1、第4章 根轨迹法第4章 根轨迹法l 主要内容l根轨迹的基本概念l根轨迹的绘制法则l用根轨迹法分析系统的暂态特性l小结第4章 根轨迹法l 学习重点v了解根轨迹的基本特性和相关概念；v了解根轨迹的类型划分，熟练掌握根轨迹的分类原则；v掌握根轨迹的绘制法则，并能够熟练地应用到根轨迹的绘制过程中；v学会应用主导极点、偶极子等概念近似分析系统的性能。第4章 根轨迹法l根轨迹法l 一种由传递函数求特征根的简便方法。它是一种用图解方法表示特征根与系统参数的全部数值关系的方法。l 1948年，由伊文思（W.R.Evans）提出。l根轨迹法的任务l 由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法确定闭环极点。4.1
2、 根轨迹法的基本概念l根轨迹l 系统开环传递函数的每一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根在 S 平面上的变化轨迹。)15.0(ssK例例4.1 二阶系统的根轨迹二阶系统的根轨迹闭环传递函数闭环传递函数特征方程特征方程闭环极点闭环极点2()220D sssK22()22BKWsssK12112112sKsK 研究开环放大系数研究开环放大系数K与闭环特征根的关系。当取不同与闭环特征根的关系。当取不同K值值时，算得闭环特征根如下：时，算得闭环特征根如下：K00-20.5-1-11-1+j-1-j2-1+j-1-j-1+j-1-j1s332s4.1 根轨迹法的基本概念K K由由00变化时，
3、闭环特征根在变化时，闭环特征根在S S平面上移动的平面上移动的轨迹如下图所示。这就是该系统的根轨迹。轨迹如下图所示。这就是该系统的根轨迹。根轨迹直观地表示了参数根轨迹直观地表示了参数K变化时，闭环特征根的变化时，闭环特征根的变化，并且还给出了参数变化，并且还给出了参数K对闭环特征根在对闭环特征根在S平面平面上分布的影响。上分布的影响。根轨迹方程根轨迹方程控制系统结构图控制系统结构图开环传递函数开环传递函数)()()()()()()()()(11212121sDsNKpszsKsDsDsNsNKKsWgnjjmiigK式中：式中：开环零点；开环零点；开环极点。开环极点。闭环系统特征方程式为闭环系
4、统特征方程式为或可写作或可写作izjp()11()0()gKK N sWsD s gnjjmiiKpszssDsN1)()()()(11 这个方程式表达了开环传递函数与闭环特征方程这个方程式表达了开环传递函数与闭环特征方程式的关系式的关系，该方程的解即为闭环特征根，因此该式又，该方程的解即为闭环特征根，因此该式又称为称为根轨迹方程根轨迹方程。令令s=+j代入可得代入可得11()()1()()miingjjszN sD sKsp 上式是一个复数，可表示成幅值和辐角的形式，则根轨上式是一个复数，可表示成幅值和辐角的形式，则根轨迹方程又可分别表示成迹方程又可分别表示成幅值条件幅值条件：1111()(
5、)miiiinjjjjszlN sD sLsp1gssK开环有限零点到 点的矢量长度之积开环极点到 点的矢量长度之积辐角条件辐角条件：（充分必要条件）：（充分必要条件）式中：式中：开环有限零点到开环有限零点到s点的矢量辐角；点的矢量辐角；开环极点到开环极点到s点的矢量辐角；点的矢量辐角；满足幅值条件和辐角条件的满足幅值条件和辐角条件的s值，就是特征方程值，就是特征方程式的根，也就是闭环极点。式的根，也就是闭环极点。1111()()mnmnijijijijN sszspD s180(12)(0,1,2,)o ij 因为因为 在在0范围内连续变化，总有一范围内连续变化，总有一个值能满足幅值条件。所
6、以，绘制根轨迹的个值能满足幅值条件。所以，绘制根轨迹的依据是辐角条件。依据是辐角条件。利用幅值条件计算利用幅值条件计算 值比较方便，它可值比较方便，它可以作为计算以作为计算 值的依据。值的依据。gKgKgK 绘制根轨迹的一般步骤绘制根轨迹的一般步骤（1）出）出 =0 和和 =时的特征根时的特征根（2）根据绘制法则大致画出）根据绘制法则大致画出0 m 时，则有（时，则有（n-m)条根轨迹分支终止于条根轨迹分支终止于无限零点无限零点。这些趋向无穷远的根轨迹分支的渐近。这些趋向无穷远的根轨迹分支的渐近线由与实轴的线由与实轴的夹角夹角和和交点交点来确定。来确定。),2,1,0()21(180mno无穷
7、远处的特征根，到无穷远处的特征根，到S平面上所有开环有限零点和极点平面上所有开环有限零点和极点的矢量辐角都相等，均为的矢量辐角都相等，均为 ，即，即ji1118012mnijijmn 独立的渐近线只有（独立的渐近线只有（n-m）条）条（1）渐近线的倾角）渐近线的倾角代入辐角条件得代入辐角条件得即渐近线的倾角为即渐近线的倾角为gnjjnjnjnmiimimimnjjmiiKpspszszspszssDsN1)()()()(11111111111111()n mnmkgn mn mjijisKspzs当当 时，时，即得，即得ksskjipz（2）渐近线的交点）渐近线的交点k由幅值条件由幅值条件令上
8、式中等式两边的项系数相等，令上式中等式两边的项系数相等，即得即得渐近线的渐近线的交点交点mnzpmiinjjk11由于由于 和和 是实数或共轭复数，故是实数或共轭复数，故 必为实数，必为实数，因此因此渐近线交点总在实轴上渐近线交点总在实轴上。jpizk例例4-3 4-3 设开环传递函数为设开环传递函数为)4)(1()(sssKsWgK180(12)180(12)60,60,18030ooooonm 试确定其根轨迹渐近线。试确定其根轨迹渐近线。解解 （1 1）计算渐近线倾角。）计算渐近线倾角。因为因为m=0,n=3,m=0,n=3,所以所以可得渐近线倾角为可得渐近线倾角为111405303nmj
9、ijikpznm 因为因为 n=3,m=0；所以渐近线交点为所以渐近线交点为0120,1,4;ppp（2）计算渐近线交点。）计算渐近线交点。7 根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角出射角出射角 ：根轨迹离开：根轨迹离开S平面上开环极点处的平面上开环极点处的切线与实轴的夹角。切线与实轴的夹角。入射角入射角 ：根轨迹进入：根轨迹进入S平面上开环零点处的平面上开环零点处的切线与实轴的夹角。切线与实轴的夹角。scsr例例4-4 已知开环传递函数为已知开环传递函数为试计算起点（试计算起点（-1+j1）的斜率。）的斜率。)22)(3()2()(2sssssKsWgK把以上诸值代入辐角条件，即得起点
10、（把以上诸值代入辐角条件，即得起点（-1+j1）的出射角为）的出射角为解解 令令 稍为增大，在（稍为增大，在（-1+j1）附近的特征根）附近的特征根 应满足辐应满足辐角条件，即角条件，即ksks11234()180(12)o o6.264112345,135,26.690oooo，解得解得111180nmoscjiji111180nmosrjiji同理可得同理可得入射角入射角的计算公式为的计算公式为通过这个例子，可以得到计算通过这个例子，可以得到计算出射角出射角的公式为的公式为 8根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴相交时，特征方程式的根根轨迹与虚轴相交时，特征方程式的根 ，此时
11、系，此时系统处于临界稳定状态，令此时的统处于临界稳定状态，令此时的 。由此可计算对应的。由此可计算对应的临界放大系数临界放大系数 值。值。确定交点的方法：确定交点的方法：（1 1）把）把 代入特征方程式；代入特征方程式；（2 2）利用劳斯判据）利用劳斯判据。sj lKglKKsj 例例4-5 设有开环传递函数为设有开环传递函数为 试确定根轨迹与虚轴的交点，并计算临界放大系数。试确定根轨迹与虚轴的交点，并计算临界放大系数。2()(1)(0.51)(1)(2)KKKKKWss sss ss32()3220KF ssssK假设假设 时根轨迹与虚轴相交，于是令上式中时根轨迹与虚轴相交，于是令上式中sj
12、KlKK解解 方法（方法（1 1）根据给定的开环传递函数，可得特征方程式为根据给定的开环传递函数，可得特征方程式为 则得则得 亦即亦即 解得：解得：，对应根轨迹的起点；，对应根轨迹的起点；，对应根轨迹与虚轴相交。，对应根轨迹与虚轴相交。交点处的（临界放大系数）为交点处的（临界放大系数）为 0KK3KK00)2(32)(32jKjFl2323020lK2 3lK 方法（方法（2 2）用劳斯判据计算交点和临界放大系数用劳斯判据计算交点和临界放大系数3213s2s2KK1s223KK0s2KK32()3220KF ssssK劳斯表劳斯表特征方程特征方程在第一列中，令在第一列中，令 行等于零，则得临界
13、放大系数行等于零，则得临界放大系数 根轨迹与虚轴的交点可根据根轨迹与虚轴的交点可根据 行的辅助方程求得，即行的辅助方程求得，即 令上式中令上式中 ，即得根轨迹与虚轴的交点为，即得根轨迹与虚轴的交点为 3KK2sj 2s2320KsK3KlKK1s 9 根轨迹的走向根轨迹的走向 如果特征方程的阶次如果特征方程的阶次 ，则一些根轨迹右行时，则一些根轨迹右行时，另一些根轨迹必左行另一些根轨迹必左行 。说明：把特征方程式改为说明：把特征方程式改为式中：式中：是一个常数，它是各特征根之和。这表明，是一个常数，它是各特征根之和。这表明，随着随着 值改变，一些特征根增大时，另一些特征根必减小。值改变，一些特
14、征根增大时，另一些特征根必减小。2mn 1111()0nnnkjnjWssRsa sanjjRa11gK根轨迹绘制法则归纳如下：根轨迹绘制法则归纳如下：（1 1）起点（）起点（）。开环传递函数的极点即根轨迹的起点。）。开环传递函数的极点即根轨迹的起点。（2 2）终点（）终点（）。根轨迹的终点即开环传递函数的零点）。根轨迹的终点即开环传递函数的零点（包括（包括 m 个有限零点和（个有限零点和（n-m）个无限零点）。）个无限零点）。（3 3）根轨迹数目及对称性。根轨迹数目为）根轨迹数目及对称性。根轨迹数目为 ，根轨，根轨迹对称于实轴。迹对称于实轴。（4 4）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的零点、
15、极点之和）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的零点、极点之和应是奇数。应是奇数。0gK gK max(,)n m（5 5）分离点与会合点。分离点与会合点满足方程）分离点与会合点。分离点与会合点满足方程 0)()()()(sDsNsNsD（6）根轨迹的渐近线。）根轨迹的渐近线。渐近线的倾角渐近线的倾角),2,1,0()21(180mno渐近线交点渐近线交点 mnzpmiinjjk11（9）根轨迹走向。）根轨迹走向。如果特征方程的阶次如果特征方程的阶次 ，则一些根轨迹，则一些根轨迹右行时，另一些根轨迹必左行右行时，另一些根轨迹必左行。2mn（8）根轨迹与虚轴交点。把）根轨迹与虚轴交点。把 代入特征方
16、程式代入特征方程式，即可解出交点处的临界即可解出交点处的临界 值和交点坐标。值和交点坐标。sj gK入射角入射角njmiijosr111180111180njmiijosc出射角出射角（7）根轨迹的出射角与入射角。）根轨迹的出射角与入射角。4.2.2 4.2.2 自动控制系统的根轨迹自动控制系统的根轨迹1.1.二阶系统二阶系统 设二阶系统的结构图如下图所示。它的开环传递函数为设二阶系统的结构图如下图所示。它的开环传递函数为()1(1)()gKKKKWssTss sT二阶系统的根轨迹图如右图所示。二阶系统的根轨迹图如右图所示。gK如果要使得系统的阻尼比为如果要使得系统的阻尼比为 21则从原点作阻
17、尼线则从原点作阻尼线0R,交根轨迹于交根轨迹于R（见右图）。（见右图）。开环放大系数开环放大系数 应为应为 KK12KKT上式和第三章第三节用分析法所得的二阶工程最佳参数相同上式和第三章第三节用分析法所得的二阶工程最佳参数相同 2 2开环具有零点的二阶系统开环具有零点的二阶系统 二阶系统增加一个零点时，系统结构图如下图所示。二阶系统增加一个零点时，系统结构图如下图所示。它的开环传递函数为它的开环传递函数为)2.0()()15(2.0)()(ssasKssasKsWgK由下图知，复平面上的根轨迹是一个圆（证明详见教材）。由下图知，复平面上的根轨迹是一个圆（证明详见教材）。这个圆与实轴的交点即为这
18、个圆与实轴的交点即为分离点和会合点：分离点和会合点：aaas2.021aaas2.022 本例说明：正向通道内适当引进零点，将使根轨迹向左偏移，本例说明：正向通道内适当引进零点，将使根轨迹向左偏移，能改善系统动态品质。能改善系统动态品质。时的根轨迹图时的根轨迹图 1a 3.三阶系统三阶系统 二阶系统附加一个极点的系统的结构图如下图所二阶系统附加一个极点的系统的结构图如下图所示。它的开环传递函数为示。它的开环传递函数为()(1)(1)(1)()KKgKWss sTsKs ssa在在 时，分离点为时，分离点为 和和 。因为在。因为在-1-4之间不可能有根轨迹，故分离点应为之间不可能有根轨迹，故分离
19、点应为 。4a 467.01s87.22s467.01s当当 时，根轨迹与虚轴交点为时，根轨迹与虚轴交点为对应的根轨迹放大系数为对应的根轨迹放大系数为考虑到考虑到 ，于是得临界开，于是得临界开环放大系数为环放大系数为根轨迹绘于右图。根轨迹绘于右图。4a 220gKlgKK45420lK本例说明：在二阶系统中附加一个极点，随着本例说明：在二阶系统中附加一个极点，随着 增大，增大，根轨迹会向右变化，并穿过虚轴，使系统趋于不稳定。根轨迹会向右变化，并穿过虚轴，使系统趋于不稳定。gK 4 4 具有时滞环节的系统具有时滞环节的系统假设假设,时滞系统的结构如图所示时滞系统的结构如图所示,其开环传递函数为其
20、开环传递函数为sgKesDsNKsW)()()(闭环系统的特征方程式为闭环系统的特征方程式为0)()()()(11misignjjsgezsKpsesNKsD假设特征根假设特征根 ，则满足特征根的幅值和辐角条，则满足特征根的幅值和辐角条件为件为jsgnjjmiiKpszse1)()(11njmiijzsps11)21()()(与前面介绍的根轨迹绘制法则相对比可知，时滞系统的根轨迹绘制与前面介绍的根轨迹绘制法则相对比可知，时滞系统的根轨迹绘制法则法则要有所变化。要有所变化。时滞系统的根轨迹绘制法则：时滞系统的根轨迹绘制法则：（1）起点（）起点（）。当）。当 时，除开环极点时，除开环极点 是起点外
21、，是起点外，也是起点。也是起点。（2）终点（）终点（）。当）。当 时，除开环有限零时，除开环有限零点点 是终点外，是终点外，也是终点。也是终点。（3）根轨迹数目及对称性。根轨迹有无限多条分支。）根轨迹数目及对称性。根轨迹有无限多条分支。根轨迹对称于实轴。根轨迹对称于实轴。（4）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的开环零、）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的开环零、极点之和为奇数。极点之和为奇数。gK 0gK 0gK gK jpiz（5）分离点与会合点。）分离点与会合点。0)()()()(sDsNeesNsDss（6）渐近线。水平线，与虚轴交点为）渐近线。水平线，与虚轴交点为N0gK 时，gK 时
22、，2,12NnmNnm 为奇数，为偶数12N （7 7）出射角与入射角。）出射角与入射角。111)(njmiijscnjmiijsr111)(（8）根轨迹与虚轴交点。）根轨迹与虚轴交点。11arctanarctan(12)nmjijipzmiinjjlzjpjK11)()(临界根轨迹放大系数临界根轨迹放大系数（9）复平面上的根轨迹。）复平面上的根轨迹。0miinjjzsps110)()(由辐角条件，假设由辐角条件，假设 得得例例4-6 设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为)1()()(sseKesDsNKsgsg试绘制其根轨迹。试绘制其根轨迹。解解 （1）起点）起点 为：为：,；其他起
23、点；其他起点为为 ，其渐近线为，其渐近线为 00p11 p(12)(0,1,2,)（2）终点）终点 为：为：，其渐近线同上。，其渐近线同上。)(gK（3）在实轴的）在实轴的 0 -1区间有根轨迹。区间有根轨迹。（4）分离点位置按式（）分离点位置按式（4-25）计算，得）计算，得(0)gK 01)2()()()()()(2sssDsNsNsNsD 由此算得由此算得4)2(212s当当 时，得时，得 ，。因根轨迹位。因根轨迹位于于0 1间，故分离点是间，故分离点是 。110.382s 22.618s 10.382s （5）根轨迹与虚轴交点。当）根轨迹与虚轴交点。当 ，得，得 012arctan0.
24、86由此得由此得 对应的临界根轨迹放大系数为对应的临界根轨迹放大系数为134.1lK同理可计算同理可计算 时的时的 和和 值值。根据以上计算结根据以上计算结果作的根轨迹如下图所示。果作的根轨迹如下图所示。0lK 当滞后时间当滞后时间 很小时，根轨迹与虚交点的值很小时，根轨迹与虚交点的值 将很大，临界根轨迹放大系将很大，临界根轨迹放大系数数 也是很大。这时时滞环节的影响减弱。因此，也是很大。这时时滞环节的影响减弱。因此，对于滞后时间对于滞后时间 为毫秒级为毫秒级的元件，我们常把它的传递函数近似地认为的元件，我们常把它的传递函数近似地认为 ，即把它等效成为，即把它等效成为一个惯性元件。一个惯性元件
25、。lKses114.2.3 4.2.3 零度根轨迹零度根轨迹 零度根轨迹：根轨迹的辐角条件不是零度根轨迹：根轨迹的辐角条件不是 ，而，而是是 的情况。的情况。)21(180 360 图示系统有一个零点在图示系统有一个零点在S右半平面，它的传递函数右半平面，它的传递函数为为)()()1()1()(111psszsKsTssTKsWgakK 它的闭环特征方程式为它的闭环特征方程式为 0)()()()(11zsKpsssNKsDgggKpsszssDsN1)()()(11亦即亦即 gKpsszssDsN1)()()(11幅值条件幅值条件辐角条件辐角条件minjjipszssDsN11)()()()(
26、11360(0,1,2)mnijij由于辐角条件是偶数个由于辐角条件是偶数个 ，故名为零度根轨迹。，故名为零度根轨迹。零度根轨迹的绘制，改变了与幅角有关的规则：零度根轨迹的绘制，改变了与幅角有关的规则：（1 1）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的零点、极点之和）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的零点、极点之和应是偶数。应是偶数。（2 2）根轨迹的渐近线。倾角根轨迹的渐近线。倾角（3 3）根轨迹的出射角与入射角。根轨迹的出射角与入射角。2,(0,1,2,)nm111360nmosrjiji111360nmoscjiji入射角入射角出射角出射角 例例4-7 4-7 试绘制下图示系统的根轨迹。试绘制
27、下图示系统的根轨迹。解解（1）二个开环极点：）二个开环极点：，；一个有限零点：一个有限零点：和一个无限零点。和一个无限零点。00p111TpaTz11 （2）实轴上根轨迹。确定这一系统实轴上轨迹的原则是，）实轴上根轨迹。确定这一系统实轴上轨迹的原则是，它右侧的零、极点数目之和应是偶数。因为只有这样，它右侧的零、极点数目之和应是偶数。因为只有这样，才能满足辐角条件。因此在实轴的才能满足辐角条件。因此在实轴的0 和和 区区间存在根轨迹。间存在根轨迹。（3）分离点与会合点）分离点与会合点 分离点与会合点分别为分离点与会合点分别为 11TaT10)()()()()()(111psszsspssDsNs
28、NsD11111aaTsTT21111aaTsTT 根轨迹如下图所示。根轨迹如下图所示。不难证明，复平面上的轨迹是一个圆，圆心为有限零不难证明，复平面上的轨迹是一个圆，圆心为有限零点点 ，半径为，半径为 。aTz1111TTa 4.2.4 4.2.4 参数根轨迹参数根轨迹 参数根轨迹（或广义根轨迹）：以参数根轨迹（或广义根轨迹）：以 以外的参数作为变以外的参数作为变量的根轨迹，称为参数根轨迹。量的根轨迹，称为参数根轨迹。1.1.一个参数变化的根轨迹一个参数变化的根轨迹 假设系统的可变参数是某一时间常数假设系统的可变参数是某一时间常数T T，原特征方程式变，原特征方程式变为为gK()()()()
29、gTTK N sTNsD sDs式中，式中，、分别为等效的开环传递函数分子、分母多项分别为等效的开环传递函数分子、分母多项式，式，T的位置与原根轨迹放大系数的位置与原根轨迹放大系数 完全相同。完全相同。()TNs()TDsgK 例例4-9 4-9 给定控制系统的开环传递函数为给定控制系统的开环传递函数为 试作出以为参变量的根轨迹，并利用根轨迹分析取何值时试作出以为参变量的根轨迹，并利用根轨迹分析取何值时闭环系统稳定。闭环系统稳定。解解 闭环特征方程闭环特征方程 改写为改写为 等效的开环传递函数为等效的开环传递函数为 ,0(2)KsaWsassa0)1()12(22sassasassa0)12(
30、)1(1sssa)12()1()(sssasWeq该系统在绘制以为该系统在绘制以为 参变量的根轨迹时，应遵循零度根轨迹的绘制规则。参变量的根轨迹时，应遵循零度根轨迹的绘制规则。相应的根轨迹绘于右图。相应的根轨迹绘于右图。由图可知，当由图可知，当 时系统处于临界稳定状时系统处于临界稳定状态。态。闭环系统稳定的范围：闭环系统稳定的范围：例例4-9 系统的根轨迹系统的根轨迹本例说明，尽管在许多情况下，都是绘制常义根轨迹，但是在绘制参数根本例说明，尽管在许多情况下，都是绘制常义根轨迹，但是在绘制参数根轨迹、研究正反馈系统、处理非最小相位系统时，都有可能遇到绘制零度轨迹、研究正反馈系统、处理非最小相位系
31、统时，都有可能遇到绘制零度根轨迹的情形。根轨迹的情形。1a 10 a 2.几个参数变化的根轨迹（根轨迹簇）几个参数变化的根轨迹（根轨迹簇）在某些场合，需要研究几个参数同时变化对系统性能的影在某些场合，需要研究几个参数同时变化对系统性能的影响。例如在设计一个校正装置传递函数的零、极点时，就响。例如在设计一个校正装置传递函数的零、极点时，就需研究这些零、极点取不同值时对系统性能的影响。为此，需研究这些零、极点取不同值时对系统性能的影响。为此，需要绘制几个参数同时变化时的根轨迹，所作出的根轨迹将需要绘制几个参数同时变化时的根轨迹，所作出的根轨迹将是一组曲线，称为根轨迹簇。是一组曲线，称为根轨迹簇。4
32、.2 根轨迹的绘制法则l例4-10 一单位反馈控制系统如图所示，试绘制以K和 为参数的根轨迹。a解解 系统闭环特征方程为系统闭环特征方程为20sasK先令先令 ，则上式变为，则上式变为或写作或写作0a 20sK210Ks4.2 根轨迹的绘制法则l令l据此作出 对应的根轨迹，如下图a所示。这是l 时，以K为参变量的根轨迹。l其次考虑 ，把闭环特征方程改写为 l令12()KKWss1()KWs0a 0a 210assK22()KasWssK它的极点为，零点为它的极点为，零点为0。不难证明，对应特征方程的根轨迹。不难证明，对应特征方程的根轨迹为一圆弧，其方程为为一圆弧，其方程为 4.2 根轨迹的绘制
33、法则l例如令K=9，则 22()9KasWss2223下图下图b为为K取不同值时所作的根轨迹簇。取不同值时所作的根轨迹簇。根轨迹绘出以后，对于一定的根轨迹绘出以后，对于一定的 值，即可利用幅值条值，即可利用幅值条件，确定相应的特征根（闭环极点）。如果闭环系统的零件，确定相应的特征根（闭环极点）。如果闭环系统的零点是已知的，则可以根据闭环系统零、极点的位置以及已点是已知的，则可以根据闭环系统零、极点的位置以及已知的输入信号，分析系统的暂态特性。知的输入信号，分析系统的暂态特性。gK 4.3.1 在根轨迹上确定特征根在根轨迹上确定特征根 根据已知的根据已知的 值，在根轨迹上确定特征根的位置时，可值
34、，在根轨迹上确定特征根的位置时，可以采用试探法。以采用试探法。gKgK1.取试验点取试验点 2.连接连接 与开环与开环 零极点零极点0s0s 对于对于 的系统，可先在实轴上选实验点，的系统，可先在实轴上选实验点，找出闭环实极点后再确定闭环复极点。找出闭环实极点后再确定闭环复极点。例例4-11 系统开环传函为系统开环传函为试确定试确定 的闭环极点。的闭环极点。解解 闭环特征方程为闭环特征方程为3nm 14gKKWss ss 1140KgWss ssK10gK 由图可知：在由图可知：在有一实根，设其为有一实根，设其为:411R 实根求法：实根求法：1.试探法试探法 2.作图法作图法由由140gs
35、ssK求得求得 的一个特征根为的一个特征根为114.6R-=10gK 设另外两个复根为：设另外两个复根为：由特征方程得由特征方程得:根据代数方程根与系数的关系有：根据代数方程根与系数的关系有：可求得二共轭复根可求得二共轭复根:2232RjRj 321231454ggs ssKsssKsRsRsR12312212325,0.24.6 0.20.2,1.46gRRRR R RjjK 2,30.21.46Rj 4.3.2 用根轨迹法分析系统的性能用根轨迹法分析系统的性能用根轨迹法分析控制系统：用根轨迹法分析控制系统：定性分析稳定性分析。定性分析稳定性分析。定量分析暂态响应分析，定量计算性能指标。定量
36、分析暂态响应分析，定量计算性能指标。控制系统的性能是由闭环零、极点的位置决定的。根轨迹控制系统的性能是由闭环零、极点的位置决定的。根轨迹是闭环特征根随参数变化的轨迹，根轨迹法分析系统性能的是闭环特征根随参数变化的轨迹，根轨迹法分析系统性能的最最大优点大优点就是可以就是可以直观直观地看出系统参数变化时，闭环极点的变化。地看出系统参数变化时，闭环极点的变化。选择适当的参数，使闭环极点位于恰当的位置，获得理想的系选择适当的参数，使闭环极点位于恰当的位置，获得理想的系统性能。统性能。(1)(1)闭环系统有两个负实极点闭环系统有两个负实极点暂态过程主要决定于离虚轴近的暂态过程主要决定于离虚轴近的极点。极
37、点。一般当时一般当时 ，可忽略极点，可忽略极点的影响。的影响。由根轨迹求出闭环系统极点和零点的位置后，就可以按由根轨迹求出闭环系统极点和零点的位置后，就可以按第三章所介绍的方法来分析系统的暂态品质。第三章所介绍的方法来分析系统的暂态品质。215RR2R 假设假设 不变不变随着阻尼角随着阻尼角 的改变，极点将沿着以的改变，极点将沿着以 为半径的圆弧移动。为半径的圆弧移动。arccosnn(2)(2)闭环极点为一对复极点闭环极点为一对复极点由由 （或阻尼角（或阻尼角 ）和）和 决定系统的暂态特性。决定系统的暂态特性。narccos 假设假设 不变不变则随着则随着 增大，极点将沿矢量方向延伸。增大，
38、极点将沿矢量方向延伸。n等阻尼线等阻尼线 是表征系统指数衰减的系数，它决定系统的调节时间。是表征系统指数衰减的系数，它决定系统的调节时间。有相同有相同 的系统，将有相同的衰减速度和大致相同的调节的系统，将有相同的衰减速度和大致相同的调节时间。时间。nn等衰减系数线等衰减系数线 (3)(3)闭环系统有一对复极点外加一个实极点闭环系统有一对复极点外加一个实极点 系统超调量减小，调节时间增长系统超调量减小，调节时间增长一对复极点和一个实极点一对复极点和一个实极点 当实极点与虚轴的距离比当实极点与虚轴的距离比复极点实部与虚轴的距离复极点实部与虚轴的距离大大5倍以上倍以上时，可以不考时，可以不考虑这一负
39、极点的影响，直虑这一负极点的影响，直接用二阶系统的指标来分接用二阶系统的指标来分析系统的暂态品质。析系统的暂态品质。（4）闭环系统有一对复极点外加一个零点）闭环系统有一对复极点外加一个零点 将增大系统超调量将增大系统超调量但是，如果但是，如果 ，,则可以不计零点的影响，直接用则可以不计零点的影响，直接用二阶系统的指标来分析系统的暂二阶系统的指标来分析系统的暂态品质。态品质。5.0nz41一对复极点和一个零点一对复极点和一个零点 （5）闭环系统中一对相距很近的实极点和零点称为）闭环系统中一对相距很近的实极点和零点称为偶子。偶子。偶子对系统暂态响应的影响很小，可以忽略不计。偶子对系统暂态响应的影响
40、很小，可以忽略不计。用根轨迹法分析系统暂态品质的最大优点是可以用根轨迹法分析系统暂态品质的最大优点是可以看出开环系统放大系数（或其它参数）变化时，系统看出开环系统放大系数（或其它参数）变化时，系统暂态品质怎样变化。暂态品质怎样变化。4.3.3 开环零点对系统根轨迹的影响开环零点对系统根轨迹的影响 增加开环零点将引起系统根轨迹形状的变化，因而影响增加开环零点将引起系统根轨迹形状的变化，因而影响了闭环系统的稳定性及其暂态响应性能。了闭环系统的稳定性及其暂态响应性能。211212()()(1)(1)()()gKKKKWspps TsT ss spsp如果在系统中增加一个开环零点，系统的开环传递函数变
41、为如果在系统中增加一个开环零点，系统的开环传递函数变为)()()(21pspsszsKsWgK例例4-12 设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为 开开环环零零点点在在不不同同取取值值情情况况下下的的根根轨轨迹迹 从以上四种情况来看，一般从以上四种情况来看，一般第三种第三种情况比较理想，这情况比较理想，这时系统具有一对共轭复数主导极点，其暂态响应性能指标时系统具有一对共轭复数主导极点，其暂态响应性能指标也比较令人满意。也比较令人满意。可见，可见，增加开环零点将使系统的根轨迹向左弯曲增加开环零点将使系统的根轨迹向左弯曲，并，并在趋向于附加零点的方向发生变形。如果设计得当，控制在趋向于附加零
42、点的方向发生变形。如果设计得当，控制系统的稳定性和暂态响应性能指标均可得到显著改善。系统的稳定性和暂态响应性能指标均可得到显著改善。4.3.4 开环极点对系统根轨迹的影响开环极点对系统根轨迹的影响例例4-13 设系统的开环传递函数设系统的开环传递函数其对应的系统根轨迹如下图其对应的系统根轨迹如下图a a所示。所示。若系统增加开环极点，开环传递函数变为若系统增加开环极点，开环传递函数变为其相应的根轨迹如下图其相应的根轨迹如下图b b所示。所示。)0()()(11ppssKsWgK)()()(1221pppspssKsWgK 开环极点对系统根轨迹的影响开环极点对系统根轨迹的影响 根轨迹将向右弯曲根
43、轨迹将向右弯曲l4.3.5 偶极子对系统性能的影响l 在系统的综合中，常在系统中附加一对非常接近坐标原点的零、极点对来改善系统的稳态性能。这对通常称这样的零、极点对为偶极点对或偶极子。l 在系统中附加下述网络l 若上述网络的极点和零点彼此靠得很近，即为偶极子。4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性11101sTsT 4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性例例4-14 系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为1.06()(1)(2)KWss ss在系统中附加偶极点对，相应的新开环传递函数为在系统中附加偶极点对，相应的新开环传递函数为)2)(1)(01.0()1.0()(sssssKsWgK4.3 用
44、根轨迹法分析系统的暂态特性系统附加偶极子对根轨迹的影响系统附加偶极子对根轨迹的影响 新系统的根轨迹新系统的根轨迹除除S平面原点附近外平面原点附近外，与原系统根轨迹相比，与原系统根轨迹相比无无明显变化。明显变化。l1.根轨迹是以开环传递函数中的某个参数（一般是根轨迹增益）为参变量而画出的闭环特征方程式的根轨迹图。根据系统开环零、极点在S平面上的分布，按照规则，就能方便地画出根轨迹的大致形状。l2.根轨迹图不仅使我们能直观的看到参数的变化对系统性能的影响，而且还可以用它求出指定参变量或指定阻尼比相对应的闭环极点。l3.根据确定的闭环极点和已知的闭环零点，就能计算出系统的输出响应及其性能指标，从而避免了求解高阶微分方程的麻烦。小 结END
