1、拉式变换及反变换拉式变换及反变换一、复数和复变函数一、复数和复变函数复数和复数和复变函数复变函数复数复数复变函数零复变函数零点和极点点和极点复数运算复数运算规则规则拉式变换及反变换拉式变换及反变换复数复数1虚数单位虚数单位2虚虚 数数3复复 数数拉式变换及反变换拉式变换及反变换546一个复数为零一个复数为零 共轭复数共轭复数 复数有多种表示形式复数有多种表示形式 拉式变换及反变换拉式变换及反变换复数的运算规则复数的运算规则两个复数相加（或相减）两个复数相加（或相减）1两个复数相乘两个复数相乘2两个复数相除两个复数相除3用矢量表示复数用矢量表示复数1)(111 rs)(222 rs两个复数相乘两
2、个复数相乘2)()(2121221121 rrrrss两个复数相除两个复数相除3)(2121221121 rrrrss拉式变换及反变换拉式变换及反变换复变函数的零点和极点复变函数的零点和极点实部实部j虚部虚部vusGj)(+复变函数复变函数=1复变函数复变函数)()()(2121pspsszszsKsG2复变函数的零、极点表示复变函数的零、极点表示3复变函数的零点复变函数的零点4复变函数的极点复变函数的极点拉式变换及反变换拉式变换及反变换二、拉氏变换二、拉氏变换拉氏变换的定义拉氏变换的定义时时 域域 f(t)称为称为 原函数原函数 复频域复频域 F(s)称为称为 象函数象函数1.双边拉氏变换双
3、边拉氏变换 反变换反变换正变换正变换 )(21)()()(dsesFjtfdtetfsFstjjst js 复频率复频率f(t)与与F(s)一一 一对应一对应拉式变换及反变换拉式变换及反变换 反变换反变换正变换正变换 0 )(21)()()(0tdsesFjtfdtetfsFstjjst 积分下限从积分下限从0 开始，称为开始，称为0 拉氏变换拉氏变换。积分下限从积分下限从0+开始，称为开始，称为0+拉氏变换拉氏变换。dtetfdtetfdtetfsFststst 0000)()()()(f(t)=(t)时此项时此项 02.单边拉氏变换单边拉氏变换 f(t)t 0,)拉式变换及反变换拉式变换及
4、反变换 反变换反变换正变换正变换0 )(21)()()(0tdsesFjtfdtetfsFstjjst )()()()(1sFLtftfLsF简写简写F(s)称为称为f(t)的象函数，用大写字母表示的象函数，用大写字母表示，如，如 I(s)、U(s)。f(t)为原函数用小写字母表示，如为原函数用小写字母表示，如 i(t),u(t)。拉式变换及反变换拉式变换及反变换4 4、常用函数的拉氏变换、常用函数的拉氏变换 01stesdteeeLstatat 00)(1 taseasas 1 0)()(dtetutuLst 0dtest)()(0dtetfSFst)()()1(tutf)()()2(tue
5、tfat jseLtj 1 0)()(dtettLst )()()3(ttf 00)(dtt=1s1 单边拉氏变换单边拉氏变换拉式变换及反变换拉式变换及反变换0lim stntetnttf)(.4dtettLstnn 0stnest 0d1 nntLsntL211stLn 当当3222stLn 当当1!nnsntL分部分部积分积分 tetsnstnd01 nststntseestd00 拉式变换及反变换拉式变换及反变换5 5、拉普拉斯变换的基本性质、拉普拉斯变换的基本性质(一一)、线性性质、线性性质)()(,)()(2211sFtfLsFtfL 若若 1AL：例例sin 3tL：例例)()(2
6、1tfbtfaL 则则1121 jSjSj )()(21sbFsaF 22 S)(21tjtjeejL SA)1(2teAL ：例例)11(ssA欧拉欧拉公式公式 拉式变换及反变换拉式变换及反变换(二二)、时域导数性质、时域导数性质)0()()(fssFdttdfLsin1022 tss 22 ss)(sin1cos1tdtdLtL ：例例)(2tL：例例)(tudtdL 1)(10 tuSS)()(sFtfL 设设：拉式变换及反变换拉式变换及反变换(三三)、时域的积分性质、时域的积分性质)(1)(0sFsdfLt tL例例21)(sstuL )(0 tduL )()(sFtfL 设设：(四四
7、)、时域平移、时域平移(延迟定理延迟定理)f(t)u(t)ttf(t-t0)u(t-t0)t0f(t)u(t-t0)tt0)()()(000sFettuttfLst )()(sFtfL 设设：拉式变换及反变换拉式变换及反变换(五五)、复频域平移性质复频域平移性质 )()(sFtfeLt)()(sFtfL 设设：cos3teLt ：例例22)(ss2)(1 s1tteL ：例例sin2teLt ：例例22)(s拉式变换及反变换拉式变换及反变换1tL：例例)1(ddss 21s)1(dd ss2)(1 s2tteL ：例例(六六)、复频域导数性质复频域导数性质ssFtftLd)(d)()()(sF
8、tfL 设设：拉式变换及反变换拉式变换及反变换(七七)初值定理和终值定理初值定理和终值定理)(lim)(lim)0(0ssFtffst 初值定理：初值定理：若若Lf(t)=F(s)，且，且f(t)在在t=0处无冲激则处无冲激则存在时存在时)(limtft)(lim)(lim0ssFtfst 终值定理：终值定理：f(t)，f(t)的导数可进行拉氏变换的导数可进行拉氏变换拉式变换及反变换拉式变换及反变换例例1 11lim)(0 sstust例例2 tteeti225)(2215)(sssI3)/212/115(lim)2215(lim)0(ssssssiss拉式变换及反变换拉式变换及反变换小结：小
9、结：6 6个性质个性质线性线性时域时域微分微分积分积分平移平移频域频域导数导数平移平移2 2个定理个定理初值初值终值终值拉式变换及反变换拉式变换及反变换积分积分 s 微分微分 s )(t )(tut 1 1 s21 s t-e t-te 1 s)(1 2 s常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换ntt-e 1)(!nSn nt1!nsn频域的平移频域的平移拉式变换及反变换拉式变换及反变换 sin t t cost sine t-22 s22 ss22)(st cose t-22)(ss拉式变换及反变换拉式变换及反变换三、拉普拉斯反变换三、拉普拉斯反变换拉拉氏氏逆逆变变换换的的数数学学方方法法有理
10、函数法有理函数法部分分式法部分分式法查表法查表法拉式变换及反变换拉式变换及反变换只包含不相同极点的情况只包含不相同极点的情况1拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换拉式变换及反变换拉式变换及反变换拉式变换及反变换拉式变换及反变换拉式变换及反变换拉式变换及反变换21321 sKsKsK5.2)(01 SssFK05.155.2)(2 teetftt)2)(1(52 sssss例例 )23(5)(22 ssssssF5)1)(12 SssFK5.1)2)(23 SssFK拉式变换及反变换拉式变换及反变换包含多重极点的情况包含多重极点的情况2拉式变换及反变换拉式变换及反变换拉式变换及反变换拉式变换及反变换221)1()1(SKSK2)1(52)(sssF3)52(12 SSK2)52(dd11 SssK032)(tteetftt例例 拉式变换及反变换拉式变换及反变换拉普拉斯变换在控制理论中的应用拉普拉斯变换在控制理论中的应用 第一步第一步通过拉氏变换将常微分方程化通过拉氏变换将常微分方程化为象函数的代数方程；为象函数的代数方程；解出象函数；解出象函数；第二步第二步由拉氏逆变换求得常微分方程由拉氏逆变换求得常微分方程的解。的解。第三步第三步
