1、第 1章导数及其应用1.理解导数的定义与计算.2.掌握导数的应用.3.学会定积分的概念、运算、应用.学习目标栏目索引知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习知识点一导数的运算及几何意义1.函数f(x)在xx0处导数：答案f(x0)函数f(x)的导数：f(x)2.导数的几何意义：曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率等于 ，其切线方程为 .f(x0)yf(x0)f(x0)(xx0)3.函数的求导公式：(C)，(xn).(sin x)，(cos x)，(ax)，(ex)，(logax)，(ln x).4.导数的四则运算法则：f(x)g(x)f(x)g(x
2、)，f(x)g(x)，(g(x)0).0nxn1cos xsin xaxln aexf(x)g(x)f(x)g(x)答案答案知识点二导数的应用1.函数的单调性：在区间(a，b)内，f(x)0，则f(x)；f(x)0，则f(x).2.函数的极值：f(x0)0，在x0附近，从左到右，f(x)的符号由正到负，f(x0)为 ；由负到正，f(x0)为 .3.函数的最值：闭区间a，b上图象连续不断的函数yf(x)，最值在_或 处取得，最大的为最大值，最小的为最小值.4.生活中的优化问题(导数的实际应用).递增递减极大值极小值极值点区间端点知识点三定积分概念、运算和应用定积分定积分的概念定积分的运算定积分的
3、性质定积分的几何意义微积分基本定理 (其中F(x)f(x)()d()|bbaaf xxF x定积分的应用几何中的应用：求平面图形的面积物理中的应用求变速直线运动的路程求变力做功F(b)F(a)答案返回 题型探究 重点突破解析答案题型一解决与切线有关的问题例1已知函数f(x)exax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线yf(x)在点A处的切线斜率为1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；解由f(x)exax，得f(x)exa.所以f(x)ex2x，f(x)ex2.当xln 2时，f(x)ln 2时，f(x)0，f(x)单调递增.解析答案(2)证明：当x0时，x20.故g(x)在R上单调递增，又
4、g(0)10，因此，当x0时，g(x)g(0)0，即x2ex.反思与感悟反思与感悟高考中求切线方程问题主要有以下两种类型：类型1求“在”曲线yf(x)上一点P(x0，y0)的切线方程(高考常考类型).则点P(x0，y0)为切点，当切线斜率存在(即函数f(x)在x0处可导)时，切线斜率为kf(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为yy0f(x0)(xx0)；当切线斜率不存在时，对应的切线方程为xx0.反思与感悟类型2求“过”曲线yf(x)上一点P(x0，y0)的切线方程，则切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点.这样的直线可能有多条，解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：设点
5、A(x1，y1)是曲线yf(x)上的一点，则以A为切点的切线方程为yy1f(x1)(xx1)；根据题意知点P(x0，y0)在切线上，点A(x1，y1)在曲线yf(x)上，得到方程组求出切点A(x1，y1)，代入方程yy1f(x1)(xx1)，化简即得所求的切线方程.解析答案跟踪训练1已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；解f(2)232166，点(2，6)在曲线上.f(x)(x3x16)3x21，在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)322113，切线的方程为y13(x2)(6)，即y13x32.解析答案(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点
6、，求直线l的方程及切点坐标.解设切点坐标为(x0，y0)，x02，y0(2)3(2)1626，k3(2)2113，直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26).解析答案题型二利用导数求参数取值范围问题例2设函数f(x)x2exxex.(1)求f(x)的单调区间；解函数f(x)的定义域为(，)，f(x)xex(exxex)x(1ex).若x0，则1ex0，f(x)0；若x0，则1ex0，f(x)0；若x0，则f(x)0.f(x)在(，)上为减函数，即f(x)的单调减区间为(，).解析答案(2)若当x2,2时，不等式f(x)m恒成立，求实数m的取值范围.解由(1)知f(x)在2,2上单调递减，f
7、(x)minf(2)2e2.当m2e2时，不等式f(x)m恒成立.反思与感悟反思与感悟利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用f(x)与其导数f(x)之间的对应关系，然后结合函数的单调性等知识求解.求解参数范围的步骤为：(1)对含参数的函数f(x)求导，得到f(x)；(2)若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f(x)0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f(x)0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f(x)0.若f(x)0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常函数，舍去此参数值.解析答案(1)若f(x)在定义域上单调递增，求实数a
8、的取值范围；由题意知f(x)0在(0，)上恒成立，ax2ln x10在(0，)上恒成立，当x(0，x0)时，h(x)0，函数h(x)单调递增；当x(x0，)时，h(x)0，函数h(x)单调递减.h(x)在x0 处取得最大值.32e解析答案(2)若函数g(x)xf(x)有唯一零点，试求实数a的取值范围.解析答案解由题意知g(x)xf(x)ax2xln x0，故当x(0,1)时，R(x)0，(x)0，函数(x)单调递减；且易得R(1)0，当x(1，)时，R(x)0，(x)0，函数(x)单调递增.故(x)(1)1.又当x0时，(x)，而当x时，(x)0且(x)0，可得如图所示的图象.故满足条件的实数
9、a的取值范围为a|a0或a1.解析答案题型三利用导数求函数的极值、最值问题(1)若f(x)在x2时取得极值，求a的值；因为f(x)的定义域是(0，)，所以当x(0,2)时，f(x)0；当x(2，)，f(x)0，所以当a4时，x2是一个极小值点，故a4.解析答案(2)求f(x)的单调区间；所以当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，).解析答案反思与感悟有关函数极值、最值问题，需注意求解思路与方法，理解构造函数在解(证)题中的灵活运用.反思与感悟解析答案跟踪训练3已知函数f(x)x3ax2bx在区间(2,1)内，当x1时取极小值，当x 时取极大值.(1)求函数yf(x)在x2时的对应点的切线方程
10、；解f(x)3x22axb.x2时，f(x)2，即(2,2)在曲线上.又切线斜率为kf(x)3x2x2，f(2)8，所求切线方程为y28(x2)，即为8xy140.解析答案(2)求函数yf(x)在2,1上的最大值与最小值.解x在变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表：例4现有一批货物由海上A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/小时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元.(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/小时)的函数；(2)为了使全程运输成
11、本最小，轮船应以多大速度行驶？易错易混解实际问题时因忽略定义域致误解析答案返回防范措施解析答案防范措施令y0，解得x40或x40(舍去).当0 x40时，y0；当x40时，y0.故为了使全程运输成本最小，轮船应以40海里/小时的速度行驶.解析答案防范措施错因分析解应用题最关键的就是要表达清楚模型的函数关系式，这其中就包括函数的定义域.定义域一定要根据题目的条件，考虑自变量的实际意义.本题错解就是因为忽略了定义域导致最后的解题错误.令y0，解得x40或x40(舍去).因为函数的定义域为(0,35，所以函数在定义域内没有极值.防范措施又当0 x35时，y0，故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海
12、里/小时的速度行驶.正确确定自变量的取值范围，在解题过程中，要在其允许取值范围内求解.返回防范措施 当堂检测解析答案1.函数f(x)(2x)2的导数是 .解析因f(x)42x2，故f(x)82x.f(x)82x解析答案2.函数f(x)xex的单调递增区间是 .令f(x)0,得x1，故增区间为(，1).(，1)解析由st35t24t0，得t(t25t4)0，t(t1)(t4)0，t10，t21，t34，即t0或1或4时，速度为0.0或1或4解析答案解析答案4.用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，则该长方体的长、宽、高分别为 时，其体积最大.由V0得x1或
13、x0(舍去).x1是函数V在(0，)上唯一的极大值点，也是最大值点，解析答案5.已知函数f(x)x3ax2bxc，曲线yf(x)在点x1处的切线为l：3xy10，若x 时，yf(x)有极值.(1)求a，b，c的值；解由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.由题意，当x1时，切线的斜率为3，可得2ab0.可得4a3b40.由解得a2，b4，1abc4，c5.由于切点横坐标为1，f(1)4，故a2，b4，c5.解析答案(2)求yf(x)在3,1上的最大值和最小值.解由(1)可得f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.当x变化时，y，y的变化情况如下表：课堂小结返回1.可导函数f(x)在x0处取得极值的充分必要条件是f(x0)0且f(x)在x0两侧的符号不同，f(x0)0是x0为极值点的必要不充分条件，函数极值是一个局部概念，求极值时经常把f(x)0的点附近函数值的变化情况列成表格.2.一些求参数取值范围的问题，常转化为恒成立问题，利用f(x)a恒成立f(x)maxa和f(x)a恒成立f(x)mina的思想解题.存在或有解问题，如f(x)a有解af(x)min和f(x)a有解af(x)max成立.
