1、第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统离散时间信号序列离散时间信号序列线性移不变系统线性移不变系统常系数线性差分方程常系数线性差分方程连续时间信号的抽样连续时间信号的抽样离散时间信号序列离散时间信号序列 序列的定义序列的定义离散时间信号可由连续时间信号x(t)通过抽样获得，设抽样时间间隔为T，用x(nT)表示此离散时间信号在nT 点上的值，n为整数。由于离散时间信号处理常常是非实时的，可以先记录数据后分析或存放在存储器中以供随时取用，因此x(nT)可以看作是按照一定顺序排列的一组数据，可以直接用x(n)表示第n个离散时间点的序列值，并用 x(n)表示离散时间信号序列，为方便起见，通常
2、情况下直接用x(n)表示离散序列。nx(n)0123-1-2-3图1.1 离散时间信号的图形表示离散时间信号离散时间信号序列可序列可以用图形来描述，纵轴线以用图形来描述，纵轴线段的长短代表各序列值的段的长短代表各序列值的大小，横轴代表离散时间大小，横轴代表离散时间点。点。序列的运算序列的运算序列的运算包括移位、翻褶、和、积、累加、差分、时间尺度变换、卷积和等。、移位、移位若序列为x(n)，则x(n-m)是指原序列x(n)逐项依次延时（右移）m位而构成的一个新序列，而x(n+m)是指原序列x(n)逐项依次超前（左移）m位。x(n-1)n012-1图1.2 序列的移位n210-1x(n)nx(n+
3、1)012-1、翻褶、翻褶序列的翻褶又称为转置或反折，若序列为x(n)，则x(-n)就是以n=0为对称轴将序列x(n)加以翻褶 x(n)nx(-n)n图1.3 序列的翻褶、序列的和、序列的和序列x(n)与序列y(n)之和是指两个序列同序号的数值逐项对应相加而构成一个新的序列z(n)，表示为z(n)=x(n)+y(n)。例：已知 求x(n)+y(n)。解：0003)(nnnxn11121)(nnnnyn12131211)()()(nnnnnynxnznn、序列的积、序列的积序列x(n)与序列y(n)相乘是指两个序列同序号的数值逐项对应相乘而构成的一个新序列z(n)，表示为z(n)=x(n)y(n
4、)。例：已知求z(n)=x(n)y(n)解：1,01,2121)(nnnxn0,10,2)(nnnnyn0,21)1(211,211,0)()()(nnnnnynxnzn、序列的累加、序列的累加若序列为x(n)，则x(n)的累加序列y(n)定义为它表示y(n)在某个n点的值等于这个n点上的x(n)以及以前的所有n值上的x(n)值之和。nkkxny)()(、序列的差分运算、序列的差分运算前向差分 后向差分 由此得出、序列的时间尺度（比例）变换、序列的时间尺度（比例）变换对序列x(n)，其比例变换序列为x(mn)或x(n/m)，其中m为正整数。例如,x(4n)是以低4倍的频率从x(n)中每隔4个值
5、取1个值，若x(n)是连续时间信号x(t)的抽样，那么x(4n)相当于将x(n)的抽样间隔从T增加到4T。这种运算称为抽取，将x(4n)称为x(n)的抽取序列抽取序列。同样的道理，x(n/4)表示将x(n)的抽样间隔从T减少到T/4，将x(n/4)称为x(n)的插值序列插值序列。)()1()(nxnxnx)1()()(nxnxnx)1()(nxnx、序列的卷积和、序列的卷积和卷积积分卷积积分是求连续线性时不变系统输出响应（零状态响应）的主要方法。卷积和卷积和是求离散线性移不变系统输出响应（零状态响应）的主要方法。设两个序列为x(n)和h(n)，x(n)和h(n)的卷积和定义为 其中，用“*”代
6、表卷积和运算，卷积和的运算在图形上可以分成四步：翻褶、移位、相乘、相加翻褶、移位、相乘、相加。)()()()()()()(nxnhnhnxmnhmxnym卷积和的图解法计算步骤如下：卷积和的图解法计算步骤如下：翻褶：翻褶：先将x(n)和h(n)的变量置换为m，得到x(m)和h(m)，将h(m)以m=0的垂直轴为对称轴翻摺为h(-m)；移位：移位：将h(-m)沿m轴平移n得到h(n-m)，当n0时，右移n位，当n0时，左移|n|位；相乘：相乘：对给定的某个n值，将h(n-m)和 x(m)相同m值的对应点相乘；相加：相加：再将以上所有对应点的乘积累加，就可以得到给定的某n值时的y(n)。以和为例说
7、明卷积的图解方法。nnnnx其他0203)(nnnh其他0301)(h(0-m)m1h(m)m1x(m)m321h(-1-m)m1h(1-m)m1h(2-m)m1h(6-m)m3ny(n)53661几种常用典型序列几种常用典型序列、单位抽样序列（单位冲激）、单位抽样序列（单位冲激）(n)(n)(n)在离散序号处理中的作用类似于连续时间信号处理中的冲激函数(t).(t):是t=0时脉宽趋于0，幅值趋于无限大，面积为1的信号，是极限概念的信号，并不是一个现实的信号;(n):在n=0时取值为1，既简单又易计算。0001)(nnn、单位阶跃序列、单位阶跃序列u(n)u(n)(n)和u(n)间的关系为令
8、n-m=k代入上式，得0001)(nnnu)1()()(nunun0)2()1()()()(mnnnmnnunkknu)()(3 3、矩形序列、矩形序列RN(n)和(n)、u(n)的关系为为其他值nNnnRN0101)()()()(NnununRN10)()(NmNmnnR、实指数序列、实指数序列其中a为实数，当|a|1时，序列是发散的。)()(nuanxn(b)单位阶跃序列n1u(n)-3-2-10123RN(n)1nN-1N-2120-1(c)矩形序列anu(n)n1-10123(d)实指数序列图1.5 几种常用序列(a)单位抽样序列(n)-3-13-221n0a1、复指数序列、复指数序列
9、也可以用其实部和虚部表示为或用极坐标表示为其中、正弦型序列、正弦型序列其中，为幅度，为数字域的频率，为起始相位。)()()(0nuenxjnjenenjnenx0000sincos)sin(cos)(njnnxjeeenxnx0)(arg)()(nnxenxn0)(arg,)()sin()(0nAnxA0因为所以 由此可以得到序列的另一种表达形式，即任何序列都可以表示为单位抽样序列的加权移位和，即 用单位抽样序列来表示任意序列用单位抽样序列来表示任意序列mnmnmn01)(mnmnmxmnnx0)()()(mmnmxnx)()()(序列的能量序列的能量序列x(n)的能量定义为序列各抽样值的平方
10、和，即nnxE2)(线性移不变系统线性移不变系统将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一性变换或运算定义为时域离散系统，记为式中，T 用来表示这种变换关系，如果对变换关系T 加上各种约束条件就定义了各类时域离散系统。本书研究的是“线性移不变”的离散时间系统。)()(nxTny线性系统线性系统凡是满足均匀性和叠加性的系统称为线性系统，也就是说，若y1(n)和y2(n)分别为输入x1(n)和x(n)的输出响应，即那么当且仅当时，该系统称为线性系统，其中为任意常数。对线性系统若写成N个输入的一般表达式，则为)()(11nxTny)()(22nxTny)()()()()()()(212121nb
11、ynaynxbTnxaTnbxnaxTnyba,)()(11NiiiiNiinxaTnya移不变系统移不变系统如果系统的输出响应随着输入的位移而位移，那么该系统就称为移不变系统，即若输入x(n)产生输出为y(n)，则输入x(n-m)产生输出为 y(n-m)，也就是输入移动任意位，其输出也移动这么多位，且幅值保持不变。对移不变系统，若 则 其中m为任意整数。)()(nxTny)()(mnxTmny例：证明y(n)=4x(n)+6是移不变系统证：Tx(n-m)=4x(n-m)+6 y(n-m)=4x(n-m)+6 由于Tx(n-m)y(n-m)，所以y(n)=4x(n)+6是移不变系统例：证明是移
12、不变系统证：由于二者相等，所以系统是移不变系统mmxny)()(knmknmmmxknymmmkmmxkmxknxT)()(),()()()(单位抽样响应与卷积和单位抽样响应与卷积和设线性移不变系统输出y(n)的初始状态为零，当输入x(n)=(n)时，其输出定义为系统的单位抽样响应，用h(n)表示，即 设线性移不变系统的输入序列为x(n)，输出序列为y(n)，将x(n)用(n)表示，即所以相应的系统输出为根据线性系统的叠加原理，有又根据移不变特性，可得)()(nTnhmmnmxnx)()()()()()()(mmnmxTnxTny)()()(mmnTmxny)(*)()()()(nhnxmnh
13、mxnym线性移不变系统的性质线性移不变系统的性质、交换律、交换律由于卷积和与两卷积序列的次序无关，有 y(n)=x(n)*h(n)=h(n)*x(n)也就是说将单位抽样响应h(n)改为输入，而将输入x(n)改作为系统单位抽样响应，则输出y(n)不变x(n)h(n)y(n)=h(n)x(n)y(n)、结合律、结合律x(n)*h1(n)*h2(n)=x(n)*h1(n)*h2(n)=x(n)*h1(n)*h2(n)=x(n)*h(n)*h(n)也就是说两个线性移不变系统级联后仍构成一个线性移不变系统，其单位抽样响应为两系统单位抽样响应的卷积和，且线性移不变系统的单位抽样响应与它们的级联次序无关x
14、(n)y(n)h1(n)h2(n)x(n)y(n)h2(n)h1(n)x(n)y(n)h1(n)*h2(n)、分配律、分配律x(n)*h1(n)h2(n)=x(n)*h1(n)x(n)*h2(n)证明：)(*)()(*)()()()()()()()()()(*)(21212121nhnxnhnxmnhmxmnhmxmnhmnhmxnhnhnxmmmx(n)y(n)h1(n)+h2(n)h1(n)h2(n)x(n)y(n)因果系统因果系统因果系统因果系统是指其输出变化不会发生在输入变化之前的一种系统，也就是说，因果系统的n时刻的输出只取决于n时刻及n时刻以前的输入序列，而和n时刻以后的输入序列无
15、关，因此系统的因果性是指系统的可实现性，如果现在的输出和未来的输入有关，这在时间上违背了因果性，而且系统也无法实时实现，这样的系统就称为非因果系统。线性移不变系统具有因果性的充分必要条件是线性移不变系统具有因果性的充分必要条件是 0,0)(nnh证明证明：充分条件充分条件 若n0时h(n)=0，根据卷积和公式因为式中m0，所以n-mn，这就证明了y(n)的值只取决于x(n)在nn时的值，因此系统是因果的。必要条件必要条件 根据卷积和公式有若当mn，即系统在n时的输出y(n)与输入x(n)在nn时的值有关，也就是y(n)值与n以后的x(n)有关，所以该系统不是因果系统可见要使y(n)与nn时的x
16、(n)无关，则必须使 0000)()()()()(mmmnxmhmnxmhny001000)()()()()()()(mmmmnxmhmnxmhmnxmhny0)(,0nhn稳定系统稳定系统对每一个有限的输入信号，产生有限输出信号的系统称为稳定系统线性移不变系统是稳定系统的充要条件是：系统的单位抽样响应绝对可和，即系统的单位抽样响应绝对可和，即nnh)(证明：证明：充分条件充分条件 若系统满足条件若系统满足条件且输入且输入x(n)x(n)有界，对所有有界，对所有n n，其中，其中M M是一个任意大的有限是一个任意大的有限数，此时系统的输出为数，此时系统的输出为两边取绝对值，得两边取绝对值，得即
17、输出即输出y(n)y(n)有界，故系统是稳定的。有界，故系统是稳定的。必要条件必要条件 利用反证法，已知系统稳定，假设，利用反证法，已知系统稳定，假设，可以找到一个有界的输入可以找到一个有界的输入则则即输出无界，这不符合稳定的假设，因而假设不成立，所以即输出无界，这不符合稳定的假设，因而假设不成立，所以是稳定的必要条件。是稳定的必要条件。nnh)(Mnx)(mmnxmhny)()()(mmmmhMmnxmhmnxmhny)()()()()()(nnh)(0)(10)(1)(nhnhnxmmmmhmhmhmxy)()()0()()0(nnh)(结论：结论：因果稳定的线性移不变系统的单位抽样响应是
18、因果稳定的线性移不变系统的单位抽样响应是因果的（单边的），且是绝对可和的，即因果的（单边的），且是绝对可和的，即nnhnunhnh)()()()(例：设系统输入输出关系为，例：设系统输入输出关系为，判断其线性，移不变性，因果性和稳定性。判断其线性，移不变性，因果性和稳定性。解：解：因而因而所以此系统为线性系统所以此系统为线性系统而而因而因而所以此系统不是移不变系统，也就是系统是移变的所以此系统不是移不变系统，也就是系统是移变的。)325sin()()(nnxnxT)325sin()()()(111nnxnxTny)325sin()()()(222nnxnxTny)()()325sin()()3
19、25sin()()325sin()()()()(21212121nbynaynnbxnnaxnnbxnaxnbxnaxT)325sin()()(nmnxmnxT32)(5sin)()(mnmnxmny)()(mnymnxT若x(n)有界，即，则而，所以即有界的输入产生有界的输出，因此系统是稳定的。只与x(n)的当前值有关，而与未来值无关，所以系统是因果的。Mnx)()325sin()325sin()()325sin()()()(nMnnxnnxnxTny1)325sin(n Mny)()325sin()()()(nnxnxTny常系数线性差分方程常系数线性差分方程 连续线性时不变系统的输入输出
20、关系常用常系数线性微分方程表示，而离散线性移不变系统的输入输出关系常用常系数线性差分方程表示，即 或者常系数是指决定系统特征的系数是常数，若系数中含有n，则称为“变系数”。差分方程的阶数等于y(n)的变量序号的最高值与最低值之差，例如上式就是N阶差分方程。线性是指各y(n-i)项和各x(n-i)项都只有一次幂而且不存在它们的相乘项，否则就是非线性。MiNiiiinyainxbny01)()()(1,)()(000ainxbinyaMiiNii求解差分方程有如下几种方法：递推法、时域递推法、时域经典法、卷积法、变换域法经典法、卷积法、变换域法等等递推解法比较简单，适合计算机求解，但是只能得到数值
21、解，不易直接得到闭合形式（公式）解答。时域经典法和微分方程的解法比较类似，比较麻烦，实际应用中很少采用。卷积法则必须知道系统的单位抽样响应h(n)，这样利用卷积和就能得到任意输入时的输出响应。变换域法是利用Z变换的方法求解差分方程。当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就能完全代表系统，那么对于线性移不变系统，任意输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代的方法求系统的响应，当输入为（n）时，输出（响应）就是单位抽样响应h(n)。例：常系数差分方程（）初始条件为n0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；（）初始条件为n0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
22、解：（）设，且，必有依次迭代所以单位抽样响应为)1(21)()(nynxny)()(nnx0)1()1(hy0,0)()(nnhny101)1(211)0()0(hhy21210)0(210)1()1(hhy2)21(2121)1(210)2()2(hhynnnhnhny)21()21(0)1(210)()(000)21()()21()(nnnunhnn（）设，由初始条件知，必有将原式该写为另一种递推关系则所以单位抽样响应为由本例看出，差分方程相同，但是初始条件不同，得到的单位抽样响应不同，也就是对应着不同的系统)()(nnx0,0)()(nnhny)()(2)1(nxnyny2)10(2)1
23、()1(hy22)02(2)2()2(hy322)02(2)3()3(hynnnhny)21(2)()(000)21()1()21()(nnnunhnn连续时间信号的抽样连续时间信号的抽样信号的采样信号的采样 对模拟信号xa(t)进行等间隔采样，其物理意义是将模拟信号xa(t)送入一电子开关，该开关每隔T秒闭合一次，从而获得采样信号xs(t)=xa(nT),相当于将xa(t)乘以以T为周期的冲激函数T(t)，即 由于 仅在t=nT时不为零，显然，采样信号xs(t)仅在t=0，T，2T，等处有值，形成离散信号序列，即其中，T为采样周期，其倒数1/T=fs，称为采样频率。nanaTasnTttxn
24、Tttxttxtx)()()()()()()()(nTt)()()(nTxtxnxanTtsttt000TK图1.8 模拟信号的采样)(txa)(txs)(txa)(tT)(nTx下面讨论理想抽样后信号频谱发生的变化：下面讨论理想抽样后信号频谱发生的变化：研究它们对应的频谱，令X(j)，Xa(j)和T(j)分别代表xS(t)，xa(t)和 T(t)的频谱，即 式中，为采样角频率dtetxjXtjSS)()(dtetxjXtjaa)()(kSSTkjj)()(sSfT22因为，所以上式表明，采样信号的频谱X(j)是原信号频谱Xa(j)的周期性延拓，延拓周期为采样频率S，但其幅度有1/T加权。)(
25、)()(ttxtxPas kSakSakSakSaTaSjkjXTdjkjjXTdjkjjXTjkjTjXjjXjX)(1)()(1)()(1)(2)(21)()(21)(|Xa(j)|Xs(j)|T(j)|Xs(j)|SS-S-SS/2-S/2S-S(a)(a)(b)(b)(c)(c)(d)(d)-hhh奈奎斯特定理（采样定理）：奈奎斯特定理（采样定理）：要想抽样后能够不要想抽样后能够不失真的还原出原信号，则抽样频率必须大于两倍信号失真的还原出原信号，则抽样频率必须大于两倍信号谱的最高频率（谱的最高频率（h h），即），即f f2f2fh h。.2 2h h称为奈奎斯特频率，/2称为折迭频率
26、，信号频率超过它时会折迭回来，形成频谱混迭。在实际工作中，为避免频谱混迭，采样频率往往选得比2 2h h更高些，一般为=（35）h h。另外为避免高于h h的杂散频率造成频谱混迭，通常在采样之前加入保护性前置低通滤波器抗混迭滤波器，其截止频率为h h，以阻止高于h h的频率分量进入采样器。信号的恢复信号的恢复信号的恢复在频域中进行：信号的恢复在频域中进行：当符合采样定理时，将采样信号的频谱通过频率特性为的理想低通滤波器，有再对Xa(j)进行傅立叶反变换就可以恢复出xa(t)。TjXTjXSaS/2/),(1)(2/02/)(ssTjH)()()(jHjXjXSa信号的恢复在时域直接进行：信号的
27、恢复在时域直接进行：由，得到因为所以这就是抽样内插公式抽样内插公式)()()(jHjXjXSa)()()(thtxtxSa2/2sin2)(21)(SSTtcdeTdejHthtjtjnnananaatnTxTnTtcnTxTtcnTtnTxtx)()(/)(sin)()(sin)()()(其中 定义为时域内插函数时域内插函数在抽样点nT上的函数值为1，在其余抽样点上函数值为零。在每一个抽样点上，由于只有该抽样值所对应的内插函数不为零，抽样内插公式保证了各采样点上信号值不变，而采样点之间的信号值则是由各抽样值对应的内插函数的波形延伸叠加而成 1tnT(n-1)T(n-2)T(n+1)T(n+2)TT2T3T4Tt0 xa(t)TnTtTnTtTnTtctn/)(/)(sin)(sin)(
