1、5.5.2简单的三角恒等变换第1课时简单的三角恒等变换(一)学习目标1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.2.了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题.3.掌握两角和、差的正、余弦公式，通过积化和差、和差化积进行简单的化简、求值、证明导语同学们，前面我们学习了三角函数中的很多公式，有同角的三角函数的基本关系、诱导公式、两角和、差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切，它们都属于三角变换对于三角变换，我们不仅要考虑三角函数式结构形式方面的差异，还要考虑三角函数式包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换，在实际操作
2、中，我们要从函数式的结构、种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，从而选择一个合适的公式进行化简、求值、证明等，这就是我们今天要讲的三角恒等变换一、半角公式问题1余弦的二倍角展开有几种形式？请写出提示三种形式：cos 2cos2sin22cos2112sin2.知识梳理半角公式sin，cos ，tan.注意点：半角公式中的号不能去掉，若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留两个符号；若给出的具体范围时，则先求的所在范围，然后根据所在的范围选用符号例1已知sin ，求sin ，cos ，tan的值解，sin ，cos ，且，sin，cos ，tan 2.反思感悟利用半角公式求值的思路(1)看角
3、：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2，cos2计算跟踪训练1已知sin ，则tan_.答案或2解析因为sin ，所以cos .若cos ，则tan；若cos ，则tan 2.二、和差化积、积化和差问题2请写出两角和、差的正弦、余弦公式提示sin()sin cos cos sin ，sin()sin cos cos sin
4、 ；cos()cos cos sin sin ，cos()cos cos sin sin .知识梳理1积化和差sin cos sin()sin()；cos sin sin()sin()；cos cos cos()cos()；sin sin cos()cos()2和差化积sin sin 2sincos；sin sin 2cossin；cos cos 2coscos；cos cos 2sinsin.例2求sin220cos250sin 20cos 50的值解方法一sin220cos250sin 20cos 50(1cos 40)(1cos 100)sin 70sin(30)(cos 100cos
5、40sin 70)(2sin 70sin 30sin 70)(sin 70sin 70).方法二sin220cos250sin 20cos 50(1cos 40)cos 50(cos 50sin 20)(1cos 40)cos 50(sin 40sin 20)(1cos 40)cos 502sin 30cos 10(1cos 40)cos 50cos 10(1cos 40)(cos 60cos 40).方法三令Asin220cos250sin 20cos 50，Bcos220sin250cos 20sin 50.则AB2sin 70，ABcos 40cos 100sin(30)sin 70，两
6、式相加得2A，即A，故sin220cos250sin 20cos 50.反思感悟积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法，如把看作，看作，从而把包含，的三角函数式转化为，的三角函数式或者把sin cos 看作x，cos sin 看作y，把等式看作x，y的方程，则原问题转化为解方程(组)求x，它们都体现了化归思想跟踪训练2求下列各式的值：(1)cos 29cos 31cos 2；(2)coscos2sincos.解(1)cos 29cos 31cos 2cos(2931)cos(2931)cos 2cos 60cos(2)cos 2.(2)coscos2sincos2cos coscos2cos
7、coscoscoscos0.三、三角函数式的化简、证明例3求证：sin 2.证明因为左边cos sincossin cos sin 2右边，所以原式成立反思感悟三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同(4)比较法：设法证明“左边右边0”或“左边/右边1”(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立跟踪训练3化简：2.解原式222|sin 4cos 4|2|cos
8、 4|.由于4，sin 40，cos 40，sin 4cos 40，原式2(sin 4cos 4)2cos 42sin 44cos 4.1知识清单：(1)半角公式(2)积化和差、和差化积(3)三角函数式的化简、证明2方法归纳：转化与化归3常见误区：半角公式符号的判断1已知cos ，则sin等于()A B.C D.答案D解析由可知，故sin.2已知cos ，18090，则cos等于()A B. C D.答案B解析由18090可知9045，故cos .3化简的结果是()Acos 1 Bcos 1C.cos 1 Dcos 1答案C解析原式，因为010，cos 0，所以的终边落在第一象限，的终边落在第
9、一或第三象限，所以tan0，故tan2.3设acos 6sin 6，b2sin 13cos 13，c，则有()Acba BabcCacb Dbca答案C解析asin 30cos 6cos 30sin 6sin(306)sin 24，b2sin 13cos 13sin 26，csin 25，ysin x在0x90时上单调递增，acb.4设3，化简的结果是()Asincos BcossinCcossin Dsincos答案D解析3，0，cos0，sincos.5设直角三角形中两锐角为A和B，则cos Acos B的取值范围是()A. B(0,1)C. D.答案A解析直角三角形中两锐角为A和B，则A
10、BC，则cos Acos Bcos(AB)cos(AB)cos(AB)，再结合AB，可得cos(AB)(0,1，cos(AB).6(多选)已知2sin 1cos ，则tan的可能取值为()A. B1 C2 D不存在答案AD解析由题意知4sincos12cos21，故有2sincoscos20，若2sincos0，则tan；若cos0，则tan不存在7tan 204sin 20_.答案解析原式4sin 20.8sincos化为和差的结果是_答案cos(AB)sin(AB)解析sincoscos(AB)sin(AB)9已知3，试化简：cos.解因为3，所以，所以cos 0，sin 0.故原式cos
11、coscossincos.10求证：.证明左边右边，所以原等式成立11sin 20cos 70sin 10sin 50的值为()A B.C. D答案B解析sin 20cos 70sin 10sin 50(sin 90sin 50)(cos 60cos 40)sin 50cos 40sin 50sin 50.12已知，且cos cos ，则cos()等于()A. B C. D答案D解析cos cos ，2coscos.，cos.cos，cos()2cos21.13若sin sin (cos cos )，且(0，)，(0，)，则等于()A B C. D.答案D解析因为sin sin (cos co
12、s )，所以2sincos(2)sinsin，所以tan.又(0，)，(0，)，所以0，所以，即.14化简：_.答案tan解析原式tan.15.32cos212的值为()A4 B8 C16 D32答案C解析原式16(2cos2121)1616cos 241616cos 241616cos 241616cos 241616.16已知sin Asin Bsin C0，cos Acos Bcos C0，求证：cos2Acos2Bcos2C.证明由已知，得sin Asin Bsin C，cos Acos Bcos C所以2sincossin C，2coscoscos C因为当cos0时，sin Ccos C0不成立，所以cos0.，得tantan C.所以cos(AB)cos 2C.22，得22cos(AB)1，即cos(AB)，所以cos2Acos2Bcos2C(1cos 2A1cos 2B1cos 2C)2cos(AB)cos(AB)cos 2C.
