1、2022-10-20高一数学专用课件2022-10-20高一数学专用课件1.向量及向量的有关概念、表示方法。向量及向量的有关概念、表示方法。2.两个特殊向量：零向量与单位向量。两个特殊向量：零向量与单位向量。3.向量间的两种关系，即平行向量（共线向量间的两种关系，即平行向量（共线向量）和相等向量向量）和相等向量。复习复习2022-10-20高一数学专用课件复习回顾：1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反映的？什么叫零向量和单位向量？向量：既有方向又有大小的量。平行向量方向相同或相反的非零向量。相等向量：方向相同并且长度相等的向量向量的大小
2、：有向线段的长度。向量的方向：有向线段的方向。零向量：长度为零的向量叫零向量；单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量。2022-10-20高一数学专用课件值得注意的几个区别：一、数量与向量的区别一、数量与向量的区别：（1）数量只有大小，可以进行代数运算与比较大小；）数量只有大小，可以进行代数运算与比较大小；（2）向量有方向及大小，具有双重性，）向量有方向及大小，具有双重性，不能比较大小，向量不能比较大小，向量的模可以比较大小的模可以比较大小。二、向量与有向线段的区别：二、向量与有向线段的区别：（1）向量是自由向量，）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素只有大小和方向两个要素；与起点无
3、；与起点无关。只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；关。只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有）有向线段有起点、大小和方向三个要素起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段。管大小和方向相同，也是不同的有向线段。三、平行（共线）向量与平行线段、共线线段的区别：三、平行（共线）向量与平行线段、共线线段的区别：（1）平行）平行（共线）（共线）向量可以在同一直线上，但两平行线段肯向量可以在同一直线上，但两平行线段肯定不在同一直线上；定不在同一直线上；（2）共线）共线（共线）（共线）向量可以相互平行，在同一直线上的线段向
4、量可以相互平行，在同一直线上的线段肯定不相互平行。肯定不相互平行。正因为如此，我们研究的向量是正因为如此，我们研究的向量是与起点无关与起点无关的的自由向量自由向量,即任即任何向量可以在不改变它的大小和方向的前提下何向量可以在不改变它的大小和方向的前提下,移到任何位置移到任何位置.2022-10-20高一数学专用课件 两个实数可以相加，从而给数赋予了新两个实数可以相加，从而给数赋予了新的内涵的内涵.如果向量仅停留在概念的层面上，如果向量仅停留在概念的层面上，那是没有多大意义的那是没有多大意义的.我们希望两个我们希望两个向量也能相加，拓展向量的数学意义，提向量也能相加，拓展向量的数学意义，提升向量
5、的理论价值，这就需要建立相关的升向量的理论价值，这就需要建立相关的原理和法则原理和法则.2022-10-20高一数学专用课件 由于大陆和台湾没有直航，因此2006年春节探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，则飞机的位移是多少?上海台北香港abc上海 台北 香港 CAB1 1、位移、位移ABBCAC 2022-10-20高一数学专用课件OFEGEGABEOCF1F2FGOCF1F2F为F1与F2的合力它们之间有什么关系F1+F2=F2022-10-20高一数学专用课件CAB2、位移.力的合成F1F2F数的加法启发我们,从运算的角度看,AC可以认为是AB与BC的和,F可以认为是F1与F2的
6、和,即位移,力的合成可看作向量的加法.2022-10-20高一数学专用课件如图，某人从点A到点B，再从点B改变方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？A BCACBCAB 上述分析表明，位移的合成可看作是向量的加法。探究一：向量加法的几何运算法则探究一：向量加法的几何运算法则 向量加法的三角形法则：向量加法的三角形法则：abba abCAB,abAABa BCbACabababABBCAC 、内点，则与，记 则 这称为 已知非零向量在平面任取一作 已知非零向量在平面任取一作向量叫做的和作即向量叫做的和作即种求向量和种求向量和向量加法的三角向量加法的三角方法，方法，形法形法
7、的。的。首尾连首尾连首尾相接首尾相接尝试练习一：尝试练习一：ACABCDE_ABBC _BCCD _ABBCCD BD AD（1）根据图示填空：）根据图示填空：_ABBCCDDE AE 例例1.如图，已知向量如图，已知向量 ，求作向量，求作向量 。,a b abab 则则 OBab OABaba 三角形法则三角形法则作法作法1：在平面内任取一点：在平面内任取一点O，作作 ，OAa ABb b例题讲解：例题讲解：2022-10-20高一数学专用课件 当向量当向量 不共线时，和向量的长度不共线时，和向量的长度 与向量与向量 的长度和的长度和 之间的大小关系如何？之间的大小关系如何？a b、|aba
8、b、|ababab三角形的两边之和大于第三边三角形的两边之和大于第三边|ababab 当向量、不共线时有2022-10-20高一数学专用课件思考思考1：如图，当在数轴上两个向量：如图，当在数轴上两个向量共线共线时，加法的时，加法的三角形三角形法法 则则是否还适用？如何作出两个向量的和？是否还适用？如何作出两个向量的和？abab（1）（2）|ababab 若，方向相同，则ABCBCAabab00aaa规 定：|abababba 若，方向相反，则（或）2022-10-20高一数学专用课件 当向量当向量 不共线时，和向量的长度不共线时，和向量的长度 与向量与向量 的长度和的长度和 之间的大小关系如何
9、？之间的大小关系如何？a b、|abab、|ababab三角形的两边之和大于第三边三角形的两边之和大于第三边|ababab 当向量、不共线时有综合以上探究我们可得结论：|abab2022-10-20高一数学专用课件OFEGEGABEOCF1F2FGOCF1F2F为F1与F2的合力它们之间有什么关系F1+F2=F2022-10-20高一数学专用课件 图图1 1表示橡皮条在两个力表示橡皮条在两个力F F1 1和和F F2 2的作用下，沿的作用下，沿MCMC方向方向伸长了伸长了EOEO；图；图2 2表示橡皮条在一个力表示橡皮条在一个力F F的作用下，沿相同的作用下，沿相同方向伸长了相同长度方向伸长了
10、相同长度EOEO。从力学的观点分析，力。从力学的观点分析，力F F与与F F1 1、F F2 2之间的关系如何？之间的关系如何？F=FF=F1 1+F+F2 2F2F1FOABCabba ,Oa bOACBOOCaabbabOAOBOC 点 为点两个为邻边则为点对线与 这平行四边则称为 以同一起的已知向量 、作,以同一起的已知向量 、作,以起的角就是 的和即以起的角就是 的和即向量加法的向量加法的种求向量和的方法，种求向量和的方法，形法形法。起点相同起点相同向量加法的平行四边形法则：向量加法的平行四边形法则：OABCabba 起点相同起点相同向量加法的平行四边形法则：向量加法的平行四边形法则：
11、文字表述为：以同一起点的两个向量为邻边作平行文字表述为：以同一起点的两个向量为邻边作平行四边形，则以公共起点为起点的对角线所对应向量就是四边形，则以公共起点为起点的对角线所对应向量就是和向量。和向量。例例1.如图，已知向量如图，已知向量 ，求作向量，求作向量 。,a b ababO例题讲解：例题讲解：作法作法2：在平面内任取一点：在平面内任取一点O，作作 ，OAa OBb OAOB、以以 为邻边作为邻边作 OACB ，.OCOAOBab 连结连结OC，则，则abba BCA平行四边形法则平行四边形法则尝试练习二：尝试练习二：(3)(3)已知向量已知向量 ，用向量加法的，用向量加法的三角形法则三
12、角形法则和和平行四边形平行四边形法则作出法则作出a b 、ab abbba2022-10-20高一数学专用课件思考思考2:数的加法满足交换律和结合律，即对任意数的加法满足交换律和结合律，即对任意 ，有有,a bR,abba()().abcabc 那么对任意向量那么对任意向量 的加法是否也满足交换律和结合律？的加法是否也满足交换律和结合律？请画图进行探索。请画图进行探索。,a b OABCabba abba abccb cba ACDabba()().a b c a b c 2022-10-20高一数学专用课件例例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，长江两岸之间没有大桥的地方，
13、常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以点出发，以 km/h的速度向的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。角来表示）。2 3ADBC,ADABADABABCDAC 图，、为邻边则实际.解解：（1 1）如如所所示示表表示示船船速速表表示示水水速速以以作作表表示示 船船
14、航航行行的的速速度度2022-10-20高一数学专用课件例例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以点出发，以 km/h的速度向的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。角来表示）。2 3
15、(2)|2,|2 3RtABCABBC 解：在中，2222|2(23)4 ACABBC 2 3tan32CAB60.CAB答：船实际航行速度为答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为方向与水的流速间的夹角为60。ADBC2022-10-20高一数学专用课件（1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？（2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？思考思考：如设如设,x yR xy()xy 实数实数 的相反数记作的相反数记作 。aa如何定义向量的减法运算呢？如何定义向量的减法运算呢？向量的减法运算及其
16、几何意义向量的减法运算及其几何意义回顾：回顾：2022-10-20高一数学专用课件一、相反向量：一、相反向量：规定：规定：设向量设向量 ，我们把与，我们把与 长度相同，方向相反长度相同，方向相反aa的向量叫做的向量叫做 的相反向量。的相反向量。a（1）()a（3）设）设 互为相反向量，那么互为相反向量，那么,a b,0ab ba ab 2.2.2 向量的减法运算及其几何意义向量的减法运算及其几何意义记作：记作：a的相反向量仍是的相反向量仍是 。00二、向量的减法：二、向量的减法：()abab（2）()aa()aaa002022-10-20高一数学专用课件BACab设设,AB b AC a DE
17、b()AEab 又又b BC a 所以所以BCa b a baba b你能利用我们学过的向量的加法法则作出你能利用我们学过的向量的加法法则作出 吗？吗？()ab 不借助向量的加法法则你能直接作出不借助向量的加法法则你能直接作出 吗？吗？a b2022-10-20高一数学专用课件三、几何意义：三、几何意义：可以表示为从向量可以表示为从向量 的终点指向向量的终点指向向量 的终点的向量的终点的向量ba b a（1）如果从）如果从 的终点指向的终点指向 终点作向量，所得向量是什么呢？终点作向量，所得向量是什么呢？ab（2）当）当 ，共线时，怎样作共线时，怎样作 呢？呢？ababABOABOaOA bO
18、B abBA 注意：注意：（1）起点必须相同起点必须相同。（。（2）指向）指向被减向量被减向量的终点。的终点。ba一般地一般地abBabbAO（三角形法则）（三角形法则）a练习：练习：(1)ABAD(3)BCBA (2)BABC (4)OD OA(5)OA OB DB CA ACADBA 2022-10-20高一数学专用课件三、几何意义三、几何意义注意：注意：（1）起点必须相同。（）起点必须相同。（2）指向）指向被减向量被减向量的终点。的终点。一般地一般地abBabbAO 可以表示为从向量可以表示为从向量 的终点指向向量的终点指向向量 的终点的向量的终点的向量ba b a练习：练习：(1)AB
19、AD(3)BCBA (2)BABC (4)OD OA(6)AO BO(5)OA OB DB CA ACADAB BA 2022-10-20高一数学专用课件已知向量已知向量 ，求作向量，求作向量 ，。ab例例3,a b c d cd abcd OBACDabd c作法：作法：在平面内任取一点在平面内任取一点O，,OA a,OB b ,OC c ,OD d 则则BAab DCcd 作作注意：注意：起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。a b c d 2022-10-20高一数学专用课件练习：练习：ab已知向量已知向量 ，求作向量，求作向量 。ab,a b（
20、1）（2）ab（3）（4）abbaa b a b a b a b 2022-10-20高一数学专用课件例例4 在在 ABCD 中中，,ABa,ADb你能用你能用 表示表示 吗？吗？,AC DB DBACabACa b DBa b ,ab变式一变式一 本例中，当本例中，当 满足什么条件时，满足什么条件时，与与 互相垂直？互相垂直？,abababab变式二变式二 本例中，当本例中，当 满足什么条件时，满足什么条件时，,ab?ababab与 互相垂直2022-10-20高一数学专用课件巩固练习：巩固练习：1 1、在、在 中，中，则，则ABCBCa CAb AB a b bc ab2 2、如图，用、如图，用 表示下列向量：表示下列向量：a b c ，DBACEabcg fd e(1)e g (2)f d (3)d g ab c BACab2022-10-20高一数学专用课件)+=+=+abba(ab)ca(bc2022-10-20高一数学专用课件向量的减法向量的减法一、定义（利用向量的加法定义）。一、定义（利用向量的加法定义）。二、几何意义（二、几何意义（起点相同起点相同，由减向量的终点，由减向量的终点 指向指向被减向量被减向量的终点）。的终点）。
