1、流体动力学基础流体动力学基础 雷诺输运定理雷诺输运定理运动微分方程运动微分方程伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用系统与控制体系统与控制体动量方程动量方程连续方程式连续方程式微分方程的求解微分方程的求解角动量方程角动量方程能量方程能量方程引言 Introduction 流体动力学流体动力学研究流体在外力作用下的运动规律研究流体在外力作用下的运动规律，即，即流体的运动参数与所受力之间的关系流体的运动参数与所受力之间的关系。本章主要介绍流体动力学的基本知识，推导出流本章主要介绍流体动力学的基本知识，推导出流体动力学中的几个重要的基本方程：体动力学中的几个重要的基本方程：连续性方程、连续性方程、动量
2、方程和能量方程动量方程和能量方程，这些方程是分析流体流动问，这些方程是分析流体流动问题的基础，题的基础，与工程流体力学的各部分均有一定的关与工程流体力学的各部分均有一定的关联，因而本章是整个课程的重点。联，因而本章是整个课程的重点。简单地说，就是简单地说，就是三大守恒定律：质量，动量，三大守恒定律：质量，动量，能量守恒在流体力学中的体现形式能量守恒在流体力学中的体现形式三大守恒定律三大守恒定律质量守恒动量守恒能量守恒连续方程能量方程动量方程动力学三大方程动力学三大方程推推广广到到流流体体中中4-1 系统与控制体 System and Control Volume系统系统(体系体系)工程热力学闭
3、口系统或开口系统理论力学质点、质点系和刚体研研究究对对象象系统系统(质量体质量体)在流体力学中，系统是指由在流体力学中，系统是指由确定的流体质点所组成的流确定的流体质点所组成的流体团体团。如图所示。如图所示。系统以外的一切统称为系统以外的一切统称为外界外界。系统和外界分开的真实或假象的表面称为系统和外界分开的真实或假象的表面称为系统的边界系统的边界。ADBC 系统 定义：定义：Lagrange 方法！(1)一定质量的流体质点的合集一定质量的流体质点的合集(2)系统的边界随流体一起运动，系统的边界随流体一起运动，系统的体积、边界面的系统的体积、边界面的形状和大小形状和大小可以随时间变化。可以随时
4、间变化。(3)系统的边界处系统的边界处没有质量交换没有质量交换，即没有流，即没有流 体流进或流出体流进或流出系统的边界。系统的边界。(4)在系统的边界上受到外界作用在系统上的在系统的边界上受到外界作用在系统上的表面力表面力。(5)在系统的边界上可以在系统的边界上可以有能量交换有能量交换，即可以有能量输入，即可以有能量输入或输出系统的边界。或输出系统的边界。特点：特点：多数流体力学实际问题中，对个别流体质点或流体团的运动及其属性并不关心，而更关心流体对流场中的物体或空间中某体积的作用和影响。系 统拉格朗日观点应采用欧拉观点处理上述问题！应采用欧拉观点处理上述问题！控制体的边界面称为控制面。它总是
5、封闭表面。控制体的边界面称为控制面。它总是封闭表面。定义：定义：相对于某个坐标系来说，有流体流过的固相对于某个坐标系来说，有流体流过的固定不变的任何空间的体积称为控制体。定不变的任何空间的体积称为控制体。控制体控制体(开系统开系统)Euler 方法！控制面的几何外形和体积是控制面的几何外形和体积是相对流动情况和边界相对流动情况和边界条件选定的条件选定的 控制面控制面相对于坐标系是固定的相对于坐标系是固定的。在控制面上可以有在控制面上可以有质量交换质量交换，即可以有流体流进，即可以有流体流进或流出控制面。或流出控制面。在控制面上受到控制体以外物体施加在控制体内在控制面上受到控制体以外物体施加在控
6、制体内流体上的力流体上的力(动量交换）动量交换）。在控制面上可以有在控制面上可以有能量交换能量交换，即可以有能量输入，即可以有能量输入或输出控制面。或输出控制面。控制面的特点：控制面的特点：xyzIIoII zxynvnvoIIIIt t时刻时刻t+t+t t时刻时刻系统系统控制体控制体定义：控制体内某物理量的总和随时间的增长率称为定义：控制体内某物理量的总和随时间的增长率称为局部导数局部导数定义：质量体内某物理量的总和随时间的增长率称为定义：质量体内某物理量的总和随时间的增长率称为随体导数随体导数随体导数局部导数质量体控制体经典定理应用方便研究实际问题方便输运公式随体导数和局部导数随体导数和
7、局部导数4-2雷诺输运定理 Reynolds Transport Equation 回忆：回忆：物质导数是反映流体质点某一物理量对时间的物质导数是反映流体质点某一物理量对时间的变化率，即观察者随流体质点一起运动时看到的物理量变变化率，即观察者随流体质点一起运动时看到的物理量变化率。也可称为质点导数或随体导数。化率。也可称为质点导数或随体导数。DVDtVt()VV=+流体质点的物质导数的欧拉变量表达式：流体质点的物质导数的欧拉变量表达式：借助借助雷诺输运定理雷诺输运定理如何用欧拉变量表达式来表示如何用欧拉变量表达式来表示对系统体积分的物质导数？对系统体积分的物质导数？定理：任意时刻，质量体内物理
8、量的定理：任意时刻，质量体内物理量的随体导数随体导数等于该时刻等于该时刻形状、体积相同的控制体内物理量的形状、体积相同的控制体内物理量的局部导数局部导数与通过该控与通过该控制体表面的制体表面的输运量输运量之和。之和。*0()DtCVCSt tdBdVBdvBdAdttV n*()D tCVBn质量体控制体任一物理量控制体表面外法向单位向量雷诺输运定理雷诺输运定理II zxynvnvoIIII将将拉格朗日法拉格朗日法求系统内物理求系统内物理量的时间变化率转换为按量的时间变化率转换为按欧欧拉法拉法去计算的公式去计算的公式推导过程：推导过程：符号说明符号说明B:t时刻该系统内流体所时刻该系统内流体所
9、具有的某种物理量（如具有的某种物理量（如质量、动量等）质量、动量等）:单位质量流体所具有的单位质量流体所具有的物理量物理量系统所占有系统所占有的空间体积的空间体积控制体所占有控制体所占有的空间体积的空间体积t时刻时刻t+t时刻时刻IIII+IIIIIII+I雷诺输运定理雷诺输运定理00limlimIIIIttttIIIIttttdVdVdBdttdVdVtII zxynvnvoIIII0limVVttttVdVdVdBddVdtdttV=II+III,V=II+It0,II IIII zxynvnvoIIII0limIIIItttdVdVttdVt220limcosIIIttdVnttCSCS
10、vdAv dA110limcosItdVnttCSCSvdAv dA nCVCSCVCSdBdVv dAdVv n dAdtttII zxynvnvoIIII第一项就是控制体内的当地时间变化率第一项就是控制体内的当地时间变化率第二项是第二项是t时间内，流体通过控制面随着流体流入而时间内，流体通过控制面随着流体流入而带进来的相应物理量除以带进来的相应物理量除以t第二项是第二项是t时间内，流体通过控制面随时间内，流体通过控制面随着流体流出而带出去的相应物理量除以着流体流出而带出去的相应物理量除以tCVCSdBdVv n dAdtt控制体内物理控制体内物理量的变化率量的变化率流进流出控流进流出控制体
11、的净流制体的净流通量通量物理量物理量的总导的总导数数Reynolds输运定理表明，某个瞬间时刻，以某个控输运定理表明，某个瞬间时刻，以某个控制体作为体系的系统中，某物理量的总量，其随流制体作为体系的系统中，某物理量的总量，其随流导数等于控制体内的该总量的当地时间变化率，加导数等于控制体内的该总量的当地时间变化率，加上从控制面上净输出的该物理量的通量。上从控制面上净输出的该物理量的通量。推导：推导：另一种证明另一种证明 把一个有限体积内流体的把一个有限体积内流体的质点导数转化为质点导数转化为Euler描描述下的控制体导数述下的控制体导数 提供了一个提供了一个Lagrange描述的描述的质点力学向
12、质点力学向Euler描述描述的流体力学的流体力学转换的桥梁转换的桥梁系统内部的系统内部的某一物理量的时间变化率是由两部分某一物理量的时间变化率是由两部分组成组成，等于，等于控制体内的该物理量的时间变化率加控制体内的该物理量的时间变化率加上单位时间内通过控制面的该物理量的净通量上单位时间内通过控制面的该物理量的净通量。雷诺输运定理的作用雷诺输运定理的作用 在在定常流动定常流动条件下，有条件下，有 也就是说，系统内物理量的变化只与也就是说，系统内物理量的变化只与通过通过控制面的流动控制面的流动有关，而与控制内的流动无关有关，而与控制内的流动无关。大大简化了研究内容。大大简化了研究内容。*0()Dt
13、cst tdBdVBdAdtV n4-3连续性方程 Continuity Equationn当流体经过流场中某一任意指定的空间封闭曲面时，当流体经过流场中某一任意指定的空间封闭曲面时，可以断定：可以断定：1.若在某一定时间内，流出的流体质量和流入的流体质量不相若在某一定时间内，流出的流体质量和流入的流体质量不相等时，则这封闭曲面内一定会有等时，则这封闭曲面内一定会有流体密度的变化流体密度的变化，以便使流，以便使流体仍然充满整个封闭曲面内的空间；体仍然充满整个封闭曲面内的空间；n 连续性方程是连续性方程是质量守恒定律质量守恒定律在流体力学中的应用。在流体力学中的应用。n前提：流体是前提：流体是连
14、续介质连续介质，它在流动时连续地充满，它在流动时连续地充满整个流场。整个流场。2.如果流体是不可压缩的，则如果流体是不可压缩的，则流出的流体质量必然等于流出的流体质量必然等于流入的流体质量。流入的流体质量。n上述结论可以用上述结论可以用数学方程式数学方程式来表达，称为连续来表达，称为连续性方程。性方程。由哈维发现的人体血液循环理论是流体连续性由哈维发现的人体血液循环理论是流体连续性原理的例证：原理的例证：动脉系统动脉系统毛细管系统毛细管系统静脉系统静脉系统心脏心脏雷诺输运公式可用于雷诺输运公式可用于任何分布函数任何分布函数B，如密度分布、动量分，如密度分布、动量分布、能量分布等。布、能量分布等
15、。令令1，由系统的质量不变可得连续性方程，由系统的质量不变可得连续性方程积分形式的连续性方程积分形式的连续性方程CVDdVDtCVCSdVdA0tv n由流体系统满足质量守恒得，由流体系统满足质量守恒得，0sysDMDdVDtDt系统质量变化率系统质量变化率流出控制体的质量流率流出控制体的质量流率控制体内质量变化率控制体内质量变化率CVDdVDtCVCSdVdA0tv n上式表明：通过上式表明：通过控制面净流出的质量流量控制面净流出的质量流量等于控等于控制体内制体内流体质量随时间的减少率流体质量随时间的减少率。在推导上式的时候，在推导上式的时候，未作任何假设未作任何假设，因此只要满，因此只要满
16、足连续性假设，上式总是成立的足连续性假设，上式总是成立的固定的控制体固定的控制体对固定的对固定的CVCV，积分形式的连续性方程可化为，积分形式的连续性方程可化为CSCV()dAdVtv n运动的控制体运动的控制体将控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，只将控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，只要将速度改成相对速度要将速度改成相对速度v vr r(CVCSdVdA0trvn)1、对于均质不可压流体：、对于均质不可压流体：=const可适用于均质不可压流体的定常及非定常流动！可适用于均质不可压流体的定常及非定常流动！连续方程的简化连续方程的简化连续方程简化为：连续方程简化为：0CVd
17、Vt00CSCSV n dAV n dA可适用于可压、不可压流体的定常流动！可适用于可压、不可压流体的定常流动！连续方程简化为：连续方程简化为：0CVdt 2、对于定常流动：、对于定常流动：0CSV ndS出、入口截面上的质流量大小为出、入口截面上的质流量大小为 设设A0inoutmVVdAVdA()()outinVAVAoutinmm 有多个出入口有多个出入口 一般式一般式3、沿流管的定常流动沿流管的定常流动设出入口截面上的体积流设出入口截面上的体积流量大小为量大小为QVA()()outin QQVAVAoutin4、沿流管的不可压缩流动沿流管的不可压缩流动 一般式一般式 有多个出入口有多个
18、出入口5、一维流一维流一维定常流一维定常流不可压不可压为什么河道窄的地方水流湍急？为什么河道窄的地方水流湍急？为什么水管捏扁了速度快？为什么水管捏扁了速度快？mQAVAV222111VQAVAV2211Ql+Q2=Q3Ql=Q2+Q3有汇流或分流的情况：有汇流或分流的情况：解题的一般方法和步骤解题的一般方法和步骤1.选取选取恰当的坐标系恰当的坐标系，使得在该坐标系中相对流动，使得在该坐标系中相对流动是定常的；是定常的；2.选取选取恰当的控制体恰当的控制体：控制体的界面上包括要求的未知量和尽可能多控制体的界面上包括要求的未知量和尽可能多的已知量；的已知量；一般可选固体壁面或流面作为控制面，使得在
19、一般可选固体壁面或流面作为控制面，使得在其上输运量为零或可求。其上输运量为零或可求。积分型守恒方程的应用积分型守恒方程的应用解题的一般方法和步骤解题的一般方法和步骤3.在控制面上物理量均匀分布，易求积分。在控制面上物理量均匀分布，易求积分。4.动量方程是矢量方程，三个坐标方向三个动量方程是矢量方程，三个坐标方向三个方程。方程。5.完整写出控制体上受外力，外力具有代数完整写出控制体上受外力，外力具有代数正负，与坐标方向一致为正。正负，与坐标方向一致为正。【4.3-14.3-1】所有管截面均为圆形所有管截面均为圆形,d1=2.5cm,d2=1.1cm,d3=0.7cm,d4=0.8cm,d5=2.
20、0cm,平均流量分别为平均流量分别为Q1=6 l/min,Q 3=0.07Q1,Q4=0.04Q1,Q 5=0.78Q1 求：求：Q2 及各管的平均速度及各管的平均速度【解】【解】取图中虚线所示控制体，有多个出取图中虚线所示控制体，有多个出入口。液按不可压缩流体处理入口。液按不可压缩流体处理 可得可得inoutQQQ1=Q 2+Q 3+Q 4+Q 5 Q2=Q 1(Q 3+Q 4+Q 5）=Q 1(0.07+0.04+0.78)Q =0.11Q1=0.66 l/min 各管的平均速度为各管的平均速度为20.4cm/s602.5100064422111dQVcm/s8.0600.8100060.
21、044422444dQV24.8cm/s602.0100060.784422555dQV18.2cm/s600.7100060.074422333dQV11.6cm/s601.110000.664422222dQV【例【例4.3-2】思考题思考题要使注射器稳定地以要使注射器稳定地以300cm3/min注射，问推进速度注射，问推进速度Vp=?已知已知 Ap=500mm2关键：关键：选控制体选控制体利用利用Gauss 公式来证明公式来证明ddDAVn aaDdAdVnaaDdAdVn微分形式的连续方程微分形式的连续方程 在流场内取一固定不动的平行六面体微元控制体，并建立在流场内取一固定不动的平行六
22、面体微元控制体，并建立合适的坐标系。合适的坐标系。选取适当的微元控制体选取适当的微元控制体分析系统（微元控制体）的流动、受力等情况分析系统（微元控制体）的流动、受力等情况 分析包括控制体内的物理量变化及受力，控制面上流入、分析包括控制体内的物理量变化及受力，控制面上流入、流出的物理量流率以及受力等，并注意各物理量的正负号。流出的物理量流率以及受力等，并注意各物理量的正负号。列出守恒方程列出守恒方程整理、简化整理、简化 如质量守恒方程、动量定理方程及能量守恒方程等。如质量守恒方程、动量定理方程及能量守恒方程等。微分形式的连续方程的推导二微分形式的连续方程的推导二 在流场的任意点处取微元六面体，如
23、图所示。六面体中在流场的任意点处取微元六面体，如图所示。六面体中的质量随空间和时间变化。的质量随空间和时间变化。udydzdxudydzxudydzxyzodxdzdy 连续方程示意图微分形式的连续方程的推导二微分形式的连续方程的推导二（1）空间变化）空间变化对于对于x轴方向，单位时间流入微元六面体的质量为轴方向，单位时间流入微元六面体的质量为流出的质量为流出的质量为X方向其质量增加为方向其质量增加为dydzuxdxxdydzudydzuxx)(dxxdydzux同样同样y、z 轴方向的质量增加分别为轴方向的质量增加分别为,yzu dxdzu dxdydydzyz（2）时间变化）时间变化 设任
24、意时刻微元六面体内的质量力为设任意时刻微元六面体内的质量力为 ，单位时，单位时间内变为间内变为 ，所以由于密度，所以由于密度 的变的变化单位时间内微元六面体内增加的质量为化单位时间内微元六面体内增加的质量为dxdydztdxdydzdxdydz。tdxdydz 微元控制体内流体质量增长率：微元控制体内流体质量增长率：tdxdydz（3）根据质量守恒定律）根据质量守恒定律 流体运动的连续方程式流体运动的连续方程式为：为：0dzzdxdyudyydxdzudxxdydzutdxdydzzyx0zuyuxutzyx0tV0zuyuxutzyx物理意义：物理意义：空间上流入流出质量的增加量空间上流入流
25、出质量的增加量应该等于应该等于由于密度由于密度变化而引起的质量增加量变化而引起的质量增加量。0tV连续方程两种形式：连续方程两种形式：()0DuvwDtxyz0DVDt 简化简化（1）定常压缩性流体，）定常压缩性流体，/t=0，则连续方程变为，则连续方程变为0;()()()0yxzvuuuxyz 适用范围：理想、实际、可压缩、不可压缩的恒定流。适用范围：理想、实际、可压缩、不可压缩的恒定流。（2）非压缩性流体，）非压缩性流体，常数，则连续方程变为常数，则连续方程变为 上式为不可压缩流体三维流动的连续性的方程。它的物理意上式为不可压缩流体三维流动的连续性的方程。它的物理意义是：义是：在同一时间内
26、通过流场中任一封闭表面的体积流量等在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零；于零；也就是说，在也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等积流量相等。0zuyuxuzyx上式三项之和为流体的体积变形率上式三项之和为流体的体积变形率(膨胀率或收缩率膨胀率或收缩率)，即单位，即单位时间内单位流体的膨胀量或缩小量。也就是说不可压缩流体的时间内单位流体的膨胀量或缩小量。也就是说不可压缩流体的体积变形率为零，它的体积不会发生变化。体积变形率为零，它的体积不会发生变化。在在柱坐标系柱坐标系中，连续方程式为中，连续方程式为式中式中 ur,u,uz 是速
27、度是速度 u 在在 r,z 坐标上的分量。坐标上的分量。0truzurururzr0sincot2rururururutrr在在球坐标系球坐标系中，连续方程式为中，连续方程式为其它坐标系的连续方程其它坐标系的连续方程4-7 动量方程 Moment Equation 动量方程是动量方程是动量定理（牛顿第二定律）动量定理（牛顿第二定律）在流体力学中的具在流体力学中的具体体现，它反映了流体运动的动量变化与作用力之间的关系。体体现，它反映了流体运动的动量变化与作用力之间的关系。对于积分形式的动量方程其优点在于对于积分形式的动量方程其优点在于不必知道流动范围内部的不必知道流动范围内部的过程过程，而只需要
28、知道边界面上的流动情况即可。，而只需要知道边界面上的流动情况即可。根据牛顿定律，质量体内动量的变化率等于该瞬间作用在质根据牛顿定律，质量体内动量的变化率等于该瞬间作用在质量体上的外力之和。量体上的外力之和。*()()()DtDttdvdVFdVdAdtnfT只适用于惯性系！只适用于惯性系！()dmvFdt将雷诺输运定理应用于流体系统的动量定理公式中将雷诺输运定理应用于流体系统的动量定理公式中动量方程动量方程fssysCVCSdvdvdv v n dAFFdtt系统动量变化率系统动量变化率流出控制体的净动量流率流出控制体的净动量流率控制体内动量变化率控制体内动量变化率系统所受合外力系统所受合外力
29、()sysCVCSdvdVvdVv v n dAdtt Ff 质量力；质量力；Fs 表面力表面力 注意：注意：1.1.动量方程是三维的动量方程是三维的2.2.外力的各分量、以及各速度分量均有正、负，外力的各分量、以及各速度分量均有正、负，其取决于坐标轴方向的选择！其取决于坐标轴方向的选择！3.3.矢量点积矢量点积 (Vn)ds 也存在正负之分，流出为正也存在正负之分，流出为正，流入为负。，流入为负。在在dt时间内，作用在控制体内时间内，作用在控制体内流体上的合外力流体上的合外力等于同时间间隔内从控制体等于同时间间隔内从控制体净流出的流体动量净流出的流体动量与控与控制体内流体制体内流体动量对时间
30、的变化率动量对时间的变化率之和。之和。)1()2(1A2A在流场中选择一个控制体，如图中在流场中选择一个控制体，如图中虚线所示。使它的一部分控制面与虚线所示。使它的一部分控制面与要计算作用力的固定边界重合，其要计算作用力的固定边界重合，其余控制面则视取值方便而定。控制余控制面则视取值方便而定。控制体一经选定，其形状、体积和位置体一经选定，其形状、体积和位置相对于坐标系是不变的。相对于坐标系是不变的。控制体动量定理另一种证明方法控制体动量定理另一种证明方法AttVAAttVdAuutdVudAuutdAuutdVu21 设设 t 时刻流体系统与控制体时刻流体系统与控制体V重合，且控制体内任意空间
31、重合，且控制体内任意空间点上的流体质点速度为点上的流体质点速度为 ，密度为，密度为 ，则流体系统在，则流体系统在 t 时刻时刻的初动量为的初动量为 ，经过，经过 时刻以后，原流体系时刻以后，原流体系统运动到实线所示位置，这个流体系统在统运动到实线所示位置，这个流体系统在 时刻的末动时刻的末动量为量为utVdVuttt式中式中VttudVtt 时刻控制体中所有质点的动量；1AdAuut 非原流体系统经控制面非原流体系统经控制面A1流入的动量流入的动量;2AdAuut 原流体系统经控制面原流体系统经控制面 A2流出的动量；流出的动量；21AAA控制体的全部控制面。控制体的全部控制面。于是于是AtV
32、ttVtdAuutdVudVutdtnmdF1lim0VAFudVuudAt欧拉法表示的动量方程。欧拉法表示的动量方程。式中式中F作用在控制体内流体上所有外力的合力；作用在控制体内流体上所有外力的合力；dVutV控制体内流体动量对时间的变化率。当定控制体内流体动量对时间的变化率。当定 常流动时，该项为零。它反映了流体运动常流动时，该项为零。它反映了流体运动 的非定常性；的非定常性；AdAuu单位时间内通过全部控制面的动量代数和。因单位时间内通过全部控制面的动量代数和。因 为从控制体流出的动量为正，流出控制体的动为从控制体流出的动量为正，流出控制体的动 量为负，所以该项也可以说是单位时间内控制量
33、为负，所以该项也可以说是单位时间内控制 体流出动量与流入动量之差（净流出的流体动体流出动量与流入动量之差（净流出的流体动 量）。量）。fsFFF()pcsFpdAn1.合力：合力：是指作用在控制体上的质量力、正应力是指作用在控制体上的质量力、正应力的和除正压力、质量力之外的一切外力之和的和除正压力、质量力之外的一切外力之和动量方程各项的简化动量方程各项的简化质量力质量力fcvFdf不考虑剪切力，也就是表面力只有正应力不考虑剪切力，也就是表面力只有正应力2.净动量流率量：净动量流率量：动量流进流出控制体的总和动量流进流出控制体的总和outinAV V n dAV V n dAV V n dA一般
34、流动是三维的，但可以简化为二维、一维一般流动是三维的，但可以简化为二维、一维流动加修正流动加修正0DdVtV3.定常流动：定常流动：定常总流流束如图所示。把流线方定常总流流束如图所示。把流线方向取为自然坐标向取为自然坐标 s 的正向，取如图中虚的正向，取如图中虚线所示的总流流束为控制体，则总控制线所示的总流流束为控制体，则总控制体表面上有动量交换。令这两个过流断体表面上有动量交换。令这两个过流断面上的平均速度为面上的平均速度为 v1，v2xyz01A2A11221u2us定常总流的动量方程定常总流的动量方程动量方程的简化动量方程的简化去掉时间偏导数去掉时间偏导数FdAvnv由于按平均流速计算得
35、到的动量变化量和以实际流速计算的由于按平均流速计算得到的动量变化量和以实际流速计算的动量变化量是不同的，故引入一个动量修正系数动量变化量是不同的，故引入一个动量修正系数加以修正。加以修正。根据实验测定值约为根据实验测定值约为1.021.05，近似于，近似于l，所以为计算方便，所以为计算方便，在工程计算中通常取在工程计算中通常取 12122112121AAAFv n vdAvvn dAv v n dAQ vvQ vv 不可压缩流体，控制体动量方程可化简为不可压缩流体，控制体动量方程可化简为一维流一维流1221112222VVmFVAVAF具有多个一维出入口的控制体具有多个一维出入口的控制体FVV
36、iiinioutimm)()(注意注意:(1)(1)控制体的选取控制体的选取(2)(2)或或 代表流出平均速度代表流出平均速度矢量矢量2VoutV 或或 代表流入平均速度代表流入平均速度矢量矢量1VinV(3)(3)动量方程中的动量方程中的负号负号是方程本身具有的是方程本身具有的,和和 在坐标轴上投影式的正负与在坐标轴上投影式的正负与坐标系选择有关坐标系选择有关outVinV(4)(4)包含所有外力包含所有外力(大气压强大气压强)F定常时定常时匀速运动控制体匀速运动控制体坐标系固定在匀速运动的控制体上坐标系固定在匀速运动的控制体上rrvv(是相对速度是相对速度),),输运公式为输运公式为有多个
37、一维出入口时有多个一维出入口时FnvvvrrrdA(dtCSCV)()()rroutrrin m vm vF为作用在控制体上的合外力为作用在控制体上的合外力FFnvvrrdA(CS)在定常流动中，可以有某一段流体进、出口的流速变化，在定常流动中，可以有某一段流体进、出口的流速变化，而不需要知道这一流段的内部情况，就可以求出流体所受而不需要知道这一流段的内部情况，就可以求出流体所受外力的合力，即管壁对流体的作用力，从而求出流体对管外力的合力，即管壁对流体的作用力，从而求出流体对管壁的作用力。壁的作用力。动量方程是一个矢量方程，所以应用投影方程比较方便。动量方程是一个矢量方程，所以应用投影方程比较
38、方便。应用时应注意：适当地选择控制面，完整地表达出控制体应用时应注意：适当地选择控制面，完整地表达出控制体和控制面上的外力，并注意流动方向和投影的正负等。和控制面上的外力，并注意流动方向和投影的正负等。动量定理的应用动量定理的应用 控制体应包括动量发生的全部流段，即应对总流取控制体；控制控制体应包括动量发生的全部流段，即应对总流取控制体；控制体的两端断面要紧接所要分析的流段；控制体的边界一般沿流向体的两端断面要紧接所要分析的流段；控制体的边界一般沿流向由固体边壁、自由液面组成，垂直于流向则由过流断面组成。由固体边壁、自由液面组成，垂直于流向则由过流断面组成。注意速度、流率的正、负注意速度、流率
39、的正、负动量方程的应用步骤动量方程的应用步骤选取适当的过流断面与控制体选取适当的过流断面与控制体建立适当的坐标系建立适当的坐标系投影轴可任意选取，以计算方便为宜。投影轴可任意选取，以计算方便为宜。分析系统（控制体）的受力情况分析系统（控制体）的受力情况注意：不要遗漏，并以正负号表明力的方向；横界面压力的计算。注意：不要遗漏，并以正负号表明力的方向；横界面压力的计算。分析控制体动量变化，列动量方程分析控制体动量变化，列动量方程结合使用连续性方程及伯努利方程等求解结合使用连续性方程及伯努利方程等求解如下图表示一水平转弯的管路，由于液流在弯道改变了流如下图表示一水平转弯的管路，由于液流在弯道改变了流
40、动方向，也就改变了动量，于是就会产生压力作用于管壁动方向，也就改变了动量，于是就会产生压力作用于管壁。因此在设计管道时，在管路拐弯处必须考虑这个作用力。因此在设计管道时，在管路拐弯处必须考虑这个作用力，并设法加以平衡，以防管道破裂。，并设法加以平衡，以防管道破裂。y11221P2p2u1uxR水 平 弯 管1、流体作用于弯管的力、流体作用于弯管的力现在我们用动量方程来确定这种作用力现在我们用动量方程来确定这种作用力 在在x，y方向上分别应用动量方程。首先看方向上分别应用动量方程。首先看x轴轴：1221112222VVmFVAVAF沿沿 x 轴方向轴方向的动量变化为（的动量变化为（以流出动量为正
41、，流入为负）：以流出动量为正，流入为负）：1截面动量截面动量2截面动量截面动量总动量变化总动量变化uuQvmcos111111QuuAuvmcoscos222222QuuAuvmxRApApFcos21沿沿 x 轴方向的作用力轴方向的作用力上面应用了连续性方程：上面应用了连续性方程：u1=u2=u沿沿 x 轴方向的作用力总和为轴方向的作用力总和为1截面所受力截面所受力2截面所受力截面所受力壁面对水的作用力壁面对水的作用力xR111APF cos222ApF cos1coscoscos2121QuAppRuuQRApApxx同理，对于同理，对于 y 轴方向有轴方向有sinsin2QuApRy从以
42、上公式可求出 与 ，从而可以计算R。xRyR代入动量方程有代入动量方程有xyyxRRRRR1-22tg ,注意：若求解所取流体系统对壁面的作用力，则取注意：若求解所取流体系统对壁面的作用力，则取绝对压强，若求管（板）的受力，则选择表压强！绝对压强，若求管（板）的受力，则选择表压强！必须注意，如果要考虑弯管的受力，因为弯管必须注意，如果要考虑弯管的受力，因为弯管放置在大气中，所以管外侧受到大气压的作用。放置在大气中，所以管外侧受到大气压的作用。考虑互相抵消的问题！考虑互相抵消的问题！根据反作用力原理，流体对管壁的作用力为：根据反作用力原理，流体对管壁的作用力为：RR弯管受力分析的扩展弯管受力分析
43、的扩展已知：无粘理想流体，已知进、出口的P,V,A不计重力求水对弯头的作用力(x，y方向分别考虑）221222211 1xxxFPPFmVAVAV 如左图的容器在液面下深度如左图的容器在液面下深度等于等于 h 处有一比液面面积小得多处有一比液面面积小得多的出流孔，其面积为的出流孔，其面积为A，在出流，在出流孔很小的前提下，假使只就一段孔很小的前提下，假使只就一段很短的时间来看，其出流过程就很短的时间来看，其出流过程就可以当作近似的稳定流看待。可以当作近似的稳定流看待。这时理想流体的出流速度是这时理想流体的出流速度是2AuQu 2、射流的背压（反推力）射流的背压（反推力）2ughFAuh 射 流
44、 的 背 压这一瞬时，容器由流体水平方向的动量变化将决定于单位这一瞬时，容器由流体水平方向的动量变化将决定于单位时间内由容器流出来的动量时间内由容器流出来的动量表明：表明：射流反推力（背压）的大小恰好等于出流孔处的流体静压射流反推力（背压）的大小恰好等于出流孔处的流体静压力的两倍。如果容器能够运动，射流就可能克服容器移动力的两倍。如果容器能够运动，射流就可能克服容器移动的阻力，而使容器向流体射出速度的反方向运动。的阻力，而使容器向流体射出速度的反方向运动。火箭、卫星、飞机等运动原理火箭、卫星、飞机等运动原理AghAuF22根据动量定理，这一动量变化当然在大小上、方向上、位根据动量定理，这一动量
45、变化当然在大小上、方向上、位置上恰好等于器壁在水平方向加在流体上的压力合力。流置上恰好等于器壁在水平方向加在流体上的压力合力。流动流体则反过来对容器壁上作用一个方向与出流速度相反动流体则反过来对容器壁上作用一个方向与出流速度相反的水平推力。这个力的大小也就等于容器内流体的动量变的水平推力。这个力的大小也就等于容器内流体的动量变化率，即化率，即3、求射流对弯曲对称叶片的冲击力计算公式、求射流对弯曲对称叶片的冲击力计算公式解解:（1）对于喷嘴和叶片均为固定的情况：射流的压强等于周围气体的压强，根据能量方程式，如果不计水头损失，各断面流速值应保持不变。)cos1()cos(QRFQRQA故射流的推力
46、为：的反力为根据动量方程式，叶片，叶片转角为，流量为，流速为设射流断面为ud依此原理进行设计的。汽轮机的叶片形状就是以提高射流的推力，如片的转角都大于因此在工程中有许多叶倍。时射流推力的时射流产生的推力是为影响很大，对推力片的转角推力公式可以看出，叶结论：由推导出的射流）（功率为：这时，叶片运动输出的流量和流速计算：对于叶片的向后退的情况，可用相度对喷嘴固定，叶片以速,90 2 90 180 3)cos1()()cos1()()cos1)()2(0oo22uuAFuNuAuQFu4、喷嘴的受力、喷嘴的受力已知：无粘不可压流体p1、V1、A1 和Ae，不计流体重力1.求气体对喷嘴的冲击力2.求螺
47、栓受力思考：如何确定速度Ve？4-4 理想流体的运动微分方程 The moment equation of idea fluid 考虑如下图所示的边长为考虑如下图所示的边长为dx,dy,dz的微元直角六面体，其的微元直角六面体，其中角点中角点A坐标为坐标为 A(x,y,z)，作用在此直角六面体上的外力有两，作用在此直角六面体上的外力有两种：种：表面压力和质量力表面压力和质量力。对于理想流体，忽略对于理想流体，忽略剪切力，只有正压强剪切力，只有正压强 体积力一般只考虑体积力一般只考虑重力重力，设在，设在x，y，z轴方向上的单位质轴方向上的单位质量力为量力为 fx，fy，fz理想流体的运动微分方程
48、理想流体的运动微分方程积分形式的动量方程，不涉及流体内部受力。现在我们分析积分形式的动量方程，不涉及流体内部受力。现在我们分析一下流体微团的受力及运动之间的动力学关系，建立理想流一下流体微团的受力及运动之间的动力学关系，建立理想流体动力微分方程，即体动力微分方程，即欧拉方程欧拉方程。作用在流体微元上的力作用在流体微元上的力流场中的分布力流场中的分布力表面力表面力Asd/dF 切向应力切向应力 重力场：重力场：)(gzgkf 重力势：重力势：gz法向应力法向应力p 单位质量流体单位质量流体f体积力体积力d/dbF重力、惯性力重力、惯性力单位体积流体单位体积流体f电磁力电磁力设中心点设中心点M的坐
49、标为的坐标为x、y、z，压强为，压强为p。只考虑只考虑x 轴方向受力分析：轴方向受力分析：2dx ppx和和2dx ppx表面力为：表面力为：11()()22pppdx dydzpdx dydzxx质量力为：质量力为：xfdxdydz 利用泰勒级数，利用泰勒级数，ABCD和和EFGH中中心点处的压强分别为：心点处的压强分别为：惯性力为：惯性力为：xdudxdydzdt欧拉运动微分方程欧拉运动微分方程根据牛顿第二定律得根据牛顿第二定律得 x 方向的运动方程式为方向的运动方程式为dtdudxdydzdxdydzxpdxdydzfxx上式简化后得上式简化后得dtduzpfdtduypfdtduxpf
50、zzyyxx111同理可得同理可得xxmaF 展开随体导数，则有展开随体导数，则有 上面二式即是理想流体运动的微分方程式，也叫做欧拉上面二式即是理想流体运动的微分方程式，也叫做欧拉运动微分方程式。运动微分方程式。zuuyuuxuutuzpfzuuyuuxuutuypfzuuyuuxuutuxpfzzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx欧拉方程组欧拉方程组1dVfpdt 0yxzuuuttt111xxxxxyzyyyyxyzzzzzxyzuuupfuuuxxyzuuupfuuuyxyzpuuufuuuzxyz流动定常时Euler方程为 式中x，y，z，t为四个变量，为x，y，z，t的函数
