1、4.4.2对数函数的图象和性质(一)学习目标1.初步掌握对数函数的图象和性质.2.会类比指数函数研究对数函数的性质.3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用导语同学们，还记得我们是如何研究指数函数的吗？实际上，研究对数函数的思路和研究指数函数的思路是一致的，我们可以用类比的方法来研究对数函数请同学们看下面的问题1.一、对数函数的图象和性质问题1请同学们利用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再在同一坐标系下画出对数函数ylog2x和的函数图象x0.250.512481632ylog2x提示(1)2101234521012345(2)描点、连线问题2通过观察函数ylog2x和的图象，分析性
2、质，并完成下表：函数ylog2x定义域x(0，)x(0，)值域RR单调性增函数减函数最值无最值无最值奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数特殊点(1,0)(1,0)y的变化情况当0x1时，y1时，y0当0x0；当x1时，y0，且a1)底数a10a1图象定义域(0，)值域R单调性在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数最值无最大、最小值奇偶性非奇非偶函数共点性图象过定点(1,0)，即x1时，y0函数值特点当x(0,1)时，y(，0)；当x1，)时，y0，)当x(0,1)时，y(0，)；当x1，)时，y(，0对称性函数ylogax与的图象关于x轴对称注意点：(1)函数图象只出现在y轴右侧(2)对任意底数a
3、，当x1时，y0，故过定点(1,0)(3)当0a1时，底数越大，图象越靠近x轴(5)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称例1(1)如图，若C1，C2分别为函数ylogax和ylogbx的图象，则()A0ab1B0bab1Dba1答案B解析作直线y1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0ba0，且a1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b_，c_.答案22解析函数的图象恒过定点(3,2)，将(3,2)代入yloga(xb)c，得2loga(3b)c.又当a0，且a1时，loga10恒成立，c2,3b1，b2，c2.(3)已知f(x)loga|x|(a0，且a1)满足f(
4、5)1，试画出函数f(x)的图象解因为f(5)1，所以loga51，即a5，故f(x)log5|x|所以函数f(x)log5|x|的图象如图所示延伸探究1在本例中，若条件不变，试画出函数g(x)loga|x1|的图象解因为f(x)log5|x|，所以g(x)log5|x1|，如图，g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的2在本例中，若条件不变，试画出函数h(x)|logax|的图象解因为a5，所以h(x)|log5x|.h(x)的图象如图中实线部分所示反思感悟对数型函数图象的变换方法(1)作yf(|x|)的图象时，保留yf(x)(x0)的图象不变，x0)的图象关于y轴对称(2
5、)作y|f(x)|的图象时，保留yf(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可(3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律(4)yf(x)与yf(x)关于y轴对称，yf(x)与yf(x)关于x轴对称，yf(x)与yf(x)关于原点对称跟踪训练1(1)函数f(x)loga|x|1(a1)的图象大致为()答案C解析函数f(x)loga|x|1(a1)是偶函数，f(x)的图象关于y轴对称，当x0时，f(x)logax1单调递增；当x0，且a1)；(4)log50.4，log60.4.解(1)因为ylog3x在(0，)上单调递增，1.92，所以log31.9log
6、210，log0.32log0.32.(3)当a1时，函数ylogax在(0，)上单调递增，则有logaloga3.14；当0a1时，函数ylogax在(0，)上单调递减，则有loga1时，logaloga3.14；当0a1时，logaloga3.14.(4)在同一直角坐标系中，作出ylog5x，ylog6x的图象，再作出直线x0.4(图略)，观察图象可得log50.40，且a1)；(2)log3，log2，log3.解(1)当a1时，ylogax在(0，)上是增函数，又5.15.9，所以loga5.1loga5.9；当0a1时，ylogax在(0，)上是减函数，又5.1loga5.9.综上，
7、当a1时，loga5.1loga5.9；当0aloga5.9.(2)log2log23，又1log232，log21.又log3log321，log3log2log3.三、利用单调性解对数不等式例3解下列关于x的不等式：(1)；(2)loga(2x5)loga(x1)；(3)logx1.解(1)由题意可得解得0x2.所以原不等式的解集为x|0x1时，原不等式等价于解得x4.当0a1时，原不等式等价于解得x1时，原不等式的解集为x|x4；当0a1时，logxlogxx，所以x，无解；当0xlogxx，所以xlogab的不等式，借助ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0ab的不
8、等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(blogaab)，再借助ylogax的单调性求解(3)形如logf(x)alogg(x)a(f(x)，g(x)0且不等于1，a0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解跟踪训练3(1)求满足不等式log3x1的x的取值集合；(2)已知log0.7(2x)log0.7(x1)，求x的取值范围解(1)log3x1log33，又函数ylog3x在(0，)上为增函数，x满足的条件为即0x3.x的取值集合为x|0x3(2)函数ylog0.7x在(0，)上为减函数，由log0.7(2x)1.x的取值范围是(1，)1知识清单：(1)对数函
9、数的图象及性质(2)利用对数函数的图象及性质比较大小(3)利用单调性解对数不等式2方法归纳：分类讨论法、数形结合法3常见误区：作对数函数图象时易忽视底数a1与0a1两种情况1函数yloga(x1)(0a1)的图象大致是()答案A解析0abc BbacCcab Dbca答案A解析a20.21blog43.20c1，abc.3不等式的解集为()A(，3) B.C. D.答案D解析由题意可得解得x3.4若loga1时，满足条件；当0a1时，由得0a，综上，实数a的取值范围是(1，)1. 函数ylogax，ylogbx，ylogcx，ylogdx的图象如图所示，则a，b，c，d的大小顺序是()A1dc
10、ab Bcd1abCcd1ba Ddc1ab答案B解析令函数ylogax，ylogbx，ylogcx，ylogdx取同样的函数值1，得到的自变量的值恰好分别是a，b，c，d.直线y1从左到右依次与上述四个函数的图象交于A(c，1)，B(d，1)，C(a，1)，D(b，1)(图略)，从而得出cda1，b1，d1，c1，cd1ab.2若lg(2x4)1，则x的取值范围是()A(，7 B(2,7C7，) D(2，)答案B解析由lg(2x4)1，得02x410，即2x7.3设alog37，b21.1，c0.83.1，则()Abac BcabCcba Dacb答案B解析alog37，1a2.c0.83.
11、1，0c1.即cab.4函数f(x)logax(0a1)在a2，a上的最大值是()A0 B1 C2 Da答案C解析0a1时，f(x)lg(x1)在(1，)上单调递增，所以B正确6(多选)已知a0，b0，且ab1，a1，则函数f(x)ax与函数g(x)logbx在同一坐标系中的图象可能是()答案AB解析g(x)logbxlogax，f(x)和g(x)的单调性相同，结合选项可知A，B正确7函数yloga(x4)2(a0且a1)恒过定点_答案(5,2)解析令x41得x5，此时yloga122，所以函数yloga(x4)2恒过定点(5,2)8若正实数x，y满足xy1，则log2xlog2y的最大值为_
12、答案2解析因为正实数x，y满足xy1，则0xy2，当且仅当xy时取“”，因为函数f(t)log2t在(0，)上单调递增，于是得log2xlog2ylog2(xy)log22，所以当xy时，log2xlog2y的最大值为2.9比较下列各组中两个值的大小：(1)ln 0.3，ln 2；(2)loga3.1，loga5.2(a0，且a1)；(3)log30.2，log40.2；(4)log3，log3.解(1)因为函数yln x在(0，)上是增函数，又0.32，所以ln 0.31时，函数ylogax在(0，)上是增函数，又3.15.2，所以loga3.1loga5.2；当0a1时，函数ylogax在
13、(0，)上是减函数，又3.1loga5.2.综上所述，当a1时，loga3.1loga5.2；当0aloga5.2.(3)因为0log0.23log0.24，所以，即log30.23，所以log3log331.同理，1loglog3，所以log3log3.10已知f(x)|lg x|，且ab1，试借助图象比较f(a)，f(b)，f(c)的大小解先作出函数ylg x的图象，再将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，于是得f(x)|lg x|的图象(如图)，由图象可知，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增由ab1得ff(a)f(b)，又f|lg c|lg c|f(c)
14、f(c)f(a)f(b)11已知函数f(x)ln x，g(x)lg x，h(x)log3x，直线ya(a0)与这三个函数的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()Ax2x3x1 Bx1x3x2Cx1x2x3 Dx3x2x1答案A解析分别作出这三个函数的大致图象，如图所示由图可知，x2x3x1.12若函数f(x)loga(xb)的图象如图所示，其中a，b为常数，则函数g(x)axb的图象大致是()答案D解析由f(x)的图象可知0a1,0b1，g(x)的图象应为D.13设偶函数f(x)loga|xb|在(，0)上单调递增，则f(a1)与f(b2)的大小关系是()Af(
15、a1)f(b2)答案D解析因为函数f(x)是偶函数，所以b0，又函数在(，0)上单调递增，所以函数在(0，)上单调递减，则0a1，所以1a12.因为f(a1)loga|a1|，f(b2)loga2，且1a1f(b2)14已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在0，)上单调递增，f0，则不等式 的解集为_答案(2，)解析f(x)是R上的偶函数，它的图象关于y轴对称f(x)在0，)上单调递增，f(x)在(，0上单调递减，由f0，得f0，则函数的大致图象如图所示或，解得x2或0x，原不等式的解集为(2，)15已知f(x)的值域为R，那么实数a的取值范围是_答案解析要使函数f(x)的值域为R，则必须满足即所以a.16若不等式x2logmx0在内恒成立，求实数m的取值范围解由x2logmx0，得x2logmx，在同一坐标系中作yx2和ylogmx的草图，如图所示要使x2logmx在内恒成立，只要ylogmx在内的图象在yx2图象的上方，于是0m1.当x时，yx2，只要当x时，ylogm即可，即m.又0m1，m1.即实数m的取值范围是.
