1、第2课时简单的三角恒等变换(二)学习目标1.能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简、合并.2.能够利用三角恒等变换解决几何中的问题以及生活中的实际问题导语同学们，我们从开始学习两角差的余弦，就尝试对展开式进行合并，尤其是一些特殊的形式，比如sin xcos x等，其实从那个时候起，就开始有了辅助角公式的影子，大家知道吗？辅助角公式是由我国数学家李善兰先生提出的，辅助角公式的提出，对整个三角函数产生了巨大的影响，今天，我们就和李善兰先生，一起来探究辅助角公式的意义吧一、三角恒等变换与三角函数问题1请同学们根据两角和、差的正弦公式对下面几个式子进行合并：sin xcos x，sin xcos x，
2、cos xsin x.提示sin xcos xsin，sin xcos x2sin，cos xsin x2sin.问题2一般地，对于yasin xbcos x，你能对它进行合并吗？提示第一步：提常数，提出，得到；第二步：定角度，确定一个角满足cos ，sin ，得到(cos sin xsin cos x)；第三步：化简、逆用公式得asin xbcos xsin(x)，其中tan .知识梳理辅助角公式yasin xbcos xsin(x).注意点：(1)该函数的最大值为，最小值为.(2)有时yasin xbcos xcos(x)例1已知函数f(x)coscos，g(x)sin 2x.(1)求函数
3、f(x)的最小正周期；(2)求函数h(x)f(x)g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合解(1)f(x)cos2xsin2xcos 2x，f(x)的最小正周期T.(2)h(x)f(x)g(x)cos 2xsin 2xcos，当2x2k(kZ)时，h(x)有最大值，此时x的取值集合为.反思感悟研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质在这个过程中通常利用辅助角公式，将yasin xbcos x转化为ysin(x)或ycos(x)的形式，以便研究函数的性质跟踪训练1已知函数f(x)sin2xsi
4、n2，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)由已知，得f(x)cos 2xsin 2xcos 2xsin，所以f(x)的最小正周期T.(2)因为x，所以2x，所以f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，且f，f，f，所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为.二、三角恒等变换在几何中的应用例2(教材227页例10改编)某工人要从一块圆心角为45的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)解如图，连接OC，设COB，则045，OC1.因为ABOBOAcos ADcos sin ，所以
5、S矩形ABCDABBC(cos sin )sin sin2sin cos (1cos 2)sin 2(sin 2cos 2)cos(245).当2450，即22.5时，S(矩形ABCD)max(m2)，所以割出的长方形桌面的最大面积为 m2.反思感悟三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决，体现了数学中的化归思想跟踪训练2如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使OAB的周长最长？解设AOB，OAB的周长为l，则ABRsin ，OBRcos ，所以lOAABOBRRsin Rcos R(sin cos )RRsinR.因为0，所
6、以，所以当，即时，l的最大值为RR(1)R，故当时，OAB的周长最长三、三角恒等变换在实际问题中的应用例3如图，OA，OB是两条互相垂直的笔直公路，半径OA2 km的扇形AOB是某地的一名胜古迹区域当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB上新增一个入口P(点P不与A，B重合)，并新建两条都与圆弧AB相切的笔直公路MB，MN，切点分别是B，P.当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低设POA，公路MB，MN的总长为f()求f()关于的函数关系式，并写出函数的定义域解连接OM(图略)，在RtOPN中，OP2，POA，故NP2tan .根据平面几何知识可知，MBMP，BOMBOP.在RtB
7、OM中，OB2，BOM，故BM2tan.所以f()NP2BM2tan 4tan.显然，所以函数f()的定义域为.反思感悟实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题跟踪训练3在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则cos 2 _.答案解析由题意得5cos 5sin 1，所以cos sin ，又(cos sin )2(cos sin )22，所以cos sin ，所以cos 2cos
8、2sin2(cos sin )(cos sin ).1知识清单：(1)辅助角公式(2)三角恒等变换的综合问题(3)三角函数在实际问题中的应用2方法归纳：转化与化归3常见误区：易忽视实际问题中的定义域1已知sin xcos x，则cos等于()A. B.C. D.答案B解析sin xcos x2sin，sin，则cossin.2若函数f(x)sin 2xcos 2x，则()A函数f(x)的最小正周期为2B函数f(x)的最大值为2C函数f(x)的一个对称中心为D函数f(x)在上单调递增答案D解析f(x)sin 2xcos 2xsin，函数f(x)的最小正周期为，函数f(x)的最大值为，故A，B错误
9、；由fsin0，故C错误；由x，得2x，得sin 2.又2(0，)，2，则0时，f(x)max|5m|8，解得m3；当m0)在0，上有两个零点，则的取值范围为()A. B. C. D.答案B解析f(x)sin xcos x2sin，由x0，又0，则可令tx，又函数y2sin t在t上有两个零点，如图，则23，解得.15.如图，已知OPQ是半径为5，圆心角为(tan 2)的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形当矩形ABCD的周长最大时，BC边的长为_答案解析由得设COP，则ADBCOCsin 5sin ，OBOCcos 5cos ，在RtOAD中，AOD，OAsin ，CDABOB
10、OA5cos sin ，矩形ABCD的周长为2(ABBC)255sin，当时，矩形ABCD的周长取最大值5，此时BC5sin 5sin5cos .16.如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上已知半圆的半径长为20 m.(1)如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？(2)沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D位置，使步行小路的距离最远？解(1)连接OB，如图所示，设AOB，则ABOBsin 20sin ，OAOBcos 20cos ，且.因为A，D关于点O对称，所以AD2OA40cos .设矩形ABCD的面积为S，则SADAB40cos 20sin 400sin 2.因为，所以2(0，)，所以当sin 21，即时，Smax400(m2)此时AODO10(m)故当A，D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.(2)由(1)知AB20sin ，AD40cos ，所以ABBCCD40sin 40cos 40sin，又，所以，当，即时，(ABBCCD)max40 m，此时AODO10 m，即当A，D距离圆心O为10 m时，步行小路的距离最远
