质心系是零动量参考系。质心系是零动量参考系。m1v10 m2v20 m1v1 m2v2（质心系中看两粒子碰撞）（质心系中看两粒子碰撞）两质点系统在其质心两
39、质点系统在其质心系中，总是具有系中，总是具有等值、等值、反向反向的动量。的动量。513.6 质点的角动量质点的角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律一一.质点的角动量质点的角动量（angular momentum of a particle）LmO pr)(vmrprL sinvrmsinrpL 单位：单位：kg m2/s大小：大小：方向：右手螺旋法则方向：右手螺旋法则）（，于于vpr 决定的平面决定的平面定义：任取一点定义：任取一点o,建立坐标系建立坐标系oxyz，设质点，设质点A的质的质 量为量为m，速度为，速度为 ，矢径为，矢径为 ，则质点，则质点A 对对o点的角动量为：点的角动量为：vr
40、52 角动量与参考点角动量与参考点O的选择有关的选择有关 同一质点对于不同的参考点其角动量是不同的同一质点对于不同的参考点其角动量是不同的注意：注意：LRv mO 质点作匀速率圆周运动时，对质点作匀速率圆周运动时，对 圆心的角动量的大小为：圆心的角动量的大小为：方向方向 圆面圆面不变。不变。L=mvR，例例1：53例例2：同一质点的同一运动，其角动量却可以随固同一质点的同一运动，其角动量却可以随固定点的不同而改变。定点的不同而改变。vmrLomO vlmLO 方向变化方向变化vmrLmoO sinvlmLO 方向竖直向上不变方向竖直向上不变Ol vO 锥摆锥摆m54例例3：根据玻尔假设根据玻尔
41、假设,氢原子内电子绕核运动的角动氢原子内电子绕核运动的角动量只可能是量只可能是 的整数倍。的整数倍。(h=6.63*10-34kgm2/s)已知电子圆形轨道的最小半径为已知电子圆形轨道的最小半径为r=0.529*10-10m，求此轨道上运动时电子的速率。求此轨道上运动时电子的速率。解解:h是普朗克在是普朗克在1900年研究黑体问题时所提出的一个假年研究黑体问题时所提出的一个假设设,称为普朗克常数称为普朗克常数(h=6.63*10-34kgmm2 2/s)./s).到到19131913年年,玻玻尔把它应用到原子结构理论中尔把它应用到原子结构理论中,提出了自己的原子结构模提出了自己的原子结构模型型
42、,即玻尔假设即玻尔假设,它包括两部分的内容它包括两部分的内容:551)定态假设定态假设:原子中的电子只能在一些特定的轨道上运动原子中的电子只能在一些特定的轨道上运动,因此角动量受到量子化条件的限制因此角动量受到量子化条件的限制,必须满足必须满足3,2,1n,2hnmvr2)跃迁假设跃迁假设:当原子从一个定态当原子从一个定态Em跃迁到另一个定态跃迁到另一个定态En时时,才会向外辐射电磁波才会向外辐射电磁波:mEnEh本题中本题中,2hmvrL s/m102.210529.0101.914.321063.6mr2hv6103134 56例例4：判断下列有关角动量的说法是否正确？判断下列有关角动量的
43、说法是否正确？1）质点系的总动量为零，总角动量一定为零。）质点系的总动量为零，总角动量一定为零。2）一质点作直线运动，质点的角动量一定为零。）一质点作直线运动，质点的角动量一定为零。3）一质点作直线运动，质点的角动量一定不变。）一质点作直线运动，质点的角动量一定不变。4）一质点作匀速率圆周运动，其动量方向在不断）一质点作匀速率圆周运动，其动量方向在不断 改变，所以角动量的方向也随之不断改变。改变，所以角动量的方向也随之不断改变。57二二.质点的角动量定理，力矩质点的角动量定理，力矩torqueprL 由由有：有：)(ddddprttL 定义力定义力对定点对定点 O 的的力矩力矩为：为：FrM
44、FM rOm r0tprptrdddd Frm vvFr FrrFM0sin sin0rr 称称力臂力臂 力的作用效果，不仅与力的力的作用效果，不仅与力的大小大小有关、有关、还与力的还与力的方向方向和力的和力的作用点作用点有关。力矩是有关。力矩是全面考虑这全面考虑这三要素三要素的一个重要的概念。的一个重要的概念。58tLMdd 于是有于是有质点的角动量定理质点的角动量定理tMLdd 或或12d21LLtMtt 积分积分质点的角动量定理质点的角动量定理 21dtttM称称冲量矩冲量矩（积分形式）（积分形式）（微分形式）（微分形式）物理意义：物理意义：质点所受合外力的力矩等于它的角动量对时质点所受
45、合外力的力矩等于它的角动量对时间的变化率。间的变化率。物理意义：物理意义：质点（转动物体）所受合外力矩的冲量矩等质点（转动物体）所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内质点（转动物体）角动量的增量。于在这段时间内质点（转动物体）角动量的增量。59gm例例1:锥摆的角动量锥摆的角动量0 Trom）（mglgmrom sin 0 Trgmrmomo0 ）（gmrTrmomo对对O点点：合力矩不为零，角动量变化。合力矩不为零，角动量变化。对对O 点点：合力矩为零，角动量大小、方向都不变。合力矩为零，角动量大小、方向都不变。（合力不为零，动量改变！）（合力不为零，动量改变！）Ol vO 锥摆锥摆mT60物
46、理意义：若质点所受外力矩对某给定点物理意义：若质点所受外力矩对某给定点o o的力矩的力矩 为零，则质点对为零，则质点对o o的的角动量保持不变角动量保持不变。(具有普遍意义，对具有普遍意义，对m变的也适用）变的也适用）0M 0 Ld0 dtLd恒恒矢矢量量 vmrL三、质点角动量守恒定律三、质点角动量守恒定律 law of conservation of angular momentum of particle 由角动量定理可知，由角动量定理可知，若：若：（条件条件)则：则：或或（结论）（结论）即：即：)(dtLdFrM 质点角动量守恒定律质点角动量守恒定律 F过过O点点:中心力中心力(如行星
47、受中心恒星的万有引力如行星受中心恒星的万有引力)FM=0061例例1:角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律：角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律：行星对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积行星对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积.角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，而且不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，而且在高速低速范围均适用。在高速低速范围均适用。rLv S m常量常量 tStSddlim 0 t常常量量 sinrmLv62例例2:一根长为一根长为 l 的轻质杆，端部固结一小球的轻质杆
48、，端部固结一小球m1，另一小球另一小球m2以水平速度以水平速度v0碰杆中部并与杆粘合。碰杆中部并与杆粘合。求：求：碰撞后杆的角速度碰撞后杆的角速度碰撞时重力和轴力都通过碰撞时重力和轴力都通过O，对对O 力矩为零，故角动量守恒。力矩为零，故角动量守恒。2222102lmlllmml vlmmm021242v 解：解：选选m1（含杆）（含杆）+m2为系统为系统解得：解得：思考思考 （m1m2）的水平动量是否守恒？）的水平动量是否守恒？有有63小结：动量与角动量的比较小结：动量与角动量的比较角动量角动量 iiiprL矢量矢量与固定点有关与固定点有关与内力矩无关与内力矩无关守恒条件守恒条件0 iiiFr动量动量 iiimpv矢量矢量与内力无关与内力无关守恒条件守恒条件0 iiF与固定点无关与固定点无关
