1、第四节第四节 有理函数的不定积分有理函数的不定积分本节要点本节要点 本节通过有理函数的高斯分解建立了有理函数的积分本节通过有理函数的高斯分解建立了有理函数的积分一、有理函数的不定积分一、有理函数的不定积分二、可化为有理形式的三角函数的积分二、可化为有理形式的三角函数的积分三、可化为有理形式的简单无理函数的积分三、可化为有理形式的简单无理函数的积分方法方法,并讨论某些可以化为有理函数的积分并讨论某些可以化为有理函数的积分.一、有理函数的不定积分一、有理函数的不定积分 1.有理函数的部分分式分解方法有理函数的部分分式分解方法 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数有理函数是指由两个多项式的商所表
2、示的函数,即具即具 120121120121,nnnnnmmmmmP xa xa xa xaxaQ xb xb xb xbxb其中其中 为非零整数为非零整数,都是实数都是实数,且且,m n,ija b000,0.ab有如下形式的函数有如下形式的函数:有理函数可以分解成多项式与若干个部分分式之和有理函数可以分解成多项式与若干个部分分式之和,假设多项式假设多项式 之间没有公因式之间没有公因式,且且 的的 ,P xQ x P x的次数大于或等于的次数大于或等于 的次数的次数,此时称该有理函此时称该有理函 P x Q x有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数,它们一定可以通过有它们一
3、定可以通过有理函数、对数函数、反正切函数表出理函数、对数函数、反正切函数表出.Q x次数小于次数小于 的次数的次数,此时称该有理函数为真分式此时称该有理函数为真分式.若若数为假分式数为假分式.利用多项式的除法利用多项式的除法,可将一个假分式化为可将一个假分式化为一个多项式与一个真分式之和的形式一个多项式与一个真分式之和的形式.例如例如 3211xf xx32211.11xxxxxxx 由代数学知道由代数学知道,多项式多项式 总可以在实数范围内分总可以在实数范围内分 Q x 220,Q xb xaxbxpxqxrxs 其中其中 因此有理函数中的真分因此有理函数中的真分2240,40,pqrs解成
4、一次因式与二次因式的乘积解成一次因式与二次因式的乘积,即即式可以分解成若干个部分分式之和式可以分解成若干个部分分式之和.121P xAAAQ xxaxaxa121112BBBM xNxbxbxbxpxq22122M xNM xNxpxqxpxq11221222.R xSR xSR xSxrxsxrxsxrxs其中其中 等都是需要确定的常数等都是需要确定的常数,ijijijAB M NR S方法一方法一:将部分分式通分后将部分分式通分后,再比较分子系数再比较分子系数,通过解通过解233562323xxABxxxxxx比较分子系数比较分子系数,得方程组得方程组:3232,2323A xB xAB
5、xABxxxx它们可以通过下面方法确定它们可以通过下面方法确定:方程组确定系数方程组确定系数.例如例如:1,323,ABAB即即:2356.5623xxxxx 2222111,1111A xBxCx xABCxxx xxx x方法二方法二:部分分式通分后部分分式通分后,在分子恒等式中代入特殊的在分子恒等式中代入特殊的 值从而确定常数值从而确定常数.例如例如x5,6.AB 令令 得得 ;令令 得得 ;将将0,1 1,1xAxB1,1AB及及 代入上式得代入上式得 因此因此2x 1.C 221111.111xxx xx即即:2111,A xBxCx x例例 分解分解31.1xx解解 因因 3211
6、,111xxxxxx所以所以321,111xABxCxxxx即有即有2111,A xxBxCxx令令 21,3xA 令令21.3xB 令令10,3xC 即有即有322211333.11xxxxxx 2.部分分式的不定积分部分分式的不定积分 当有理函数分解成多项式与若干个部分分式之和后当有理函数分解成多项式与若干个部分分式之和后,d,Axxad,nAxxa2d,MxNxxpxq2d.nMxNxxpxq只出现多项式与下列形式的部分分式只出现多项式与下列形式的部分分式.故只需考虑下列故只需考虑下列形式的部分分式的不定积分形式的部分分式的不定积分.具体解法如下具体解法如下:dln.AxAxaCxa1d
7、.1nnAAxCxanxa1n 2222dd2NxppMxNMMxxxpxqxpxq22222lnarctan.244MppNxMxpxqCppqq2222dd2224MxpMpxxNxpxqppxq2222dd2()nnNxppMxNMMxxxpxqxpxq22222dd2224nnMxpMpxxNxpxqppxq1222 1nnMMpNInxpxq其中其中而而2111222222d21dnnnntttInttatata22222dd 24nnnxtItappxq2,24pptxaq211222222121d.nnntanttatata即即21112221,nnnntInIa Ita于是于是
8、11222123,2,3,21nnntInInanta11arctan.tICaa 总之总之,有理函数分解成多项式与若干个部分分式之和有理函数分解成多项式与若干个部分分式之和以后以后,各部分的不定积分都可以得到各部分的不定积分都可以得到.例例1 求积分求积分22d.1xxxx解解 22d1xxxx 21521ln1arctan.233xxxC2211d21xxxxx 251d21324xx例例2 求积分求积分23d.56xxxx解解 因因2356,5623xxxxx 故故5ln26ln3.xxC dd5623xxxx 23d56xxxx例例3 求积分求积分22d.23xxxx解解 因因2222
9、222113.2222312xxxxxxx故故22d23xxxx2222d23d11322312xxxxxx2131ln22arctan.222xxxC222122dd322312xxxxxx例例4 求积分求积分2d.1xx x 解解 因因221111,111xxx xx故故2d1ln.111xxCxxx x例例5 求积分求积分21d.121xxx解解 设设2211 211 21abxcxxxx2211 21 21axx bxcxx2222,1 21ab xbc xa cxx 即有即有20,20,1,abbca c 因此有因此有21121xx241211,5 12551xxx 421,555a
10、bc 因而相应的积分为因而相应的积分为21d1 21xxx22212dd5 1 25 1xxxxx211d5 1xx2211ln12ln 1arctan.555xxxC 考虑下列形式的不定积分考虑下列形式的不定积分 其中其中 为有理函数为有理函数.由于由于sin,cosdfxxxf222tan2tan22sin2sincos,22sec1tan22xxxxxxx22221tan2coscossin,221tan2xxxxx二、可化为有理形式的三角函数的积分二、可化为有理形式的三角函数的积分令令 则，则，tan,2xux 22221sin,cos,11uuxxuu而而 21dsecd,22xux
11、2222d2d2dd,1sec1 tan22uuuxxxu故故sin,cosdfxxx即即2222212d,.111uuufuuu这里所用的变量代换这里所用的变量代换 对三角函数的有理式都对三角函数的有理式都tan2xu 适用适用,故此代换又称为故此代换又称为万能代换万能代换.例例6 求积分求积分1sind.sin1cosxxxx解解 令令 ,则则tan2xu 1sindsin1cosxxxx112d2uuu2222222d11121111uuuuuuuu212ln22uuuC211tantanln tan.42222xxxC例例7 求积分求积分21d.3sinxx解解 令令 则原积分为则原积
12、分为tan,2xu 21d3sinxx24212d3103uuuu22212d1231uuuu22212d313uuuu22111d2313uuu111arctan3arctan2333uuC11arctan3tanarctantan.222 33xxC 一些特殊形式的三角有理函数有下面一些特殊的方法一些特殊形式的三角有理函数有下面一些特殊的方法:若若 则可用代换则可用代换:sin,cossin,cos,fxxfxx cos,ux若若 则可用代换则可用代换:sin,cossin,cos,fxxfxx sin,ux若若 则可用代换则可用代换:sin,cossin,cos,fxxfxxtan.ux
13、例例8 求积分求积分1d.2cossinxxx解解 由上面的讨论由上面的讨论,做变换做变换 则则:cos,ux21sindd2cossin2cossinxxxxxxx2dcos2cos1 cosxxx 111111ddd3 22161uuuuuu2d21uuu111ln1ln1ln2623uuuC 11ln cos1ln cos162xx 1ln cos2.3xC例例9 求积分求积分sind.sincosxxxx解解 sintanddsincos1tanxxxxxxx22tansecd1tansecxxxxx2d11uuuu2tandtan1tan1tanxxxx21111dd2 12 1uu
14、uuu 2111ln 1ln 1arctan242uuuC 111ln 1tanln sec.222xxxC 例例10 求积分求积分sincosd,sincosaxbxxcxdx时为零时为零,且且0.adbc解解 设设 sincossincosaxbxA cxdx比较等式两边的系数比较等式两边的系数,得到得到sincossincos,sincossincoscxdxaxbxABcxdxcxdxsincos,B cxdx,a b c d其中其中 不同不同sincossincosddsincossincoscxdxaxbxxABxcxdxcxdxln sincos.AxBcxdxC例例11 求积分
15、求积分 其中其中dsincosxaxbx0.ab 解解 因因222222sincossincosabaxbxabxxabab其中其中 则则arctan,ab22sinsincoscosabxx22cos,abx22d11dsincoscosxxaxbxxab221ln sectan.xxCab例例12 求积分求积分1dsinsinxxaxbsin0.ab解解 因因 sinsinsincosa bx ax bx ax bcoscos11,sinsinsinsinsinx bx ax ax ba bx bx a其中其中cossin,x ax bcoscos11ddsinsinsinsinsinx
16、bx axxx ax ba bx bx asin1ln.sinsinxaCabxb三、可化为有理形式的简单无理函数的积分三、可化为有理形式的简单无理函数的积分 考虑下列形式的简单无理根式的不定积分：考虑下列形式的简单无理根式的不定积分：,d,nmaxbaxbfxxcxdcxd令令 其中其中 为为 的最小公倍数的最小公倍数.这样上这样上,Naxbtcxd ,Nn m述形式的简单无理根式的不定积分可化为有理函数的不述形式的简单无理根式的不定积分可化为有理函数的不定积分定积分.例例13 求积分求积分1d.xxx解解 令令 即即 故积分为故积分为221,1,d2 d,txxtxt t1dxxx2121
17、d1tt2222 d2d11ttt tttt21arctan1.xxC 2arctan.ttC例例14 求积分求积分3d.12xx解解 令令 即即3322,2,d3 d,txxtxtt223d3 d1 13d1112xttttttx 2131d3ln 112tttttCt 233332323ln 12.2xxxC例例15 求积分求积分11d.xxxx解解 令令21,xtx11dxxxx22212d21d11ttttt 22212 d,d,11t txxtt 即即所以所以22221d1ttttt112ln21ttCt 1122ln1ln.xxxCxx 222ln1ln1tttC 例例16 求积分求积分1d.12xxx1d12xxx解解令令 21xtx2221txt21d,12xxxx2212,xtt226dd,1txtt221xtx22222322,11ttxtt所以所以121dd1212xxxxxxx22222611d2d311tttttttt11dln 1ln 111tttCtt22ln 1ln 1.11xxCxx
