1、 1 几何综合几何综合 东城区东城区 27. 已知 ABC 中， AD 是的平分线， 且 AD=AB， 过点 C 作 AD 的垂线， 交 AD 的延长线于点 H （1）如图 1，若 直接写出B和ACB的度数； 若 AB=2，求 AC 和 AH 的长； （2）如图 2，用等式表示线段 AH 与 AB+AC 之间的数量关系，并证明 BAC 60BAC 2 27. （1）75B，45ACB；-2 分 作 DEAC 交 AC 于点 E. RtADE 中，由30DAC，AD=2 可得 DE=1， AE3. RtCDE 中，由45ACD，DE=1，可得 EC=1. AC31. RtACH 中，由30DAC
2、，可得 AH 33 2 ； -4 分 （2）线段 AH 与 AB+AC 之间的数量关系：2AH=AB+AC 证明： 延长 AB 和 CH 交于点 F，取 BF 中点 G，连接 GH. 易证ACH AFH. ACAF,HCHF. GHBC. ABAD， ABDADB . AGHAHG . AGAH. 2222ABACABAFABBFABBGAGAH. -7 分 西城区西城区 27正方形ABCD的边长为2，将射线AB绕点A顺时针旋转，所得射线与线段 BD交于点M， 作C EA M于点E， 点N与点M关于直线CE对称， 连接CN （1）如图，当0 45 时， 依题意补全图 用等式表示 NCE与BAM
3、之间的数量关系：_ （2）当45 90 时，探究NCE与BAM之间的数量关系并加以证明 （3）当0 90 时，若边AD的中点为F，直接写出线段EF长的最大值 3 【解析】（1）补全的图形如图所示： 2NCEBAM （2） 1 90 2 MCEBAM， 连接CM， DAMDCM ， DAQECQ ， 2NCEMCEDAQ ， 1 2 DCMNCE ， CD B A 图1 备用图 CD B A M N E M A B DC N Q M A B D C E 4 BAMBCM ， 90BCMDCM ， 1 90 2 NCEBAM （3）90CEA， 点E在以AC为直径的圆上， max 12EFFOr
4、海淀海淀区区 27 如图， 已知60AOB， 点P为射线OA上的一个动点， 过点P作PEOB， 交OB于点E，点D在AOB内，且满足DPAOPE，6DPPE. （1）当DPPE时，求DE的长； （2）在点P的运动过程中，请判断是否存在一个定点M，使得 DM ME 的值不变？ 并证明你的判断. 2 2 1 F O E B A OE D P F D E O B A P 5 27.解： （1）作PFDE交DE于F. PEBO，60AOB， 30OPE. 30DPAOPE. 120EPD. 1 分 DPPE,6DPPE, 30PDE,3PDPE. 3 cos303 2 DFPD. 23 3DEDF.
5、3 分 （2）当M点在射线OA上且满足2 3OM 时， DM ME 的值不变，始终为 1.理由 如下： 4 分 当点P与点M不重合时，延长EP到K使得PKPD. ,DPAOPEOPEKPA, KPADPA . KPMDPM . PKPD,PM是公共边, KPMDPM. MKMD. 5 分 作MLOE于L,MNEK于N. 2 3,60MOMOL， sin603MLMO. 6 分 PEBO,MLOE,MNEK， 四边形MNEL为矩形. 3ENML. 6EKPEPKPEPD, ENNK. MNEK, MKME. L N M D K E O B A P 6 MEMKMD,即1 DM ME . 当点P与
6、点M重合时，由上过程可知结论成立. 7 分 丰台丰台区区 27 如图， Rt ABC 中， ACB = 90 ， CA = CB， 过点 C 在 ABC 外作射线 CE， 且BCE = ，点 B 关于 CE 的对称点为点 D，连接 AD，BD，CD，其中 AD， BD 分别交射线 CE 于点 M，N. （1）依题意补全图形； （2）当= 30 时，直接写出CMA 的度数； （3）当 0 45 时，用等式表示线段 AM，CN 之间的数量关系，并证明 27解：（1）如图； 1 分 （2）45 ； 2 分 （3）结论：AM=2CN 3 分 证明：作 AGEC 的延长线于点 G 点 B 与点 D 关于
7、 CE 对称， CE 是 BD 的垂直平分线 CB=CD 1=2= CA=CB，CA=CD3=CAD 4=90 ， AB C E 7 8 7 6 5 4 3 2 1 G N M D A C E B 3= （180 ACD） = （180 90） =45 5=2+3=+45 -=45 5 分 4=90 ，CE 是 BD 的垂直平分线， 1+7=90 ，1+6=90 6=7 AGEC， G=90 =8 在 BCN 和 CAG 中， 8=G， 7=6， BC=CA， BCNCAG CN=AG Rt AMG 中，G=90 ，5=45 ， AM=2AG AM=2CN 7 分 （其他证法相应给分.） 石景
8、山区石景山区 27在正方形 ABCD 中，M 是 BC 边上一点，点 P 在射线 AM 上，将线段 AP 绕 点 A 顺时针旋转90得到线段 AQ，连接 BP，DQ （1）依题意补全图 1； （2） 连接DP， 若点 P， Q， D 恰好在同一条直线上， 求证： 222 2DPDQAB； 若点 P， Q， C 恰好在同一条直线上， 则 BP与AB的数量关系为： 1 2 1 2 8 27（1） 补全图形如图 1. 1 分 （2）证明： 连接BD，如图 2， 线段AP绕点A顺时针旋转 90 得到线段AQ， AQAP，90QAP 四边形ABCD是正方形， ADAB，90DAB 12 Q BA DC
9、M P 图 1 3 2 1 Q BA C D M P 图 2 9 ADQ ABP 3 分 DQBP，3Q 在Rt QAP中，90QQPA， 390BPDQPA 在Rt BPD中， 222 DPBPBD， 又DQBP， 22 2BDAB， 222 2DPDQAB 5 分 BPAB 7 分 证明：过点 A 作 AEPQ 于 E ，连接 BE AC AE 是 PAQ 的垂线 三 PAQ 是等腰直角三角形（已证） AE 是等腰直角三角形 PAQ 的垂线，角平分线 AEP=90 ，AE=PE 正方形 ABCD ABC=90 ACB=BAC=45 AEP+ABC=180 A ，B，C，E 四点共圆 AEB
10、=ACB=45 ，CEB=BAC=45 AEB=CEB=45 BE=BE ABEPBE (SAS) BP=AB 10 朝阳区朝阳区 27. 如图，在菱形 ABCD 中，DAB=60，点 E 为 AB 边上一动点（与点 A，B 不重合）， 连接 CE，将ACE 的两边所在射线 CE，CA 以点 C 为中心，顺时针旋转 120，分别交射线 AD 于点 F，G. （1）依题意补全图形； （2）若ACE=，求AFC 的大小（用含的式子表示）； （3）用等式表示线段 AE、AF 与 CG 之间的数量关系，并证明 27.（1）补全的图形如图所示. 11 1 分 （2）解：由题意可知，ECF=ACG=120
11、 . FCG=ACE=. 四边形 ABCD 是菱形，DAB=60 ， DAC=BAC= 30 . 2 分 AGC=30 . AFC =+30 . 3 分 （3）用等式表示线段 AE、AF 与 CG 之间的数量关系为CGAFAE3. 证明：作 CHAG 于点 H. 由（2）可知BAC=DAC=AGC=30 . CA=CG. 5 分 HG = 2 1 AG. ACE =GCF，CAE =CGF， ACEGCF. 6 分 AE =FG. 在 RtHCG 中， . 2 3 cosCGCGHCGHG AG =3CG. 7 分 即 AF+AE=3CG. 12 燕山燕山区区 27如图，抛物线)0( 2 ac
12、bxaxy的顶点为 M ，直线 y=m 与抛物线交于 点 A，B ，若AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上 A，B 两点之间的部 分与线段 AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段 AB 称为碟宽，顶点 M 称为碟顶 (1)由定义知，取 AB 中点 N，连结 MN，MN 与 AB 的关系是 (2)抛物线 2 2 1 xy 对应的准蝶形必经过B(m，m),则m= ，对应的碟宽AB 是 (3)抛物线)0( 3 5 4 2 aaaxy对应的碟宽在 x 轴上，且 AB=6. 求抛物线的解析式； 在此抛物线的对称轴上是否有这样的点 P（ p x， p y），使得 APB 为锐角，若有，请求出
13、p y的取值范围.若没有，请说明理由. , y=m o y x M BA 准蝶形准蝶形AMB A B M 1 O x y 13 备 用图 27.解：(1)MN 与 AB 的关系是 MNAB，MN= 2 1AB 2 （2） m= 2 对应的碟宽是 4 4 (3) 由已知，抛物线必过（3，0），代入)0( 3 5 4 2 aaaxy 得，0 3 5 49 aa 3 1 a 抛物线的解析式是3 3 1 2 xy 5 由知，3 3 1 2 xy 的对称轴上 P（0，3），P（0，-3）时， APB 为直角， 在此抛物线的对称轴上有这样的点 P，使得APB 为锐角， p y的取值范围是33 pp yy或
14、 7 门头沟区门头沟区 27. 如图， 在ABC中， AB=AC，2A， 点 D 是 BC 的中点，DEABE于点， DFACF于点. （1）EDB_；（用含的式子表示） （2）作射线 DM 与边 AB 交于点 M，射线 DM 绕点 D 顺时针旋转1802， 与 AC 边交于点 N F FE E D D C CB B A A 14 根据条件补全图形； 写出 DM 与 DN 的数量关系并证明； 用等式表示线段BMCN、与BC之间的数量关系， （用含的锐角三角函数表示）并写出解题思路. 27（本小题满分（本小题满分 7 分）分） （1） EDB 1 分 （2）补全图形正确 2 分 数量关系：DMD
15、N3 分 ,ABAC BDDC DA 平分BAC DEABE于点，DFACF于点 DEDF ， MEDNFD 4 分 2A 1802EDF 1802MDN MDENDF MDENDF 5 分 DMDN 数量关系：sinBMCNBC6 分 证明思路： a.由MDENDF可得EMFN b. 由ABAC可得BC ,进而通过BDECDF,可得BECF 进而得到2BEBMCN c.过BDERt可得sin BE BD ,最终得到 sinBMCNBC 7 分 F FE E D D C CB B A A M M N N 15 大兴大兴区区 27如图，在等腰直角ABC 中，CAB=90， F 是 AB 边上一点
16、，作射线 CF， 过点 B 作 BGCF 于点 G，连接 AG （1）求证：ABG=ACF； （2）用等式表示线段 C CG，AG，BG 之间 的等量关系，并证明 27.（1）证明 : CAB=90. BGCF 于点 G， BGF=CAB=90 . GFB= CFA. 1 分 ABG=ACF. 2 分 （2）CG=2AG+BG. 3 分 证明：在 CG 上截取 CH=BG，连接 AH， 4 分 ABC 是等腰直角三角形， CAB=90，AB=AC. ABG=ACH. ABGACH. 5 分 AG =AH,GAB=HAC. GAH=90. 16 222 AGAHGH. GH=2AG. 6 分 C
17、G=CH+GH=2AG+BG. 7 分 平谷区平谷区 27在ABC 中，AB=AC，CDBC 于点 C，交ABC 的平分线于点 D，AE 平 分BAC 交 BD 于点 E，过点 E 作 EFBC 交 AC 于点 F，连接 DF （1）补全图 1； （2）如图 1，当BAC=90时， 求证：BE=DE； 写出判断 DF 与 AB 的位置关系的思路（不用写出证明过程）； （3）如图 2，当BAC= 时，直接写出 ，DF，AE 的关系 27解：（1）补全图 1； 1 D FE A B C 图 1 D E A B C E D B C A 图 2 G D FE A H B C 17 （2）延长 AE，交
18、 BC 于点 H 2 AB=AC， AE 平分BAC， AHBC 于 H，BH=HC CDBC 于点 C， EHCD BE=DE 3 延长 FE，交 AB 于点 G 由 AB=AC，得ABC=ACB 由 EFBC，得AGF=AFG 得 AG=AF 由等腰三角形三线合一得 GE=EF 4 由GEB=FED，可证BEGDEF 可得ABE=FDE 5 从而可证得 DFAB 6 （3）tan 2 DF AE 7 怀柔区怀柔区 27.如图，在 ABC 中，A=90 ，AB=AC，点 D 是 BC 上任意一点，将线段 AD 绕点 A 逆时针方向旋转 90 ，得到线段 AE，连结 EC. (1)依题意补全图
19、形； (2)求ECD 的度数； (3)若CAE=7.5 ，AD=1，将射线 DA 绕点 D 顺时针旋转 60 交 EC 的延长线于 点 F，请写出求 AF 长的思路 F E D B C A 18 27. (1)如图 1 分 (2) 线段 AD 绕点 A 逆时针方向旋转 90 ，得到线段 AE. DAE=90 ，AD=AE. DAC+CAE =90 . BAC=90 , BAD+DAC =90 . BAD=CAE . 2 分 又AB=AC, ABDACE. B=ACE. ABC 中，A=90 ，AB=AC, B=ACB=ACE=45 . ECD=ACB+ACE=90 . 4 分 (3).连接 D
20、E,由于 ADE 为等腰直角三角形，所以可求 DE= ；5 分 19 .由ADF=60 ,CAE=7.5 ，可求EDC 的度数和CDF 的度数，从而可知 DF 的长； 6 分 .过点 A 作 AHDF 于点 H， 在 Rt ADH 中, 由ADF=60 ， AD=1 可求 AH、 DH 的长； . 由 DF、DH 的长可求 HF 的长； . 在 Rt AHF 中, 由 AH 和 HF,利用勾股定理可求 AF 的 长7 分 延庆区延庆区 27如图 1，正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 延长线上一点，连接 DE，过点 B 作 BFDE 于点 F，连接 FC （1）求证：FBC=CDF （2）
21、作点 C 关于直线 DE 的对称点 G，连接 CG，FG 依据题意补全图形； 用等式表示线段 DF，BF，CG 之间的数量关系并加以证明 20 27.（1）证明：四边形 ABCD 是正方形， DCB =90 CDF+E =90 BFDE， FBC+E =90 FBC =CDF 2 分 （2） 3 分 猜想：数量关系为：BF=DF+CG 证明：在 BF 上取点 M 使得 BM=DF 连接 CM 四边形 ABCD 是正方形， BC=DC FBC =CDF，BM=DF， BMCDFC CM=CF，1=2 MCF 是等腰直角三角形 MCF =90 ，4=45 5 分 点 C 与点 G 关于直线 DE
22、对称， 图 1 21 CF=GF，5=6 BFDE，4=45 ， 5=45 ， CFG =90 ， CFG=MCF， CMGF CM=CF，CF=GF， CM=GF， 四边形 CGFM 是平行四边形， CG=MF BF=DF+CG 7 分 顺义区顺义区 27. 如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 边上一点，连接 AE，延长 CB 至点 F， 使 BF=BE， 过点 F 作 FHAE 于点 H， 射线 FH 分别交 AB、CD 于点 M、N， 交对角线 AC 于点 P，连接 AF （1）依题意补全图形； （2）求证：FAC=APF； （3）判断线段 FM 与 PN 的数量关系，并加以证明
23、 27（1）补全图如图所示 1 分 （2）证明正方形 ABCD， BAC=BCA=45，ABC=90， PAH=45-BAE M H P N F DA C BE 22 FHAE APF=45+BAE BF=BE， AF=AE，BAF=BAE FAC=45+BAF FAC=APF 4 分 （3）判断：FM=PN 5 分 证明：过 B 作 BQMN 交 CD 于点 Q， MN=BQ，BQAE 正方形 ABCD， AB=BC，ABC=BCD=90 BAE=CBQ ABEBCQ AE=BQ AE=MN FAC=APF， AF=FP AF=AE， AE=FP FP=MN FM=PN8 分 Q M H P N F DA C BE
