1、小学数学解题策略（20）集合法第二十讲 集合法我们在研究一些问题时，可以把某一确定范围内的事物的全体看作是一个集合。例如，所有自然数就可以看作是一个集合。在小学一般用画图的方式表示集合，这种图叫作韦恩图（韦恩是英国数学家）。运用集合的思想，利用韦恩图进行解题的方法叫做集合法。 例1 五年级一班有48人。在午后自习时，做完语文作业的有37人，做完数学作业的有42人。语文、数学作业都做完的有多少人？（适于三年级程度）解：由题意可知，做完语文作业的37人中有一部分只做完语文作业，另一部分既做完语文作业又做完数学作业。做完数学作业的42人中也是有一部分只做完数学作业，另一部分既做完数学作业又做完语文作
2、业。所以，如果我们用A圆圈表示做完语文作业的人数，用B圆圈表示做完数学作业的人数，则两个圆圈相交的阴影部分就表示语文、数学作业都做完的人数（如图20-1）。从图中可以看出，语文、数学作业都做完的人数等于A圆圈的人数加上B圆圈的人数减去全班的总人数。37+42-48=31（人）答：语文、数学作业都做完的有31人。例2 有110名学生参加书法和绘画比赛，参加书法比赛的有72人，既参加书法比赛又参加绘画比赛的有24人。参加绘画比赛的有多少人？（适于三年级程度）解：可通过画如图20-2的韦恩图来分析题意。A圆圈表示参加书法比赛的人数，B圆圈表示参加绘画比赛的人数，两圆圈相交的阴影部分表示既参加书法比赛
3、又参加绘画比赛的人数。由图可知，参加绘画比赛的人数应等于总人数减去只参加书法比赛的人数。而只参加书法比赛的人数等于A圆圈的人数减去相交阴影部分的人数。只参加书法比赛的人数：72-24=48（人）参加绘画比赛的人数：110-48=62（人）答略。（适于六年级程度）解：参加径赛的有：根据题意作图20-3从图中可以看出，只参加田赛的人数是：276-230=46（人）两种活动都参加的人数是：184-46=138（人）答略。*例4 某班45名学生期末考试的成绩如下：语文90分以上的有14人，数学90分以上的有25人，语文和数学都不足90分的有17人。求语文、数学都在90分以上的有多少人？（适于五年级程度
4、）解：作图20-4。由图可看出，语文、数学一门或两门在90分以上的人数是：45-17=28（人）只语文在90分以上的人数是：28-25=3（人）只数学在90分以上的人数是：28-14=14（人）语文、数学都在90分以上的人数是：28-（14+3）=11（人）答略。*例5 学校气象小组有50名成员，其中负责观测的有19人，负责记录的有15人，既负责观测又负责记录的有7人。问：（1）只负责记录，不负责观测的有多少人？（2）只负责观测，不负责记录的有多少人？（3）气象小组有多少人负责其他工作？（适于高年级程度）解：作图20-5。用A圆圈表示负责观测的人数，用B圆圈表示负责记录的人数，则两圆圈相交的阴
5、影部分就表示既负责观测又负责记录的人数。由图20-5可知，只负责记录，不负责观测的人数，等于负责记录的人数减去既负责观测又负责记录的人数；只负责观测，不负责记录的人数，等于负责观测的人数减去既负责观测又负责记录的人数；气象小组负责其他工作的人数，等于总人数减去负责观测和负责记录的人数，再加上既负责观测又负责记录的人数。（1）只负责记录，不负责观测的人数：15-7=8（人）（2）只负责观测，不负责记录的人数为：19-7=12（人）（3）负责其他工作的人数为：50-19-15+7=23（人）答略。*例6 某班有45名学生。据统计，喜爱足球、篮球、排球这三项运动的各有26人，喜爱其中两项运动的分别有
6、13、14、15人。三项运动都喜爱的有多少人？（适于高年级程度）解：用A圆圈表示喜爱足球的人数，B圆圈表示喜爱篮球的人数，C圆圈表示喜爱排球的人数。则A、B两圆圈相交的部分表示既喜爱足球又喜爱篮球的人数；B、C两圆圈相交的部分表示既喜爱篮球又喜爱排球的人数；A、C两圆圈相交的部分表示既喜爱足球又喜爱排球的人数；A、B、C三个圆圈相交的部分表示三项运动都喜爱的人数（图20-6）。由图20-6可知，三项运动都喜爱的人数应等于班级的总人数减去喜爱足球、篮球、排球的人数，再加上既喜爱足球又爱篮球、既喜爱篮球又喜爱排球、既喜爱足球又喜爱排球的人数。45-263+（13+14+15）=45-78+42=4
7、5+42-78=87-78=9（人）答：三项运动都喜爱的有9人。*例7 55名学生中，有18人参加合唱队，25人参加美术组，17人参加运动队，参加合唱队与美术组的共有36人，没有人既参加合唱队又参加运动队，什么组都没有参加的有5人，请回答：（1）既参加合唱队又参加美术组的有多少人？（2）只参加合唱队的有多少人？（3）只参加美术组的有多少人？（4）只参加运动队的有多少人？（5）既参加运动队又参加美术组的有多少人？（适于高年级程度）解：作图20-7。因为参加合唱队与美术组的共有36人，所以：（1）既参加合唱队又参加美术组的人数是：18+25-36=7（人）（2）只参加合唱队的人数是：18-7=11（人）现在还不能求出只参加美术组的人数，先求出去掉既参加美术组又参加合唱队的7人，美术组剩下的人数是：25-7=18（人）因为在55名学生中，参加美术组、运动队的总人数是25+17=42（人），只参加合唱队的有11人，什么组都没有参加的有5人，参加美术、体育两项活动的实际人数是：55-5-11=39（人）所以：（5）既参加运动队又参加美术组的人数是：42-39=3（人）（4）只参加运动队的人数是：17-3=14（人）（3）只参加美术组的人数是：18-3=15（人）答略。9
