1、第1章波函数与波函数与SchrSchrdingerdinger方程方程1.1 1.1 波函数的统计诠释波函数的统计诠释 1.2 Schr1.2 Schrdingerdinger方程方程1.3 1.3 态叠加原理态叠加原理（一）实物粒子的波动性（一）实物粒子的波动性（二）（二）波动粒子二象性的分析波动粒子二象性的分析（三）概率波，多粒子体系的波函数（三）概率波，多粒子体系的波函数（四）动量分布概率（四）动量分布概率（五）不确定度关系（五）不确定度关系（六）力学量的平均值与算符的引进（六）力学量的平均值与算符的引进（七）统计诠释对波函数提出的要求（七）统计诠释对波函数提出的要求1.1 波函数的统计
2、诠释波函数的统计诠释 1E h,h p并称之为物质波并称之为物质波.E与动量为与动量为 和能量为和能量为 的粒子相应的波的波长的粒子相应的波的波长 和频率和频率 为为p1.1.1 实物粒子的波动性实物粒子的波动性0m 在在Planck-Einstein的光量子论（光具有的光量子论（光具有波粒二象性波粒二象性）的启发下，面对）的启发下，面对Bohr的的原子的量子论取得的成功和碰到的困难，原子的量子论取得的成功和碰到的困难，de Broglie(1923)提出了实物粒子（静质提出了实物粒子（静质量量 的粒子，例如电子），也具有波粒二象性的粒子，例如电子），也具有波粒二象性（wave-particl
3、e duality）的假的假设设.即即 为了更好地理解微观粒子在双缝干涉中呈现为了更好地理解微观粒子在双缝干涉中呈现的量子特征，先对比一下用的量子特征，先对比一下用经典粒子经典粒子（例如子（例如子弹）与弹）与经典波经典波（例如声波）来做类似的双缝实验（例如声波）来做类似的双缝实验的结果的结果。粒子的双缝干涉是最直观地展现波粒二象性的实验粒子的双缝干涉是最直观地展现波粒二象性的实验,也是量子力学中最难理解的现象也是量子力学中最难理解的现象.We can not explain how it works;We will just tell you how it works.经典粒子（如子弹）子弹经
4、过缝子弹经过缝 的运动轨道的运动轨道,与缝与缝 存在与否，并无关系存在与否，并无关系.1 2 2 1结论结论只开缝只开缝 1 子弹密度分布子弹密度分布只开缝只开缝 2 子弹密度分布子弹密度分布)()(21xx双缝齐开双缝齐开)()()(2112xxx上图给出声波的双缝干涉图像上图给出声波的双缝干涉图像.表示一个具有稳定频率表示一个具有稳定频率 的声源的声源,声波经过一个具声波经过一个具有双缝的隔音板有双缝的隔音板,在它后面有一个在它后面有一个“吸音板吸音板”,到达板上的声波将被吸收到达板上的声波将被吸收,并把声波并把声波强度分布表示出来强度分布表示出来.S1I2I12IS1 12 2经典波（如
5、声波）AB1212III当只开缝当只开缝 时，显示出声波强度分布用时，显示出声波强度分布用 描述描述.当只开缝当只开缝 时时,强度分布用强度分布用 描述描述.当双缝齐开时，强度分布用当双缝齐开时，强度分布用 描述描述.1 1Ix 2Ix2 12IxBA当只开一条缝时声音很强的地方（例如当只开一条缝时声音很强的地方（例如 点和点和 点）点）,在双缝齐开时在双缝齐开时,声音可能变声音可能变得很弱得很弱.实验表明实验表明原因是由于出现了声波的干涉现象原因是由于出现了声波的干涉现象.下面通过对其干涉项的研究下面通过对其干涉项的研究,来具体找出经典来具体找出经典和量子的区别和量子的区别!22121221
6、h xhxh x hxhx hx 21212Ixh xhx 1212IxIxIxIx干涉项 2由于由于干涉项的影响干涉项的影响，经典波的强度分布与经典粒子的密度分布大不相同经典波的强度分布与经典粒子的密度分布大不相同.i22ethx设分别打开缝设分别打开缝 和缝和缝 时的声波用时的声波用 和和 描述，双缝齐开时的声音则用描述，双缝齐开时的声音则用 描述描述 ，因此声波强度分布为因此声波强度分布为1 i21ethx2 i212eth xhx波的相干叠加性波的相干叠加性人们可以设想，如在图人们可以设想，如在图 所示实验中，用所示实验中，用 分子束来代替声波，分子束来代替声波，则观测则观测到的双缝干
7、涉图像应该没有什么差异到的双缝干涉图像应该没有什么差异.但此时波的强度是代表被测到的但此时波的强度是代表被测到的 60C 分子的计数单位时间 1.3 b60C人们应如何理解在干涉实验中人们应如何理解在干涉实验中 分子所展现出分子所展现出的这种波粒二象性呢的这种波粒二象性呢？60C 人们对物质粒子波动性的理解，曾经经历过一场激烈的人们对物质粒子波动性的理解，曾经经历过一场激烈的争论，包括波动力学创始人争论，包括波动力学创始人Schrdinger,de Broglie等在内的等在内的一些人，对于物质粒子波动性的见解，都曾经深受经典概念一些人，对于物质粒子波动性的见解，都曾经深受经典概念的影响，他们
8、曾经把的影响，他们曾经把电子波理解为电子的某种实际结构，电子波理解为电子的某种实际结构，即即看成三维空间中连续分布的某种物质波包看成三维空间中连续分布的某种物质波包(波包是波的一个波包是波的一个特殊的品种，一般的波是由若干种以至无限多种谐波叠加而特殊的品种，一般的波是由若干种以至无限多种谐波叠加而成的，往往是非局域性的。但在特定条件下，叠加后的波有成的，往往是非局域性的。但在特定条件下，叠加后的波有可能是局域性的，犹如被某种曲面包裹住那样，这种局域性可能是局域性的，犹如被某种曲面包裹住那样，这种局域性的波就叫做波包的波就叫做波包)，因而呈现出干涉与衍射等现象，波包的，因而呈现出干涉与衍射等现象
9、，波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度.1.1.2 波粒二象性的分析波粒二象性的分析2=2km =2k 3稍加分析，这种看法就碰到了难以克服的困难。例如，在稍加分析，这种看法就碰到了难以克服的困难。例如，在非相对论情况非相对论情况下，自下，自由粒子能量由粒子能量 利用利用de Broglie关系，可得关系，可得2E=p2m对于色散介质中中的电磁波，波包的群速度（见附录对于色散介质中中的电磁波，波包的群速度（见附录 第第248 页）为页）为A1=hpEh 222=22hpEh 222222222(2)(2)2222hkmmmm 5dd
10、dd220gvkkm ddgvkk mp mv 4即经典粒子的速度即经典粒子的速度.但由于但由于 依赖于依赖于gvk2=2km ()/()x txtx2 24001 令令 时刻波包的宽度为时刻波包的宽度为t0 x01.对于真空中的电磁波对于真空中的电磁波 ，而，而de Broglie波波0m 所以自由运动的实物粒子所以自由运动的实物粒子的的de Broglie 波包是要扩散的波包是要扩散的0 2=hpk 自由粒子的物质波包必然要扩散自由粒子的物质波包必然要扩散,即使原来的波包很窄即使原来的波包很窄,在经历一段时间后在经历一段时间后,也也会扩散到很大的空间中去会扩散到很大的空间中去;或者形象地说
11、或者形象地说,随时间的推移随时间的推移,粒子将越来越粒子将越来越“胖胖”.这与实验是矛盾的这与实验是矛盾的.物质波包的观点显然物质波包的观点显然夸大了波动性一面夸大了波动性一面,而实际上抹杀了粒子性的一面而实际上抹杀了粒子性的一面,是是带有片面性的带有片面性的。与物质波相反的另一种看法是与物质波相反的另一种看法是:波动性是由于大量电子分布于空间形成的波动性是由于大量电子分布于空间形成的疏密波疏密波.它类似于空气振动出现的纵波它类似于空气振动出现的纵波,即由于分子密度疏密相间而形成的即由于分子密度疏密相间而形成的一种分布一种分布.这种看法也与实验矛盾这种看法也与实验矛盾.实际上可以通过做这样的电
12、子衍射实验实际上可以通过做这样的电子衍射实验,让入射电子流极其微弱让入射电子流极其微弱.电子几乎一电子几乎一个一个地通过仪器个一个地通过仪器.但只要时间足够长，底片上仍将出现衍射花样但只要时间足够长，底片上仍将出现衍射花样.这表明电子的这表明电子的波动性并不是很多电子在空间聚集在一起时才呈现的现象波动性并不是很多电子在空间聚集在一起时才呈现的现象.单个电子就具有波动单个电子就具有波动性性.因此因此,把波动性看成大量电子分布于空间所形成的疏密波的看法也是不正确的把波动性看成大量电子分布于空间所形成的疏密波的看法也是不正确的,它夸大了粒子性的一面它夸大了粒子性的一面,而实际上抹杀了粒子波动性一面而
13、实际上抹杀了粒子波动性一面,也带有片面性也带有片面性.“电子既不是粒子电子既不是粒子,也不是波也不是波”.更确切地说更确切地说,它既不是经典粒子它既不是经典粒子,也不是经典的波也不是经典的波.我们也可以说我们也可以说,电子既是粒子电子既是粒子,也是波也是波,它是粒子性和波动性两重性矛盾的统一它是粒子性和波动性两重性矛盾的统一.但这个波不再是经典概念下的波但这个波不再是经典概念下的波,粒子也不是经典概念中的粒子粒子也不是经典概念中的粒子.在经典概念下在经典概念下,粒子与波的确是难以统一到同一客体上去粒子与波的确是难以统一到同一客体上去然而究竟应该怎样理解波粒二象性呢？然而究竟应该怎样理解波粒二象
14、性呢？然而电子究竟是什么东西？是粒子？还是波？然而电子究竟是什么东西？是粒子？还是波？仔细分析一下实验可以看出，电子所呈现的粒子性，只是经典粒子概念中仔细分析一下实验可以看出，电子所呈现的粒子性，只是经典粒子概念中的的“原子性原子性”或或“颗粒颗粒性性”，即总是以具有一定质量和电荷等属性的客体出现即总是以具有一定质量和电荷等属性的客体出现在实验中，但并不与在实验中，但并不与“粒子有确切的轨道粒子有确切的轨道”的概念有必然的联系的概念有必然的联系.而电子呈现的而电子呈现的波动性，也只不过是波动最本质的东西波动性，也只不过是波动最本质的东西波的相干叠加性波的相干叠加性，但并不一定与某但并不一定与某
15、种实在的物理量在空间的波动联系在一起种实在的物理量在空间的波动联系在一起.把把粒子性与波动性粒子性与波动性统一起来，更确切地说，把微观粒子的统一起来，更确切地说，把微观粒子的“原子性原子性”与波与波的的“相干叠加性相干叠加性”统一起来的是统一起来的是M.Born(1926)提出的概率波提出的概率波.1.1.3 概率波，多粒子体系的波函数概率波，多粒子体系的波函数现在再来分析电子的双缝干涉实验。现在再来分析电子的双缝干涉实验。设入射电子流很微弱，设入射电子流很微弱，电子几乎是一个一个地经过电子几乎是一个一个地经过双缝双缝，然后在感光底片上被记录下来，然后在感光底片上被记录下来.起初，当感光时间起
16、初，当感光时间较短时，底片上出现一些点子，它们的分布看起来没有较短时，底片上出现一些点子，它们的分布看起来没有什么规律什么规律.当感光时间足够长时，底片上感光点子愈来愈当感光时间足够长时，底片上感光点子愈来愈多，就会发现有些地方点子很密，有些地方几乎没与点多，就会发现有些地方点子很密，有些地方几乎没与点子子.最后，底片上的感光点子的密度分布将构成一个有规最后，底片上的感光点子的密度分布将构成一个有规律的花样，与律的花样，与X光衍射中出现的花样完全相似光衍射中出现的花样完全相似。就强度分布来讲，与经典波（例如声波、压强波）就强度分布来讲，与经典波（例如声波、压强波）是相似的，而与机枪子弹上的密度
17、分布完全不同是相似的，而与机枪子弹上的密度分布完全不同.这种现这种现象应怎样理解呢？象应怎样理解呢？电子双缝干涉实验：电子双缝干涉实验：原来，在底片原来，在底片 点附近干涉花样的强度点附近干涉花样的强度r在在 点附近点附近感光点子的数目感光点子的数目r在在 点附近点附近出现电子的数目出现电子的数目r 设干涉波波幅用设干涉波波幅用 描述，与光学中相似，干涉花样的强度在空间的分布则描述，与光学中相似，干涉花样的强度在空间的分布则用用 来描述来描述.但这里干涉强度但这里干涉强度 的意义与经典波根本不同，它是刻画电子的意义与经典波根本不同，它是刻画电子出现在出现在 附近的概率大小的一个量附近的概率大小
18、的一个量.2r rr电子出现在电子出现在 附近的附近的概率概率r 2r更确切的说，更确切的说，表示在表示在 点处的体积元点处的体积元 中找到中找到粒子的粒子的概率概率.这就是这就是Born提出的波函数的提出的波函数的概率诠释概率诠释.2xx y z rx y z 23d1r全r3dd d drx y z 6这称为这称为波函数的归一化条件波函数的归一化条件.但应该强调，对于概率分布来说，重要的是但应该强调，对于概率分布来说，重要的是相相对概率分布对概率分布.根据波函数的统计诠释，很自然要求该粒子（不产生，不湮没）在空间各根据波函数的统计诠释，很自然要求该粒子（不产生，不湮没）在空间各点的概率之总
19、和为点的概率之总和为 ，即要求波函数，即要求波函数 满足下列条件满足下列条件.r1 221122CCrrrr 7 与与 （为常数）所描述的相对概率分布是完全相同的。为常数）所描述的相对概率分布是完全相同的。因为在空间任意两点因为在空间任意两点 和和 处，粒子相对概率为处，粒子相对概率为1r CrC2r r换言之，换言之，与与 描述的是同一个概率波描述的是同一个概率波.经典波与概率波区别：经典波与概率波区别：(1)(1)经典波描述的是实在物理量经典波描述的是实在物理量(位移、压强、电流、电场强度位移、压强、电流、电场强度等等)的振动的振动(随时间的周期性变化随时间的周期性变化)在空间的传播；而概
20、率波不代在空间的传播；而概率波不代表任何实在物理量的传播过程表任何实在物理量的传播过程,波函数本身没有直接的物理意义。波函数本身没有直接的物理意义。Cr r 与与 描述的是同一概率波描述的是同一概率波.（3 3）经典波根本谈不上经典波根本谈不上“归一化归一化”，而概率波则可以进行归一化，而概率波则可以进行归一化.(4)(4)概率波波函数有常数因子不定性和模为概率波波函数有常数因子不定性和模为1 1的相因子不定性。的相因子不定性。则显然有则显然有 23d0rA全实常数r平方可积 8 9 231d1rA全r r eiar假设假设（2 2）一个经典波的波幅若增大一个经典波的波幅若增大1 1倍，则相应
21、的波动的能量将为倍，则相应的波动的能量将为 原来的原来的4 4倍，而概率波的波幅增大倍，而概率波的波幅增大1 1倍，相应的概率不变，倍，相应的概率不变，代表同一状态；代表同一状态；2331212,ddrrr r 以上讨论的是单个粒子的波函数以上讨论的是单个粒子的波函数.设一个体系包含两个粒子，波函数用设一个体系包含两个粒子，波函数用 表示，其物理意义是表示，其物理意义是12,r r表示测得粒子表示测得粒子 1 在空间体积元在空间体积元 中、同时粒子中、同时粒子 2 在空间体积元在空间体积元 中的概率中的概率.111,dr rr222,dr rr但但 与与 描述的同一个概率波描述的同一个概率波.
22、没有归一化，而没有归一化，而 是归一化的是归一化的.称为称为归一化因子归一化因子.-1 2Ar r-1 2A-1 2Ar r 波函数归一化与否，波函数归一化与否，并不影响概率分布有何变化并不影响概率分布有何变化.其中其中 分别表示各粒子的空间坐标分别表示各粒子的空间坐标.此时此时1111x,y,z,r2222,xyzr,NNNNrxyz23331212,dddNNrrrr rr表示表示 粒子粒子1出现在出现在 中，中，111,dr rr 同时粒子同时粒子 2 出现在出现在 中，中，222,dr rr同时粒子同时粒子N出现在出现在 中，中，,dNNNrrr1012,Nr rr对于对于 个粒子组成
23、的体系，它的波函数表示为个粒子组成的体系，它的波函数表示为N23331212ddd=1NN,rrr全r rr2d=d 全全，11归一化条件表示为归一化条件表示为以后，为了表述方便，引进符号以后，为了表述方便，引进符号其中其中 代表对体系的全部坐标空间进行积分代表对体系的全部坐标空间进行积分.d全所以所以 描述的是抽象的描述的是抽象的 维维位形空间位形空间（configuration space)中中的的概率波概率波.3N12,Nr rrd=dx全111d=d d ddddNNNx y zxyz全,1 12d=d d dx y z全这样，这样，归一化条件归一化条件就可以简单表示为就可以简单表示为
24、对于一维粒子对于一维粒子对于三维粒子对于三维粒子对于对于N维粒子组成的体系维粒子组成的体系 按照已为衍射实验证实的按照已为衍射实验证实的de Broglie关系，若关系，若 为一个平面单色波（波为一个平面单色波（波长长 ，频率，频率 ），则相应的粒子动量为），则相应的粒子动量为 ，能量为，能量为 .在一般情况下，在一般情况下，是一个是一个波包波包，有许多平面单色波叠加而成，即含有各种，有许多平面单色波叠加而成，即含有各种波长（频率）的波长（频率）的分波分波.因而相应的粒子动量（能量）有一个分布，与测量的位因而相应的粒子动量（能量）有一个分布，与测量的位置相似，也可以设计某种实验装置来测量粒子的
25、动量，晶体衍射实验就是其中置相似，也可以设计某种实验装置来测量粒子的动量，晶体衍射实验就是其中的一种的一种.=p=E h 与与 表示粒子在坐标空间中的概率密度相似，表示粒子在坐标空间中的概率密度相似，表示粒子的表示粒子的动量分动量分布的概率密度布的概率密度.2p 2r1.1.4 动量分布概率动量分布概率 i33 21ed2pp rrp13 i33 21ed2rp rpr14这里这里 是是 按平面波展开（按平面波展开（Fourier展开）的波幅，即展开）的波幅，即 r p其逆表示为其逆表示为注意注意 代表代表 中含有平面波中含有平面波 的成分，所以粒子动量为的成分，所以粒子动量为 的概率与的概率
26、与 成比例是自然的，即粒子动量在成比例是自然的，即粒子动量在 范围中的概率为范围中的概率为 .2p 2p riep r 23d ppp,+dp pp不难证明不难证明 2233dd1prpr15 3d ppp 33d drrrrrr i33331dd de2prrpr rrr 23d1rr16因为利用公式因为利用公式 及及Fourier积分公式，可得积分公式，可得14sin,nnnhapa=1,2,3,(17)n1.4下面来分析电子衍射实验（图下面来分析电子衍射实验（图 ）.设电子（动量为设电子（动量为 ）沿垂直方向射到单）沿垂直方向射到单晶表面，即入射波具有一定波长晶表面，即入射波具有一定波长
27、 的平面波，则衍射波将沿一定的角度的平面波，则衍射波将沿一定的角度 出射，出射，由下式（由下式（Bragg公式）决定公式）决定n=h ppn式式（17）给出了衍射角给出了衍射角 （特别是（特别是 ）与入射粒子动量）与入射粒子动量 的确定关系的确定关系.如果入如果入射波是一个射波是一个波包波包，它的每一个，它的每一个Fourier分波（平面波）将各自按照一定的角分分波（平面波）将各自按照一定的角分布布 出射出射.np1n沿沿 角出射的波的幅度角出射的波的幅度 正比于入射波包中相应的正比于入射波包中相应的Fourier分波的幅度，分波的幅度，因而沿因而沿 方向的衍射波强度方向的衍射波强度 .在衍射
28、过程中，波长未改变，即在衍射过程中，波长未改变，即粒子动量的值未改变（虽然方向改变了）粒子动量的值未改变（虽然方向改变了）.所以，对于一个粒子，所以，对于一个粒子，它在它在 方向方向被 测 到 的 概 率被 测 到 的 概 率 ，即 粒 子 动 量 为即 粒 子 动 量 为 的 概 率的 概 率 f 22fpp 22fp 2p量子波包理论量子波包理论 在量子力学建立之初，波粒二象性被提出之后，对它在量子力学建立之初，波粒二象性被提出之后，对它的解释曾有过很大的争议。是否可以认为粒子就是波包呢？的解释曾有过很大的争议。是否可以认为粒子就是波包呢？答案是否定的，由于根据德布罗意关系答案是否定的，由
29、于根据德布罗意关系=h/p=h/p，=E/h=E/h，若假设粒子就是波包，则组成粒子的群速度不仅不，若假设粒子就是波包，则组成粒子的群速度不仅不等于相速度，而且彼此之间的相速度也各不相同，造成波包等于相速度，而且彼此之间的相速度也各不相同，造成波包在传播过程中扩散，这意味着粒子会在运动中自动解体，这在传播过程中扩散，这意味着粒子会在运动中自动解体，这显然是不合理的。显然是不合理的。后来玻恩提出的统计解释认为，所谓的波表征的是粒子后来玻恩提出的统计解释认为，所谓的波表征的是粒子在空间中的各个位置出现的概率，波包的扩散实际上是粒子在空间中的各个位置出现的概率，波包的扩散实际上是粒子概率的扩散，而并
30、非粒子本身的解体，这种解释在一定程度概率的扩散，而并非粒子本身的解体，这种解释在一定程度上解决了波动性和粒子性的矛盾，目前为多数人所认同。上解决了波动性和粒子性的矛盾，目前为多数人所认同。作业：1.设 ，为常数。求归一化常数A。2/22xAex）（2.设 ，求粒子的位置概率分布。此波函数能否归一化？ikxex）（3.设 ，求粒子的位置概率分布。此波函数能否归一化？）（）（xx4.设粒子波函数为 ，求在 范围中找到粒子的概率。),(zyx),(dxxx5.设用球坐标表示，粒子波函数为 ，求(a)在球壳 中被测到的概率；(b)在 方向的立体元 中找到粒子的概率；(c)写出粒子在 方向的立体角 且半
31、径在 中找到粒子的概率。),(r),(drrr),(dddsin),(dddsinar 01.设 ，为常数。求归一化常数A。2/22xAex）（2.设 ，求粒子的位置概率分布。此波函数能否归一化？ikxex）（3.设 ，求粒子的位置概率分布。此波函数能否归一化？）（）（xx4.设粒子波函数为 ，求在 范围中找到粒子的概率。),(zyx),(dxxx见史守华考研辅导第2.1题5.Born Born 对波函数的统计诠释对波函数的统计诠释,把波粒二象性统一到概率波的概念上把波粒二象性统一到概率波的概念上.在此概念在此概念中中,经典波的概念只是部分地经典波的概念只是部分地(波的叠加性波的叠加性)被保留
32、了下来被保留了下来,而另一部分内容则被摒而另一部分内容则被摒弃弃.例如例如,概率波并不是什么实在的物理量在三维空间的波动概率波并不是什么实在的物理量在三维空间的波动,而一般说来是多维而一般说来是多维位形空间中的概率波位形空间中的概率波.同样同样,经典粒子的概念也只是部分地经典粒子的概念也只是部分地(原子性原子性,以及力学量之以及力学量之间某些关系间某些关系)被保留了下来被保留了下来,而另一部分内容则被摒弃而另一部分内容则被摒弃.例如例如,轨道的概念轨道的概念(粒子运粒子运动过程中每一时刻有确定的位置动过程中每一时刻有确定的位置r(t)r(t)和动量和动量p(t).p(t).所以经典粒子运动的图
33、像和概所以经典粒子运动的图像和概念对于微观粒子只是部分适用念对于微观粒子只是部分适用.1.1.5 不确定性原理与不确定度关系不确定性原理与不确定度关系 试问试问:由于波粒二象性由于波粒二象性,经典粒子运动的概念究竟经典粒子运动的概念究竟多大程度上适用于微观世界多大程度上适用于微观世界?Heisenberg?Heisenberg 的不确定度的不确定度关系关系(uncertainty relation)(uncertainty relation)对此做了最集中和最形对此做了最集中和最形象的概括象的概括.不确定度关系是不确定度关系是HeisenbergHeisenberg于于1927 1927 年根
34、据逆向思年根据逆向思维维,并对一些理想实验进行分析和利用并对一些理想实验进行分析和利用de Broglie de Broglie 关关系而得出的系而得出的,后来又根据波函数的统计诠释加以严格证后来又根据波函数的统计诠释加以严格证明明(见见3.3.13.3.1节节),),使其含义和表述更为确切使其含义和表述更为确切.下面我们从下面我们从分析几个简单例子入手分析几个简单例子入手,根据波函数的统计诠释来引出根据波函数的统计诠释来引出不确定度关系不确定度关系.例1 设一维粒子具有确定的动量p0，即动量的不确定度p0，相应的波函数为平面波xpipex00)(1)(20 xp即粒子在空间各点的几率都相同（
35、不依赖于x）。换言之，粒子的位置是完全不确定的，即x=。例2 设一维粒子具有确切的位置x0，即位置的不确定为x0。相应的波函数为)()(00 xxxx其Fourier展开为pixipxxxedxexp00021)(21)(21)(20px表明粒子动量取各种值的几率都相同（不依赖于p），所以动量完全不确定，p。例3 考虑用Gauss波包 描述的粒子，可以看出，粒子位置主要局限在 的区域中，即222)(xex222)(xex1x1x的Fourier变换为)(x222222121)(kikxxedxeek22221)(kek可以看出 ，因此对于Gauss波包k1kx px kp0 x2)(x111不
36、确定度关系不确定度关系()()()xikxikkxkkkeedxikeed xee 2222222222222222221212122122221)(kekxedx 2利用公式：不确定度关系表明不确定度关系表明,微观粒子的位置微观粒子的位置(坐标坐标)和动量不能同时具有完全确定和动量不能同时具有完全确定的值的值,这是波粒二象性的反映这是波粒二象性的反映.在物理上可如下理解在物理上可如下理解:按照按照de Broglie 关系关系p=h/,由于波长由于波长是描述波在空是描述波在空间变化快慢的量间变化快慢的量,是与整个波动相联系的量是与整个波动相联系的量,因此因此,正如正如“在空间某一点在空间某一
37、点 x 的波的波长长”的提法没有意义一样的提法没有意义一样,“微粒子在空间某一点微粒子在空间某一点 x 的动量的动量”的提法也同样没的提法也同样没有意义有意义.这样这样,粒子运动轨道的概念就没有意义粒子运动轨道的概念就没有意义.这从日常生活经验或从经典力学中粒子运动的概念来讲这从日常生活经验或从经典力学中粒子运动的概念来讲,是很难接受的是很难接受的,但它却是波粒二象性的必然结果但它却是波粒二象性的必然结果.当然当然,从宏观的尺度来看从宏观的尺度来看,由于由于h h是一个非常小的量是一个非常小的量,不确定度关系与我不确定度关系与我们日常生活经验并无什么矛盾们日常生活经验并无什么矛盾.事实上事实上
38、,人们迄今做过的同时精密测量得出人们迄今做过的同时精密测量得出的的x与与p 之积之积,数量级都远大于数量级都远大于h.所以在一般的宏观现象中人们仍然不妨所以在一般的宏观现象中人们仍然不妨使用轨道运动等经典力学概念使用轨道运动等经典力学概念.18 2+3-=dxxrr19 2+3-=dVVrrr粒子处于波函数粒子处于波函数 所描述的状态下，虽然不是所有力学量都具有确定的值，所描述的状态下，虽然不是所有力学量都具有确定的值，但它们都有但它们都有确定的分布确定的分布，因而有确定的，因而有确定的平均值平均值.例如位置例如位置 的平均值为的平均值为（根（根据数学中几率密度定义）据数学中几率密度定义）rx
39、这里假定了波函数已归一化这里假定了波函数已归一化.又例如势能又例如势能 的平均值为的平均值为 V r1.1.6 力学量的平均值与算符的引进力学量的平均值与算符的引进 23dprprr20 33 21 ed2irp rpr21前面已提到，由于前面已提到，由于波粒二象性波粒二象性，“粒子在空间某一点的动量粒子在空间某一点的动量”的提法是没有的提法是没有意义的意义的.因此不能像求势能平均值那样来求动量平均值，即因此不能像求势能平均值那样来求动量平均值，即我们必须换一种方法来处理这问题我们必须换一种方法来处理这问题.按前面所述，给定波函数按前面所述，给定波函数 之后，测得粒子动量在之后，测得粒子动量在
40、 中的概率中的概率为为 ，其中，其中,+dp pp r 23d pp 33i 3 21d die2rp p rrp 33i 3 21d de2prp rrpp 233=ddpppppppp 3=dir rr22注意注意因此可以借助因此可以借助 来间接计算动量的平均值（利用式来间接计算动量的平均值（利用式（13）和）和 （14）p)()()-()(-)(-)(-/ppepreipeipiperipeiipripripripripr其中：这样，我们就找到了用这样，我们就找到了用 来直接计算动量平均值的公式，而不必借助于来直接计算动量平均值的公式，而不必借助于 的的Fourier变换变换 来间接计算
41、（见式来间接计算（见式 ，）.但只是就出现了一种新的数学工具但只是就出现了一种新的数学工具 .算符算符21 p r r22令令=-i p23则式则式 可表成可表成22 3=d rprpr24 称为称为动量算符动量算符.p 上式表明，动量平均值与波函数上式表明，动量平均值与波函数 的梯度密切相关的梯度密切相关.这是可以理解的，因这是可以理解的，因为按照为按照de Broglie关系，动量与波长的倒数（波数）成比例，所以关系，动量与波长的倒数（波数）成比例，所以波函数的梯波函数的梯度愈大度愈大，即波长愈短（波数愈大），动量平均值也就愈大，即波长愈短（波数愈大），动量平均值也就愈大.r 3=d,TT
42、rrr2522=-2Tm（动能算符（动能算符）动能动能 和角动量和角动量 的平均值也可类似求出的平均值也可类似求出2=2Tpm=l rp 3=d,rlrlr26（角动量算符）（角动量算符）=l rpxizylypzpyzzy yixzlzpxpzxxz ziyxlxpypxyyx 27 是一个矢量算符，它的三个分量可以表示为是一个矢量算符，它的三个分量可以表示为l 3 d,AArArr2928=,AA 一般来说，粒子的力学量一般来说，粒子的力学量 的的平均值平均值可如下求出可如下求出:A 是力学量是力学量 相应的算符相应的算符.如波函数未归一化，则如波函数未归一化，则AAP14 思考题答案 统
43、计诠释统计诠释赋予了波函数确切的物理含义赋予了波函数确切的物理含义.根据统计诠释根据统计诠释（a）根据统计诠释，要求）根据统计诠释，要求 取有限值似乎是必要的，即要求取有限值似乎是必要的，即要求 取有限值，但应注意，取有限值，但应注意，只是表示概率密度，而在物理上只要求空间只是表示概率密度，而在物理上只要求空间任何有限体积中找到粒子的概率为有限值即可任何有限体积中找到粒子的概率为有限值即可.因此，并不排除在空间因此，并不排除在空间某些孤立奇点处某些孤立奇点处 .例如，例如，是是 的一个孤立奇点，的一个孤立奇点，是包是包围围 点在内的任何体积，则按统计诠释只要点在内的任何体积，则按统计诠释只要
44、2r r0=r r r 2r0r r01.1.7 统计诠释对波函数提出的要求统计诠释对波函数提出的要求 023 d r有限值r30s1 r0r 0300r 0就是就是物理上可以接受的物理上可以接受的.如取如取 （坐标原点），（坐标原点），是半径为是半径为 的小球，的小球，显然，当显然，当 时时,式式 的积分值趋于的积分值趋于 ，即要求，即要求 .如如 时，时，则要求，则要求 00rs3 2.（b）按照统计诠释，）按照统计诠释，一个真实的波函数需要满足归一化条件（平方可积）一个真实的波函数需要满足归一化条件（平方可积）31 23d1r全r()230ryrr但概率描述中实质的问题是但概率描述中实质
45、的问题是相对概率相对概率。因此，在量子力学中并不排除使用某。因此，在量子力学中并不排除使用某些不能归一化的理想的波函数些不能归一化的理想的波函数.例如平面波例如平面波 ，波包波包.实际的波函实际的波函数当然不会是一个理想的平面波或数当然不会是一个理想的平面波或 波包，但如果粒子态可以用一个很大的波包，但如果粒子态可以用一个很大的波包来描述，波包的广延比所处理的问题的特征长度大得多，而且在问题所波包来描述，波包的广延比所处理的问题的特征长度大得多，而且在问题所涉及的空间区域中粒子的概率密度可视为常数，则不妨用平面波来近似代替，涉及的空间区域中粒子的概率密度可视为常数，则不妨用平面波来近似代替，例
46、如在散射理论中，入射粒子态常用平面波来描述例如在散射理论中，入射粒子态常用平面波来描述.iep rr（c）按照统计诠释，要求）按照统计诠释，要求 单值单值.是否由此可得出要求是否由此可得出要求 单值？否，单值？否，在量子力学中还会有在量子力学中还会有 2r r在在 空间不单值的波函数空间不单值的波函数(例如计及自旋后的电子波函数，见第例如计及自旋后的电子波函数，见第8章章).r（d）波函数）波函数 及其各阶微商的及其各阶微商的连续性连续性.一般的要求一般的要求 及其微商连续是不正及其微商连续是不正确的（例如，见确的（例如，见2.2节，节，2.3节的分析）节的分析）.在学习了表象理论（特别是离散
47、表象）在学习了表象理论（特别是离散表象）之后，就会对波函数的统计诠释和量子态有更深入的理解（见第之后，就会对波函数的统计诠释和量子态有更深入的理解（见第7章）章）.r r总之，波函数通常要满足总之，波函数通常要满足：单值单值，有限有限，连续连续。这个问题已经由Schrdinger方程圆满解决。下面用一个简单的方案来引进这个方程。先讨论自由粒子：量子力学中最核心的问题就是要解决波函数如何随时间演化以及在各种具体情况下找出描述体系状态的各种可能的波函数。,rt1.2 Schrdinger 1.2 Schrdinger 方程方程1.2.1 Schrdinger 1.2.1 Schrdinger 方程
48、的引进方程的引进其能量与动量的关系是2/2Epm(1)按照de Broglie关系/E，/kp2/k(2)ii/,eetEtt k rp rr(3)即与具有一定能量 和动量 的粒子相联系的是平面单色波pE（从自由粒子平面波出发）它是所要建立方程的解。由上式可以看出iEti,p 222p 222i022pEtmm(4)利用式（1），可以得出2/2Epm(1)22i,2tttm rr 即即(自由粒子的波方程)描述自由粒子的一般状态的波函数，具有波包的形式，即为许多平面单色波的叠加 i/33/21,ed2Ettp p rrp(5)i/33/21ied2EtEpt p rp由此，不难证明 i/2223
49、3/21ed2Etpp p rp 22i/233/21ied0222EtpEptmm p rp 所以 可见如式（5）所示的波包仍满足方程(4).所以方程(4)是自由粒子的波函数满足的方程.即,在方程(1)中,令i,Etipp (6)并作用于波函数 上,就可得出方程(4).,tr在此基础上,我们进一步考虑在势场 中运动的粒子,可以得到 V r22i,2tttm rr(4)(自由粒子的波方程)22i,2tVttmrrr(7)上式就是上式就是在势场中粒子的波函数满足的在势场中粒子的波函数满足的Schrdinger波动方程波动方程.它揭示了微观世界中物质运动的基本规律它揭示了微观世界中物质运动的基本规
50、律.说明：SchrSchrdingerdinger不是从更基本的理论导出的方程，而是在假定自由粒子的 形式的基础上所建立起来的方程，它的正确性是靠实验来证实的。薛定谔方程是量子力学的五个基本假设之一，该方程在量子力学中的地位相当于经典力学中的牛顿方程。知道了 及 即可从该方程中求得以后任何时刻的 ，从而求得 及一切力学量的分布。）（trV,）（0,tr）（tr,2|,|）（tr1.1.定域的概率守恒定域的概率守恒 Schrdinger 方程是非相对论量子力学的基本方程.在非相对论(低能)情况下,实物粒子()没有产生和湮没现象,所以在随时间演化的过程中,粒子数目保持不变.对于一个粒子来说,在全空
