1、 1 1 四边形的综合问题四边形的综合问题 例 1如图，APB中，AB2 2 ，APB90，在AB的同侧作正ABD、正APE和BPC，则四边形 PCDE面积的最大值是_ 同类题型同类题型 1.1 如图，APB中，AP4，BP3，在AB的同侧作正ABD、正APE和正BPC，则四边形 PCDE面积的最大值是_ 同类题型同类题型 1.2 如图，在ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边ABE、ADF，延长CB交AE于点G， 点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（ ） CDFEBC；CDFEAF；ECF是等边三角形；CGAE A只有 B只有 C只有 D 同类题型同类题
2、型 1.3 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上的一点，且BCEC，CFBE交AB于点F， P是EB延长线上一点，下列结论：BE平分CBF；CF平分DCB；BCFB；PFPC其中正确的 有_ （填序号） 同类题型同类题型 1.4 如图，在ABCD中，DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，ABC的平分线 交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是（ ） ABOOH BDFCE CDHCG DABAE 2 2 例 2图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝 隙） 图乙中AB BC 6 7 ，
3、EF4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm 2 ，其内部菱形由两组距离相等 的平行线交叉得到，则该菱形的周长为_ 同类题型同类题型 2.1 如图，在菱形ABCD中，AB4cm，ADC120，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿 AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止） ，点E的速度为 1cm/s，点F的速度为 2cm/s，经过t秒DEF 为等边三角形，则t的值为_ 同类题型同类题型 2.2 如图，在边长为 2 的菱形ABCD中，A60，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点， 将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，连接AC，则AC长度的最小值是_ 同类题型同类题型 2.3 如图，在菱
4、形ABCD中，边长为 10，A60顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形 A1B1C1D1 ；顺次连接四边形A1B1C1D1 各边中点，可得四边形A2B2C2D2 ；顺次连接四边形A2B2C2D2 各边 中点，可得四边形A3B3C3D3 ；按此规律继续下去，则四边形A2017B2017C2017D2017 的周长是 _ 例 3 如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EFEC交AD于点F，连接CF（ADAE） ，下列结论： AEFBCE；SCEFSEAFSCBE ；AFBCCF； 若BC CD 3 2 ，则CEFCDF其中 正确的结论是_ （填写所有正确结论的序号） 3 3 同类题型同类题
5、型 3.1 如图，在矩形ABCD中，AD 2 AB，BAD的平分线交BC于点E，DHAE于点H，连接 BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论： AEDCED；ABHF，BHHF；BCCF2HE；OEOD； 其中正确结论的序号是_ 同类题型同类题型 3.2 如图，在矩形ABCD中，BC 2 AB，ADC的平分线交边BC于点E，AHDE于点H，连接 CH并延长交AB边于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题： ADDEDH2 2 EHAEHCFBHO1 2AE 其中正确命题的序号是_（填上所有正确命题的序号） 同类题型同类题型 3.3 如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，
6、AEBD，垂足为F，则 tanBDE的值是（ ） A 2 4 B1 4 C1 3 D 2 3 例 4已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE过点A作AE的垂线AP交DE于点P若 AEAP1，PB 6 ，下列结论： APDAEB；点B到直线AE的距离为 2 ；EBED； SAPDSAPB1 6 S正方形ABCD4 6 其中正确结论的序号是_ 4 4 同类题型同类题型 4.1 如图，正方形ABCD的边长为 2，将长为 2 的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时 滑动如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按ABCDA滑动到A止，同时点R从点B出发，沿图 中所示方向按BCDAB滑
7、动到B止点N是正方形ABCD内任一点，把N点落在线段QR的中点M所 经过的路线围成的图形内的概率记为P，则P（ ） A4 4 B 4 C1 4 D1 4 同类题型同类题型 4.2 如图，边长为 2 的正方形ABCD中，AE平分DAC，AE交CD于点F，CEAE，垂足为点E， EGCD，垂足为点G，点H在边BC上，BHDF，连接AH、FH，FH与AC交于点M，以下结论： FH2BH；ACFH；SACF 1；CE 1 2 AF；EG 2 FGDG，其中正确结论的个数为（ ） A2 B3 C4 D5 同类题型同类题型 4.3 如图，边长为 1 的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O有直角MPN
8、，使直角顶点P 与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转MPN，旋转角为（090） ， PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是 _ （1）EF 2 OE； （2）S四边形OEBF：S正方形ABCD1：4； （3）BEBF 2 OA； （4）在旋转过程中， 当BEF与COF的面积之和最大时，AE 3 4； （5）OGBDAE 2CF2 同类题型同类题型 4.4 如图，四边形ABHK是边长为 6 的正方形，点C、D在边AB上，且ACDB1，点P是线段 CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQ
9、P， E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D 时，点G移动的路径长为 _ 5 5 参考答案参考答案 例 1如图，APB中，AB2 2 ，APB90，在AB的同侧作正ABD、正APE和BPC，则四边形 PCDE面积的最大值是_ 解：如图，延长EP交BC于点F， APB90，APEBPC60， EPC150， CPF18015030， PF平分BPC， 又PBPC， PFBC， 设RtABP中，APa，BPb，则CF1 2CP 1 2 b，a 2b2 8， APE和ABD都是等边三角形， AEAP，ADAB，EAPDAB60， EADPAB， EADPA
10、B（SAS） ， EDPBCP， 同理可得：APBDCB（SAS） ， EPAPCD， 四边形CDEP是平行四边形， 四边形CDEP的面积EPCFa1 2b 1 2 ab， 又（ab）2a22abb2 0， 2aba2b2 8， 1 2 ab2， 即四边形PCDE面积的最大值为 2 同类题型同类题型 1.1 如图，APB中，AP4，BP3，在AB的同侧作正ABD、正APE和正BPC，则四边形 PCDE面积的最大值是_ 6 6 解：APE和ABD是等边三角形， AEAP4，ABAD，EAPDAB60， EADPAB60DAP， 在EAD和PAB中 AEAP EADPAB ADAB EADPAB（
11、SAS） ， DEBP， 同理DBCABP， DCAP， APE和BPC是等边三角形， EPAP，BPCP， DECP3，DCPE4， 四边形PCDE是平行四边形， 当CPEP时，四边形PCDE的面积最大，最大面积是 3412 同类题型同类题型 1.2 如图，在ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边ABE、ADF，延长CB交AE于点G， 点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（ ） CDFEBC；CDFEAF；ECF是等边三角形；CGAE A只有 B只有 C只有 D 解：ABE、ADF是等边三角形 FDAD，BEAB ADBC，ABDC FDBC，BEDC B
12、D，FDAABE CDFEBC CDFEBC，故正确； FAEFADEABBAD6060（180CDA）300CDA， FDC360FDAADC300CDA， CDFEAF，故正确； 7 7 同理可得：CBEEAFCDF， BCADAF，BEAE， EAFEBC， AEFBEC， AEFFEBBECFEBAEB60， FEC60， CFCE， ECF是等边三角形，故正确； 在等边三角形ABE中， 等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段 如果CGAE，则G是AE的中点，ABG30，ABC150，题目缺少这个条件，CGAE不能求证， 故错误 选 B 同类题型同类题型 1.3
13、 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上的一点，且BCEC，CFBE交AB于点F， P是EB延长线上一点，下列结论：BE平分CBF；CF平分DCB；BCFB；PFPC其中正确的 有_ （填序号） 解：证明：BCEC， CEBCBE， 四边形ABCD是平行四边形， DCAB， CEBEBF， CBEEBF， BE平分CBF，正确； BCEC，CFBE， ECFBCF， CF平分DCB，正确； DCAB， DCFCFB， ECFBCF， CFBBCF， BFBC， 正确； FBBC，CFBE， B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC， PFPC，故正确 答案为 同类题型同类题型
14、 1.4 如图，在ABCD中，DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，ABC的平分线 8 8 交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是（ ） ABOOH BDFCE CDHCG DABAE 解：四边形ABCD是平行四边形， AHBG，ADBC， HHBG， HBGHBA， HHBA， AHAB，同理可证BGAB， AHBG，ADBC， DHCG，故C正确， AHAB，OAHOAB， OHOB，故A正确， DFAB， DFHABH， HABH， HDFH， DFDH，同理可证ECCG， DHCG， DFCE，故B正确， 无法证明AEAB， 选
15、D 例 2图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝 隙） 图乙中AB BC 6 7 ，EF4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm 2 ，其内部菱形由两组距离相等 的平行线交叉得到，则该菱形的周长为_ 解：如图乙，H是CF与DN的交点，取CD的中点G，连接HG， 9 9 ， 设AB6acm，则BC7acm，中间菱形的对角线HI的长度为xcm， BC7acm，MNEF4cm， CN7a4 2 ， GHBC， GH CN DG DC ， 7ax 2 7a4 2 1 2 ， x3.5a2（1） ； 上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2 ， 6a（
16、7ax）254， a（7ax）18（2） ； 由（1） （2） ，可得 a2，x5， CD6212（cm） ，CN7a4 2 724 2 9(cm) ， DN12292 15（cm） ， 又DHDG2GH262(725 2 )2 7.5（cm） ， HN157.57.5（cm） ， AMFC， KN HK MN CM 4 94 4 5 ， HK 5 457.5 25 6 (cm) ， 该菱形的周长为：25 6 450 3 （cm） 同类题型同类题型 2.1 如图，在菱形ABCD中，AB4cm，ADC120，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿 AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止） ，点E
17、的速度为 1cm/s，点F的速度为 2cm/s，经过t秒DEF 为等边三角形，则t的值为_ 解：延长AB至M，使BMAE，连接FM， 10 10 四边形ABCD是菱形，ADC120 ABAD，A60， BMAE， ADME， DEF为等边三角形， DAEDFE60，DEEFFD， MEFDEA120，ADEDEA180A120， MEFADE， 在DAE和EMF中， ADME MEFADE DEEF DAEEMF（SAS） ， AEMF，MA60， 又BMAE， BMF是等边三角形， BFAE， AEt，CF2t， BCCFBF2tt3t， BC4， 3t4， t4 3 同类题型同类题型 2.
18、2 如图，在边长为 2 的菱形ABCD中，A60，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点， 将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，连接AC，则AC长度的最小值是_ 解：如图所示：MA是定值，AC长度取最小值时，即A在MC上时， 过点M作MFDC于点F， 在边长为 2 的菱形ABCD中，A60，M为AD中点， 2MDADCD2，FDM60， FMD30， FD1 2MD 1 2 ， 11 11 FMDMcos30 3 2 ， MCFM2CF2 7 ， ACMCMA 7 1 同类题型同类题型 2.3 如图，在菱形ABCD中，边长为 10，A60顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形 A1B1C1
19、D1 ；顺次连接四边形A1B1C1D1 各边中点，可得四边形A2B2C2D2 ；顺次连接四边形A2B2C2D2 各边 中点，可得四边形A3B3C3D3 ；按此规律继续下去，则四边形A2017B2017C2017D2017 的周长是 _ 解：菱形ABCD中，边长为 10，A60，顺次连结菱形ABCD各边中点， AA1D1 是等边三角形，四边形A2B2C2D2 是菱形， A1D1 5，C1D11 2AC5 3 ，A2B2C2D2C2B2A2D2 5， 同理可得出：A3D351 2 ，C3D3 1 2C1D1 1 25 3 ， A5D55（1 2） 2 ，C5D51 2C3D3（ 1 2） 25 3
20、 ， 四边形A2015B2015C2015D2015 的周长是：55 3 21007 例 3 如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EFEC交AD于点F，连接CF（ADAE） ，下列结论： AEFBCE；SCEFSEAFSCBE ；AFBCCF； 若BC CD 3 2 ，则CEFCDF其中 正确的结论是_ （填写所有正确结论的序号） 解：延长CB，FE交于点G， AEFBEC90，BECBCE90， AEFBCE，正确； 在AEF和BEG中， 12 12 FAEGBE90 AEBE AEFBEG ， AEFBEG（ASA） ， AFBG，EFEG， CEEG， SCEGSCEF ，CGCF
21、， SCEFSEAFSCBE ，正确； AFBCBGBCCGCF，错误； BC CD 3 2 ， BCE30，FCEFCD30， 在CEF和CDF中， DFEC90 DCFECF CFCF ， CEFCDF（AAS） ，正确 同类题型同类题型 3.1 如图，在矩形ABCD中，AD 2 AB，BAD的平分线交BC于点E，DHAE于点H，连接BH 并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论： AEDCED；ABHF，BHHF；BCCF2HE；OEOD； 其中正确结论的序号是_ 解：在矩形ABCD中，AE平分BAD， BAEDAE45， ABE是等腰直角三角形， AE= 2 AB， AD=
22、2 AB， AEAD， 在ABE和AHD中， BAEDAE ABEAHD90 AEAD ， ABEAHD（AAS） ， BEDH， ABBEAHHD， ADEAED1 2 （18045）67.5， CED1804567.567.5， AEDCED，故正确； AHB=1 2 （18045）67.5，OHEAHB（对顶角相等） ， OHEAED， OEOH， DOH9067.522.5，ODH67.54522.5， DOHODH， OHOD， 13 13 OEODOH，故正确； EBH9067.522.5， EBHOHD， 又BEDH，AEBHDF45 在BEH和HDF中 EBHOHD BEDH
23、AEBHDF BEHHDF（ASA） ， BHHF，HEDF，故正确； 由上述、可得CDBE、DFEHCE，CFCDDF， BCCF（CDHE）（CDHE）2HE，所以正确； ABAH，BAE45， ABH不是等边三角形， ABBH， 即ABHF，故错误； 综上所述，结论正确的是 同类题型同类题型 3.2 如图，在矩形ABCD中，BC 2 AB，ADC的平分线交边BC于点E，AHDE于点H，连接 CH并延长交AB边于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题： ADDEDH2 2 EHAEHCFBHO1 2AE 其中正确命题的序号是_（填上所有正确命题的序号） 解：在矩形ABCD中，ADBC 2
24、AB 2 CD， DE平分ADC， ADECDE45， ADDE， ADH是等腰直角三角形， AD 2 AB， AHABCD， DEC是等腰直角三角形， DE 2 CD， ADDE， AED67.5， AEB1804567.567.5， AEDAEB， ADBC， DAEAEB， DAEAED， ADDE， 故正确； 设DH1， 则AHDH1，ADDE 2 ， HE 2 ， 2 2HE2 21， 14 14 故错误； AEH67.5， EAH22.5， DHCD，EDC45， DHC67.5， OHA22.5， OAHOHA， OAOH， AEHOHE67.5， OHOE， OH1 2 AE，
25、 故正确； AHDH，CDCE， 在AFH与CHE中， AHFHCE22.5 FAHHEC45 AHCE ， AFHCHE， AHFHCE， AOOH， HAOAHO， HAOBCF，BAHE90， AEHCFB，故正确 答案为： 同类题型同类题型 3.3 如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AEBD，垂足为F，则 tanBDE的值是（ ） A 2 4 B1 4 C1 3 D 2 3 解：四边形ABCD是矩形， ADBC，ADBC， 点E是边BC的中点， BE1 2BC 1 2 AD， BEFDAF， EF AF BE AD 1 2 ， EF1 2 AF， EF1 3 AE， 点E是边
26、BC的中点， 由矩形的对称性得：AEDE， EF1 3 DE，设 EFx，则DE3x， DFDE2EF22 2 x， 15 15 tanBDEEF DF x 2 2x 2 4 ； 选 A 例 4已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE过点A作AE的垂线AP交DE于点P若 AEAP1，PB 6 ，下列结论： APDAEB；点B到直线AE的距离为 2 ；EBED； SAPDSAPB1 6 S正方形ABCD4 6 其中正确结论的序号是_ 解：EABBAP90，PADBAP90， EABPAD， 又AEAP，ABAD， 在APD和AEB中， AEAP EABPAD ABAD ， A
27、PDAEB（SAS） ； 故此选项成立； APDAEB， APDAEB， AEBAEPBEP，APDAEPPAE， BEPPAE90， EBED； 故此选项成立； 过B作BFAE，交AE的延长线于F， AEAP，EAP90， AEPAPE45， 又中EBED，BFAF， FEBFBE45， 又BEBP2PE2 2， BFEF 2 ， 故此选项正确； 如图，连接BD，在RtAEP中， AEAP1， EP 2 ， 又PB 6 ， BE2， APDAEB， 16 16 PDBE2， SABPSADPSABDSBDP1 2 S正方形ABCD 1 2DPBE 1 2（4 6） 1 222 6 2 故此选
28、项不正确 EFBF 2 ，AE1， 在RtABF中，AB2（AEEF）2BF252 2 ， S正方形ABCDAB252 2， 故此选项不正确 答案为： 同类题型同类题型 4.1 如图，正方形ABCD的边长为 2，将长为 2 的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时 滑动如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按ABCDA滑动到A止，同时点R从点B出发，沿图 中所示方向按BCDAB滑动到B止点N是正方形ABCD内任一点，把N点落在线段QR的中点M所 经过的路线围成的图形内的概率记为P，则P（ ） A4 4 B 4 C1 4 D1 4 解：根据题意得点M到正方形各顶点的距离都为 1，点M所走的运动轨
29、迹为以正方形各顶点为圆心，以 1 为半径的四个扇形， 点M所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去 4 个扇形的面积 而正方形ABCD的面积为 224，4 个扇形的面积为4901 2 360 ， 点M所经过的路线围成的图形的面积为 4， 把N点落在线段QR的中点M所经过的路线围成的图形内的概率记为P，则P4 4 选：A 同类题型同类题型 4.2 如图，边长为 2 的正方形ABCD中，AE平分DAC，AE交CD于点F，CEAE，垂足为点E， EGCD，垂足为点G，点H在边BC上，BHDF，连接AH、FH，FH与AC交于点M，以下结论： FH2BH；ACFH；SACF 1；CE 1
30、2 AF；EG 2 FGDG，其中正确结论的个数为（ ） A2 B3 C4 D5 解：如图 1，四边形ABCD是正方形， 17 17 ABAD，BD90，BAD90， AE平分DAC， FADCAF22.5， BHDF， ABHADF， AHAF，BAHFAD22.5， HACFAC， HMFM，ACFH， AE平分DAC， DFFM， FH2DF2BH， 故选项正确； 在RtFMC中，FCM45， FMC是等腰直角三角形， 正方形的边长为 2， AC2 2 ，MCDF2 2 2， FC2DF2（2 22）42 2 ， SAFC1 2 CFAD1， 所以选项不正确； AFAD2DF222(2
31、22)2242 2 ， ADFCEF， AD CE AF FC ， 2 CE 242 2 42 2 ， CE42 2 ， CE1 2 AF， 故选项正确； 延长CE和AD交于N，如图 2， AECE，AE平分CAD， CEEN， EGDN， 18 18 CGDG， 在RtFEC中，EGFC， EG2 FGCG， EG2 FGDG， 故选项正确； 本题正确的结论有 4 个， 故选 C 同类题型同类题型 4.3 如图，边长为 1 的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O有直角MPN，使直角顶点P 与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转MPN，旋转角为（090） ， P
32、M、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是 _ （1）EF 2 OE； （2）S四边形OEBF：S正方形ABCD1：4； （3）BEBF 2 OA； （4）在旋转过程中， 当BEF与COF的面积之和最大时，AE 3 4； （5）OGBDAE 2CF2 解： （1）四边形ABCD是正方形， OBOC，OBEOCF45，BOC90， BOFCOF90， EOF90， BOFCOE90， BOECOF， 在BOE和COF中， BOECOF OBOC OBEOCF ， BOECOF（ASA） ， OEOF，BECF， EF 2 OE；故正确； （2）S四边形OEB
33、FSBOESBOESBOESCOFSBOC1 4S正方形ABCD， S四边形OEBF：S正方形ABCD1：4；故正确； （3）BEBFBFCFBC 2 OA；故正确； （4）过点O作OHBC， BC1， 19 19 OH1 2BC 1 2 ， 设AEx，则BECF1x，BFx， SBEFSCOF1 2BEBF 1 2CFOH 1 2x（1x） 1 2（1x） 1 2 1 2（x 1 4） 29 32 ， a1 2 0， 当x1 4 时，SBEFSCOF 最大； 即在旋转过程中，当BEF与COF的面积之和最大时，AE1 4 ；故错误； （5）EOGBOE，OEGOBE45， OEGOBE， OE
34、：OBOG：OE， OGOBOE2 ， OB1 2 BD，OE 2 2 EF， OGBDEF2 ， 在BEF中，EF2BE2BF2 ， EF2AE2CF2 ， OGBDAE2CF2 故正确 故答案为： （1） ， （2） ， （3） ， （5） 同类题型同类题型 4.4 如图，四边形ABHK是边长为 6 的正方形，点C、D在边AB上，且ACDB1，点P是线段 CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP， E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D 时，点G移动的路径长为 _ 解：如图， 设KH的中点为S，连接PE，PF，SE，SF，PS， E为MN的中点，S为KH的中点， A，E，S共线， F为QR的中点，S为KH的中点， B、F、S共线， 20 20 由AMEPQF，得SAPFPB， ESPF， PNEBRF，得EPAFBP， PEFS， 则四边形PESF为平行四边形，则G为PS的中点， G的轨迹为CSD的中位线， CDABACBD6114， 点G移动的路径长1 2 42
