1、3.2.2奇偶性第1课时奇偶性的概念学习目标1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握判断和证明函数奇偶性的方法.3.应用函数的奇偶性解决简单的求值问题导语古语有云：“夫美者，上下，内外，大小，远近皆无害焉，故曰美”大家知道，我国的建筑，无论宫殿、庙宇、亭台、园林，无不有着对称之美，还能给人以稳重、博大、端庄的感觉，你能说出生活中和对称有关的例子吗？而对称美在数学中更是体现的淋漓尽致，今天我们来探究数学中的对称美一、函数奇偶性的概念问题1观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？提示这两个函数图象都关于y轴对称问题2如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”呢？不妨取自变量的一
2、些特殊值，观察下表相应函数值的情况x3210123f(x)x29410149g(x)2|x|1012101提示可以发现当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等问题3观察函数f(x)x和g(x)的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？并自主探究结果提示可以发现，两个函数的图象都关于原点成中心对称图形知识梳理偶函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数奇函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数注意点：(
3、1)函数的奇偶性是函数的整体性质(2)先判断定义域是否关于原点对称，如果xI，都有xI，即便定义域关于原点对称，还需判断f(x)与f(x)的关系，若f(x)f(x)，则函数是偶函数，若f(x)f(x)，则函数是奇函数，若f(x)f(x)，则函数为非奇非偶函数(3)偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称(4)若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)0.(5)若f(x)f(x)，且f(x)f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)0，xD，D是关于原点对称的实数集，但有无数个既奇又偶的函数二、函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性(1)f(x)|x|；
4、(2)f(x)；(3)f(x).(4)f(x)x.解(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(x)|x|x|f(x)，f(x)为偶函数(2)函数f(x)的定义域为1,1，关于原点对称，且f(x)0，又f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)既是奇函数又是偶函数(3)函数f(x)的定义域为x|x1，不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数(4)函数f(x)的定义域为x|x0，xx|x0，都有xx|x0，且f(x)xf(x)，f(x)是奇函数反思感悟判断函数奇偶性的方法(1)定义法：(2)图象法：跟踪训练1判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)x2(x22)解(1)f(x)
5、的定义域为(，0)(0，)，f(x)f(x)，f(x)是奇函数(2)f(x)x2(x22)的定义域为R.f(x)f(x)，f(x)x2(x22)是偶函数三、奇、偶函数的图象及应用例2已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)x22x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示(1)请补全函数yf(x)的图象；(2)根据图象写出函数yf(x)的单调递增区间；(3)根据图象写出使f(x)0的x的取值集合解(1)由题意作出函数图象如图(2)由图可知，单调递增区间为(1,0)，(1，)(3)由图可知，使f(x)0的x的取值集合为x|2x2，且x0延伸探究若将本例中的“偶函数”改为
6、“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？解(1)由题意作出函数图象如图所示(2)由图可知，单调递增区间为(1,1)(3)由图可知，使f(x)0的x的取值集合为x|2x2反思感悟巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题跟踪训练2定义在3，11,3上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；(2)比较f(1)与f(3)的大小解(1)由于f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示(2)观察图象，知f(3)1)是奇函数，则a等
7、于()A1 B0C1 D无法确定答案C解析奇函数的定义域关于原点对称，a10，即a1.2下列图象表示的函数中具有奇偶性的是()答案B解析选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C，D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数3(多选)下列函数是奇函数的是()Ayx(x0,1) By3x2Cy Dyx|x|答案CD解析利用奇函数的定义，首先定义域关于原点对称，排除选项A；又奇函数需满足f(x)f(x)，排除选项B.4已知函数yf(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)0的所有实根之和是_答案0解析由于偶
8、函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.1已知yf(x)，x(a，a)，F(x)f(x)f(x)，则F(x)是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数答案B解析F(x)f(x)f(x)F(x)，又x(a，a)关于原点对称，F(x)是偶函数2若f(x)3x35xa1为R上的奇函数，则a的值为()A0 B1 C1 D2答案C解析f(x)为R上的奇函数，f(0)0，得a1.3若函数f(x)满足1，则f(x)的图象的对称轴是()Ax轴 By轴C直线yx D不能确定答案B解
9、析1f(x)f(x)，f(x)为偶函数，其图象的对称轴为y轴4. 如图，给出奇函数yf(x)的局部图象，则f(2)f(1)的值为()A2 B2C1 D0答案A解析f(2)f(1)f(2)f(1)2.5已知f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)2x，若f(2)f(0)1，则f(3)等于()A4 B3 C2 D1答案A解析因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)0，又因为f(2)f(0)1，所以f(2)41，解得a6，所以f(x)2x(x0)，所以f(3)f(3)4.6(多选)下列函数中为奇函数的是()Af(x)x3 Bf(x)x5Cf(x)x Df(x)答案ABC解析选项ABC中的函数满足
10、定义域关于原点对称，且f(x)f(x)，由奇函数的定义可知选ABC.7. 设偶函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集是_答案x|5x2或2x5解析因为偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)0的解集因为当x0,5时，f(x)0的解集为x|2x5，所以当x5,0时，f(x)0的解集为x|5x2所以f(x)0的解集是x|5x2或20时，f(x)的图象如图所示，那么f(x)的值域是_答案3，1)(1,3解析因为当0x3时，函数单调递增，由图象可知1f(x)3，由于函数f(x)是奇函数，所以当3x0时，3f(x)0时，x0，则
11、f(x)(x)2(x)x2xf(x)；当x0，则f(x)(x)2(x)x2xf(x)，所以f(x)是偶函数10(1)如图，给出奇函数yf(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；(2)如图，给出偶函数yf(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小解(1)奇函数yf(x)在y轴左侧图象上任一点P(x，f(x)关于原点的对称点为P(x，f(x)，图为图补充后的图象，易知f(3)2.(2)偶函数yf(x)在y轴左侧图象上任一点P(x，f(x)关于y轴的对称点为P(x，f(x)，图为图补充后的图象，易知f(1)f(3)11已知f(x)ax3bx2是定义在a1,
12、3a上的奇函数，那么ab等于()A B. C. D答案B解析f(x)ax3bx2是定义在a1,3a上的奇函数，定义域关于原点对称，即a13a0，解得a，则函数f(x)x3bx2.再由奇函数的定义得f(x)f(x)，x3bx2，b0，则ab.12函数f(x)是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数答案B解析若x是有理数，则x也是有理数，f(x)f(x)1；若x是无理数，则x也是无理数，f(x)f(x)0.函数f(x)是偶函数13(多选)对于定义在R上的函数f(x)，则下列判断正确的是()A若函数f(x)满足f(2)f(2)，则f(x)是偶函数B若函数f(x)满足f(2)f(2)
13、，则f(x)不是偶函数C若函数f(x)满足f(2)f(1)，则f(x)是R上的单调增函数D若函数f(x)满足f(2)f(1)，则f(x)不是R上的单调减函数答案BD解析A选项，若f(x)x(x24)，则f(2)0，f(2)0，故f(2)f(2)，又f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(x)x(x)24x(x24)f(x)，所以f(x)为奇函数，故A错误；B选项，依据偶函数的定义知，若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)，则可知满足f(2)f(2)的函数必然不是偶函数，故B正确；C选项，若f(x)x2，则f(2)4，f(1)1，故f(2)f(1)，但函数f(x)x2在(，0)上为减函数，在(
14、0，)上为增函数，故C错误；D选项，因为21，f(2)f(1)，所以f(x)不是R上的单调减函数，故D正确14已知定义域为a4,2a2的奇函数f(x)2 023x35xb2，则f(a)f(b)的值为_答案0解析因为奇函数的图象关于原点对称，所以a42a20，所以a2，因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)0，即b20，故b2，所以f(a)f(b)f(2)f(2)f(2)f(2)0.15已知函数f(x)，若f(a)，则f(a)_.答案解析根据题意，f(x)1，而h(x)是奇函数，故f(a)1h(a)1h(a)21h(a)2f(a)2.16已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(xy)f(x)f(y)，(1)求证：f(x)是奇函数；(2)若f(3)a，试用a表示f(12)(1)证明由已知f(xy)f(x)f(y)，令yx得f(0)f(x)f(x)，令xy0得f(0)2f(0)，所以f(0)0.所以f(x)f(x)0，即f(x)f(x)，故f(x)是奇函数(2)解由(1)知f(x)为奇函数所以f(3)f(3)a，所以f(3)a.又f(12)f(6)f(6)2f(3)2f(3)4f(3)，所以f(12)4a.
