1、 1 1 函数的动点问题函数的动点问题 例 1如图，在平行四边形ABCD中，AD9cm，动点P从A点出发，以 1cm/s的速度沿着ABCA的 方向移动，直到点P到达点A后才停止已知PAD的面积y（单位：cm2 ）与点P移动的时间x（单位： s）之间的函数关系如图所示，图中a与b的和为_ 同类题型同类题型 1.1 如图，已知正方形ABCD的边长为 4，E是BC边上的一个动点，AEEF，EF交DC于点F，设 BEx，FCy，则当点E从点B运动到点C时，y关于x的函数图象是 （ ） A BCD 同类题型同类题型 1.2 如图，在矩形ABCD中，AB2，AD3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P
2、从点A 出发，沿路径ADCE运动，则APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致 是 （ ） A B C D 同类题型同类题型 1.3 如图，菱形ABCD的边长为 2，A60，一个以点B为顶点的 60角绕点B旋转，这个角 的两边分别与线段AD的延长线及CD的延长线交于点P、Q，设DPx，DQy，则能大致反映y与x的函 数关系的图象是（ ） 2 2 A B C D 例 2如图，等边ABC的边长为 2cm，点P从点A出发，以 1cm/s的速度沿AC向点C运动，到达点C停 止； 同时点Q从点A出发， 以2cm/s的速度沿ABBC向点C运动， 到达点C停止， 设APQ的面积为y（cm
3、2 ） ， 运动时间为x（s） ，则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是 （ ） A B CD 同类题型同类题型 2.1 如图 1，E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点B沿折线BEEDDC运动到点C时停止， 点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是 2cm/s若P、Q同时开始运动，设运动时间为 t（s） ，BPQ的面积为y（cm2 ） ，已知y与t的函数关系图象如图 2，则下列结论错误的是（ ） AAE12cm BsinEBC 7 4 C当 0t8 时，y 7 2 t2 D当t9s时，PBQ是等腰三角形 同类题型同类题型 2.2 矩形ABCD中，AB6，BC8，动点P从点B出
4、发以每秒 2 个单位长的速度沿BAADDCD 的方向运动到C点停止， 动点Q以每秒 1 个单位的速度沿BC方向运动到C点停止， 假设P、 两点同时出发， 运动时间是t秒，ySPBQ ，则y与t的函数图象大致是 （ ） A B C D 同类题型同类题型 2.3 如图，矩形ABCD中，AB8cm，AD12cm，AC与BD交于点O，M是BC的中点P、Q两点沿 着BCD方向分别从点B、点M同时出发，并都以 1cm/s的速度运动，当点Q到达D点时，两点同时停 止运动在P、Q两点运动的过程中，与OPQ的面积随时间t变化的图象最接近的是（ ） 3 3 A B C D 例 3如图，正六边形ABCDEF的边长为
5、 6cm，P是对角线BE上一动点，过点P作直线l与BE垂直，动点 P从B点出发且以 1cm/s的速度匀速平移至E点设直线l扫过正六边形ABCDEF区域的面积为S（cm2 ） ， 点P的运动时间为t（s） ，下列能反映S与t之间函数关系的大致图象是 （ ） A BC D 同类题型同类题型 3.1 如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为 4 的正方形，平行于对角线BD的直线l 从O出发，沿x轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止设直线 l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒） ，下列能反映S与t之间函数关系的图象是 （ ） 4 4 A
6、 B C D 同类题型同类题型 3.2（2015 秋荆州校级月考）如图，ABC中，ACB90，A30，AB16点P是斜 边AB上一点 过点P作PQAB， 垂足为P， 交边AC（或边CB） 于点Q 设APx， 当APQ的面积为14 3 时，则x的值为 （ ） A2 21 B2 21 或 14 C2 或2 21 或 14 D2 或 14 同类题型同类题型 3.3 如图 1，在平面直角坐标系中，将ABCD放置在第一象限，且ABx轴直线yx从原点 出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m 的函数图象如图 2 所示，那么AD的长为_ 例 4如图，ABC
7、为直角三角形，C90，BC2cm，A30，四边形DEFG为矩形，DE2 3 cm， EF6cm，且点C、B、E、F在同一条直线上，点B与点E重合RtABC以每秒 1cm 的速度沿矩形DEFG的 边EF向右平移，当点C与点F重合时停止设RtABC与矩形DEFG的重叠部分的面积为ycm2 ，运动时 间xs能反映ycm2 与xs之间函数关系的大致图象是 （ ） A B C D 同类题型同类题型 4.1 如图，菱形ABCD的边长为 1，菱形EFGH的边长为 2，BADFEH60点C与点E重合， 点A，C（E） ，G在同一条直线上，将菱形ABCD沿CG方向平移至点A与点G重合时停止，设点C、E之 间的距
8、离为x，菱形ABCD与菱形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x之间函数关系的图象是 （ ） 5 5 A BCD 同类题型同类题型 4.2 如图，等边ABC的边AB与正方形DEFG的边长均为 2，且AB与DE在同一条直线上，开始 时点B与点D重合，让ABC沿这条直线向右平移，直到点B与点E重合为止，设BD的长为x，ABC与 正方形DEFG重叠部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（ ） A B C D 同类题型同类题型 4.3 如图，四边形ABCD是边长为 1 的正方形，四边形EFGH是边长为 2 的正方形，点D与点F重 合，点B，D（F） ，H在同一条直线
9、上，将正方形ABCD沿FH方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、 F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x之间函数关系的 图象是 （ ） A B 6 6 C D 参考答案参考答案 例 1如图，在平行四边形ABCD中，AD9cm，动点P从A点出发，以 1cm/s的速度沿着ABCA的 方向移动，直到点P到达点A后才停止已知PAD的面积y（单位：cm2 ）与点P移动的时间x（单位： s）之间的函数关系如图所示，图中a与b的和为_ 解：由图可知点P从A点运动到B点的时间为 10s， 又因为P点运动的速度为 1cm/s， 所以AB10110（cm） ， 由
10、AD9 可知点P在边BC上的运动时间为 9s， 所以a10919； 分别过B点、C两点作BEAD于E，CFAD于F 由图知SABD 36， 则1 2 9BE36， 解得BE8， 在直角ABE中，由勾股定理，得AEAB2BE2 6 易证BAECDF， 则BECF8，AEDF6，AFADDF9615 在直角ACF中，由勾股定理，得CAAF2CF2 17， 则点P在CA边上从C点运动到A点的时间为 17s， 所以b191736， ab193655 同类题型同类题型 1.1 如图，已知正方形ABCD的边长为 4，E是BC边上的一个动点，AEEF，EF交DC于点F，设 BEx，FCy，则当点E从点B运动
11、到点C时，y关于x的函数图象是（ ） 7 7 ABCD 解：AEEF，AEBFCE90 四边形ABCD是正方形，BC90 ABBC4， BAEAEB90，BAEFCE， ABEECF，AB EC BE FC ， BEx，FCy，EC4x，则有 4 4x x y ， 整理后得y1 4x 2 x 配方后得到y1 4（x2） 2 1 从而得到图象为抛物线，开口朝下，顶点坐标为（2，1） 选 C 同类题型同类题型 1.2 如图，在矩形ABCD中，AB2，AD3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A 出发， 沿路径ADCE运动， 则APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致
12、 是（ ） A BC D 解：在矩形ABCD中，AB2，AD3， CDAB2，BCAD3， 点E是BC边上靠近点B的三等分点， CE2 332， 点P在AD上时，APE的面积y1 2 x2x（0x3） ， 点P在CD上时，SAPE S_(梯形AECD)S_(ADP)S_(CEP)， 1 2（23）2 1 23（x3） 1 2 2（32x） ， 53 2x 9 2 5x， 1 2x 9 2 ， 8 8 y1 2x 9 2 （3x5） ， 点P在CE上时，SAPE1 2 （322x）2x7， yx7（5x7） ， 选 A 同类题型同类题型 1.3 如图，菱形ABCD的边长为 2，A60，一个以点B
13、为顶点的 60角绕点B旋转，这个角 的两边分别与线段AD的延长线及CD的延长线交于点P、Q，设DPx，DQy，则能大致反映y与x的函 数关系的图象是（ ） A B C D 解：四边形ABCD是菱形，A60， ABDCBDADBBDC60， BDQBDP120， QBP60， QBDPBC， APBC， PPBC， QBDP， BDQPDB， DQ BD BD PD ，即 y 2 2 x ， xy4， y与x的函数关系的图象是双曲线， 选 A 例 2如图，等边ABC的边长为 2cm，点P从点A出发，以 1cm/s的速度沿AC向点C运动，到达点C停 止； 同时点Q从点A出发， 以2cm/s的速度沿
14、ABBC向点C运动， 到达点C停止， 设APQ的面积为y（cm2 ） ， 运动时间为x（s） ，则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（ ） 9 9 ABCD 解：由题得，点Q移动的路程为 2x，点P移动的路程为x， AC60，ABBC2， 如图，当点Q在AB上运动时，过点Q作QDAC于D，则 AQ2x，DQ 3 x，APx， APQ的面积y1 2x 3x 3 2 x2 （0x1） ， 即当 0x1 时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故A、B排除； 如图，当点Q在BC上运动时，过点Q作QEAC于E，则 CQ42x，EQ2 3 3 x，APx， APQ的面积y1 2x（2 3 3x） 3
15、 2 x2 3 x（1x2） ， 即当 1x2 时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分，故C排除，而D正确； 选 D 同类题型同类题型 2.1 如图 1，E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点B沿折线BEEDDC运动到点C时停止， 点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是 2cm/s若P、Q同时开始运动，设运动时间为 t（s） ，BPQ的面积为y（cm2 ） ，已知y与t的函数关系图象如图 2，则下列结论错误的是（ ） AAE12cm BsinEBC 7 4 C当 0t8 时，y 7 2 t2 D当t9s时，PBQ是等腰三角形 解：A、分析函数图象可知，当点Q到达点C时，点P到达
16、点E处， BCBE2816cm，ED224cm， AEADEDBCED16412cm，故A正确； B、作EFBC于点F，如图， 10 10 由函数图象可知，BCBE16cm，BFAE12cm， 由勾股定理得，EF4 7 cm， sinEBCEF BE 4 7 16 7 4 ，故B正确； C、作PMBQ于点M，如图， BQBP2t， ySBPQ1 2BQPM 1 2BQBPsinEBC 1 22t2t 7 4 7 2 t2 故C正确； D、当t9s时，点Q与点C重合，点P运动到ED的中点，设为N，如图所示，连接NB，NC 此时AN14，ND2，由勾股定理求得：NB2 11 ，NC2 29 ， B
17、C16， BCN不是等腰三角形，即此时PBQ不是等腰三角形故D错误； 选 D 同类题型同类题型 2.2 矩形ABCD中，AB6，BC8，动点P从点B出发以每秒 2 个单位长的速度沿BAADDCD 的方向运动到C点停止， 动点Q以每秒 1 个单位的速度沿BC方向运动到C点停止， 假设P、 两点同时出发， 运动时间是t秒，y=SPBQ ，则y与t的函数图象大致是（ ） A BC D 解：当 0t3 时，PBQ是Rt，y1 2t2tt 2 ； 当 3t7 时，y1 2 t63t； 当 7t8 时，y1 2t（202t）t 2 10t； 当 8t10 时，y1 2 8（202t）808t； 观察各选项
18、可知，y与t的函数图象大致是选项 D 选 D 同类题型同类题型 2.3 如图，矩形ABCD中，AB8cm，AD12cm，AC与BD交于点O，M是BC的中点P、Q两点沿 着BCD方向分别从点B、点M同时出发，并都以 1cm/s的速度运动，当点Q到达D点时，两点同时停 止运动在P、Q两点运动的过程中，与OPQ的面积随时间t变化的图象最接近的是（ ） 11 11 A B C D 解：矩形ABCD中，AB8cm，AD12cm，AC与BD交于点O， 点O到BC的距离1 2 AB4，到 CD的距离1 2 AD6， 点M是BC的中点， CM1 2 BC6， 点Q到达点C的时间为 616 秒， 点P到达点C的
19、时间为 12112 秒， 点Q到达点D的时间为（68）114 秒， 0t6 时，点P、Q都在BC上，PQ6， OPQ的面积1 2 6412； 6t12 时，点P在BC上，点Q在CD上， CP12t，CQt6， SOPQSCOPSCOQSPCQ ， 1 2（12t）4 1 2（t6）6 1 2 （12t）（t6） ， 1 2t 2 8t42， 1 2（t8） 2 10， 12t14 时，PQ6， OPQ的面积1 2 6618； 纵观各选项，只有B选项图形符合 选 B 12 12 例 3如图，正六边形ABCDEF的边长为 6cm，P是对角线BE上一动点，过点P作直线l与BE垂直，动点 P从B点出发
20、且以 1cm/s的速度匀速平移至E点设直线l扫过正六边形ABCDEF区域的面积为S（cm2 ） ， 点P的运动时间为t（s） ，下列能反映S与t之间函数关系的大致图象是（ ） A B C D 解：由题意得：BPt， 如图 1，连接AC，交BE于G， RtABG中，AB6，ABG60， BAG30， BG1 2 AB3， 由勾股定理得：AG62323 3 ， AC2AG6 3 ， 当 0t3 时，PM 3 t， MN2 3 t， SSBMN1 2MNPB 1 2 3t 2 3 2 t2 ， 所以选项A和B不正确； 如图 2，当 9t12 时，PE12t， 13 13 MEP60， tanMEPP
21、M PE ， PM 3 （12t） ， MN2PM2 3 （12t） ， SS_(正六边形)S_(EMN)， 21 2（AFBE）AG 1 2 MNPE， （612）3 31 22 3 （12t） （12t） ， 54 3 3（14424tt2 ） ， 3t224 3t90 3 ， 此二次函数的开口向下， 所以选项C正确，选项D不正确； 选 C 同类题型同类题型 3.1 如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为 4 的正方形，平行于对角线BD的直线l 从O出发，沿x轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止设直线 l扫过正方形OBCD的面积为S， 直线l
22、运动的时间为t（秒） ， 下列能反映S与t之间函数关系的图象是 （ ） A B C D 解：当 0t4 时，S1 2tt 1 2t 2 ，即S1 2t 2 14 14 该函数图象是开口向上的抛物线的一部分 故B、C错误； 当 4t8 时，S161 2（8t）（8t） 1 2t 2 8t16 该函数图象是开口向下的抛物线的一部分 故A错误 选 D 同类题型同类题型 3.2（2015 秋荆州校级月考）如图，ABC中，ACB90，A30，AB16点P是斜 边AB上一点 过点P作PQAB， 垂足为P， 交边AC（或边CB） 于点Q 设APx， 当APQ的面积为14 3 时，则x的值为（ ） A2 21
23、 B2 21 或 14 C2 或2 21 或 14 D2 或 14 解：当点Q在AC上时， A30，APx， PQxtan30 3 3 x， S1 2APPQ 1 2x 3 3 3 6 x214 3 解得：x2 21 或x2 21 （舍去） ， 当点Q在BC上时，如下图所示： APx，AB16，A30， BP16x，B60， PQBPtan60 3 （16x） S1 2APPQ 3 2 x28 3x14 3 ， 解得：x2（舍去）或x14 选 B 同类题型同类题型 3.3 如图 1，在平面直角坐标系中，将ABCD放置在第一象限，且ABx轴直线yx从原点 出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被
24、平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m 的函数图象如图 2 所示，那么AD的长为_ 解：当AB4 时如图 1， 15 15 由图可知：OE4，OF8，DG3 2 ， EFAGOFOE4 直线解析式为：yx AGDEFD45 AGD是等腰直角三角形 DHGH 2 2 DG 2 2 3 2 3， AHAGGH431， ADDH2AH23212 10 ； 当AB4 时，如图 2， 由图可知：OI4，OJ8，KB3 2 ，OM9， IJAB4，IMAN5， 直线解析式为：yx， KLB是等腰直角三角形， KLBL 2 2 KB3， AB4， ALABBL1， T同得，DMMN， 过K作K
25、MIM， tanDANKL AL 3， AM DM tanDAN DM 3 ， ANAMMN4 3 DM5， DMMN15 4 ， AMANMN515 4 5 4 ， ADAM2DM25 10 4 ， 16 16 故答案为 10 或5 10 4 例 4如图，ABC为直角三角形，C90，BC2cm，A30，四边形DEFG为矩形，DE2 3 cm， EF6cm，且点C、B、E、F在同一条直线上，点B与点E重合RtABC以每秒 1cm 的速度沿矩形DEFG的 边EF向右平移，当点C与点F重合时停止设RtABC与矩形DEFG的重叠部分的面积为ycm2 ，运动时 间xs能反映ycm2 与xs之间函数关系
26、的大致图象是（ ） A B C D 解：已知C90，BC2cm，A30， AB4， 由勾股定理得：AC2 3 ， 四边形DEFG为矩形，C90， DEGF2 3 ，CDEF90， ACDE， 此题有三种情况： （1）当 0x2 时，AB交DE于H， 如图 DEAC， EH AC BE BC ， 即 EH 2 3 x1 2 ， 解得：EH 3 x， 所以y1 2 3xx 3 2 x2 ， x y之间是二次函数， 所以所选答案C错误，答案D错误， a 3 2 0，开口向上； （2）当 2x6 时，如图， 17 17 此时y1 222 32 3 ， （3）当 6x8 时，如图，设ABC的面积是s1
27、，FNB的面积是s2 ， BFx6，与（1）类同，同法可求FN 3X6 3 ， ys1s2 ， 1 222 3 1 2（x6）（ 3X6 3 ） ， 3 2 x26 3x16 3 ， - 3 2 0， 开口向下， 所以答案A正确，答案B错误， 选 A 同类题型同类题型 4.1 如图，菱形ABCD的边长为 1，菱形EFGH的边长为 2，BADFEH60点C与点E重合， 点A，C（E） ，G在同一条直线上，将菱形ABCD沿CG方向平移至点A与点G重合时停止，设点C、E之 间的距离为x，菱形ABCD与菱形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x之间函数关系的图象是 （ ） A B C D 解：
28、由菱形ABCD、EFGH边长为 1，2 可得：AC2ABsin30 3 ，EG2 3 （1）当菱形ABCD移动到点A与点E重合的过程，即0x 3 时，重合部分的菱形的两条对角线长度分 别为：x，2x 2tan30 3x 3 y1 2x 3x 3 3 6 x2 18 18 （2）当菱形ABCD移动到点C与点G重合的过程，重合部分的菱形面积不变，即 3x2 3 时，yS菱 形ABCD1 21 3 3 2 ； （3）当菱形ABCD移动到点A与点G重合的过程，即2 3x3 3时，重合部分的菱形的两条对角线长度 分别为： 3 x，2 3x 2 tan30 3( 3x) 3 y1 2（ 3x） 3(3x)
29、 3 3 6 （ 3x）2 由（1） （2） （3）可以看出图象应该是y 3 6 x2 图上像0x 3 时的部分，y 3 2 图象上 3x2 3 时的部分，y 3 6 （ 3x）2 图象上2 3x3 3时的部分组成 选 D 同类题型同类题型 4.2 如图，等边ABC的边AB与正方形DEFG的边长均为 2，且AB与DE在同一条直线上，开始 时点B与点D重合，让ABC沿这条直线向右平移，直到点B与点E重合为止，设BD的长为x，ABC与 正方形DEFG重叠部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（ ） A B C D 解：设BD的长为x，ABC与正方形DEFG重合部分（图中
30、阴影部分）的面积为y， 当B从D点运动到DE的中点时，即 0x1 时，y1 2x 3x 3 2 x2 当B从DE中点运动到E点时，即 1x2 时，y 31 2（2x） 3（2x） 3 2 x22 3x 3 由函数关系式可看出D中的函数图象与所求的分段函数对应 选 D 同类题型同类题型 4.3 如图，四边形ABCD是边长为 1 的正方形，四边形EFGH是边长为 2 的正方形，点D与点F重 合，点B，D（F） ，H在同一条直线上，将正方形ABCD沿FH方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、 F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x之间函数关系的 图象是（ ） 19 19 A B C D 解：DFx，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y y1 2DF 21 2x 2（0x 2 ） ； y1（ 2x2 2 ） ； BH3 2 x y1 2BH 21 2x 23 2x9（2 2x3 2 ） 综上可知，图象是 选 B
