1、工 程 数 学 第第6 6章章 傅里叶积分傅里叶积分6.1傅里叶积分6.2傅里叶变换的基本概念6.3傅里叶变换的性质6.4卷积6.5傅里叶变换的应用6.6MATLAB在傅里叶变换中的应用 第第6 6章章 傅里叶积分傅里叶积分傅里叶变换是在傅里叶级数基础上形成的一种重要的积分变换，它在许多物理领域尤其是电子工程中有着十分重要的作用，同时它也是对非周期单脉冲信号进行频谱分析的有力工具。本章在傅里叶变换概念基础上着重分析了傅里叶变换的性质以及常用的一些傅里叶变换，并且给出了非周期函数的频谱分析。6.1 6.1 傅里叶积分傅里叶积分一个以T为周期的函数fT(t)，如果在 上满足狄利克雷（Dirichl
2、et）条件，即函数在 上满足：(1)连续或只有有限个第一类间断点；(2)只有有限个极值点.那么fT(t)在 上就可以展成傅里叶级数。在fT(t)的连续点处，级数的三角形式为 2,2TT2,2TT2,2TT 6.1 6.1 傅里叶积分傅里叶积分其中 6.1 6.1 傅里叶积分傅里叶积分例6.1.1 设函数fT(t)为周期性矩形脉冲，在一个周期T内的表达式为 6.1 6.1 傅里叶积分傅里叶积分当t为f(t)的连续点,当t为f(t)的间断点。这个定理的条件是充分的，它的证明需要用到较多的基础理论，这里省略。定理1（傅里叶积分定理）若函数f(t)在(-,+)上的任一有限区间内满足狄利克雷条件，并且在
3、(-,+)上绝对可积，即积分 收敛，则有 6.1 6.1 傅里叶积分傅里叶积分 6.1 6.1 傅里叶积分傅里叶积分当t=0 时，有这就是著名的狄利克雷积分。6.2 6.2 傅里叶变换的基本概念傅里叶变换的基本概念傅里叶变换的定义6.2.1若函数f(t)满足傅里叶积分定理中的条件，则在f(t)的连续点处，便有式（6.2.1），即成立。设 6.2 6.2 傅里叶变换的基本概念傅里叶变换的基本概念从上面两式可以看出，f(t)和F()通过指定的积分可以相互表示。称式（6.2.2）为f(t)的傅里叶变换式，记为 F()=Ff(t)，F()称为f(t)的象函数。式（64）称为F()的傅里叶逆变换式，记为
4、 f(t)=F-1F()，f(t)称为F()的象原函数。这样，f(t)与F()构成了一个傅里叶变换对。由于傅里叶变换是定义在傅里叶积分的基础上的，因此，傅里叶积分存在的条件，也就是函数f(t)的傅里叶变换存在的条件。6.2 6.2 傅里叶变换的基本概念傅里叶变换的基本概念例6.2.1 求函数f(t)=A 的傅里叶变换及其积分表达式，其中A,0。2te 6.2 6.2 傅里叶变换的基本概念傅里叶变换的基本概念积分表达式为根据傅里叶定理可以得到积分结果：6.2 6.2 傅里叶变换的基本概念傅里叶变换的基本概念单位脉冲函数及其傅里叶变换6.2.2单位脉冲函数是对于作用时间极短而强度极大的物理过程的理
5、想描述，如电路中接入脉冲电压后电路中的电流分布情况；机械系统受冲击力作用后的运动情况等。它在信号与线性系统分析中占有非常重要的地位。6.2 6.2 傅里叶变换的基本概念傅里叶变换的基本概念1.1.单位脉冲函数的定义和性质单位脉冲函数的定义和性质单位脉冲函数是广义函数，是指它没有普通意义下的“函数值”，所以它不能用通常意义下的“值的对应关系”来定义。它的定义方法有很多，工程上通常将它看成持续时间极短的矩形波。定义1 可将单位脉冲函数定义为 6.2 6.2 傅里叶变换的基本概念傅里叶变换的基本概念单位脉冲函数也称为狄拉克（Dirac）函数，简称函数。对任意0，有工程技术中通常用一个长度等于1的有向
6、线段来表示函数，这个线段的长度表示函数的积分值，称为函数的强度。6.2 6.2 傅里叶变换的基本概念傅里叶变换的基本概念(t)和(t)的图像如图6.2.1所示。6.2 6.2 傅里叶变换的基本概念傅里叶变换的基本概念函数具有下列性质：（1）对任意的连续函数f(t)，都有一般地，若函数f(t)在t=t0处连续，则 这个性质称为函数的筛选性质。它表明，尽管函数本身没有普通意义下的函数值，但它与任何一个连续函数的乘积在(-，+)上的积分都有确定的值。这一性质使得函数在近代物理和工程技术中有着较广泛的应用。6.2 6.2 傅里叶变换的基本概念傅里叶变换的基本概念（3）()d=u(t)，=(t)，tdt
7、tdu)(其中u(t)=称为单位阶跃函数0，00，1tt（4）若f(t)为无穷次可微的函数，则有（2）函数是偶函数，即(-t)=(t)。6.2 6.2 傅里叶变换的基本概念傅里叶变换的基本概念2.2.单位脉冲函数的傅里叶变换单位脉冲函数的傅里叶变换由式（6-6）可以很方便地求出函数的傅里叶变换，可见，(t)与常数1构成了一个傅里叶变换对。同理，(t-t0)和e-jt0也构成了一个傅里叶变换对。这里需要指出的是，上面的广义积分虽然是经典意义上的形式，却是按照式（6.2.3）来定义的，而不是普通意义下的积分值，所以(t)的傅里叶变换是一种广义的傅里叶变换。6.2 6.2 傅里叶变换的基本概念傅里叶
8、变换的基本概念在物理学领域和工程技术中，有许多常用的重要函数其实并不满足傅里叶积分定理中的绝对可积条件，如常数、单位阶跃函数、正弦函数以及余弦函数等，然而，由于广义傅里叶变换也是存在的，利用函数及其傅里叶变换就可以很容易地求出它们的傅里叶变换。6.2 6.2 傅里叶变换的基本概念傅里叶变换的基本概念积分表达式为 6.2 6.2 傅里叶变换的基本概念傅里叶变换的基本概念 6.2 6.2 傅里叶变换的基本概念傅里叶变换的基本概念 6.2 6.2 傅里叶变换的基本概念傅里叶变换的基本概念证 利用傅里叶逆变换来推证单位阶跃函数的傅里叶变换。6.2 6.2 傅里叶变换的基本概念傅里叶变换的基本概念利用狄
9、利克雷积分 ，可知2sin0所以 6.2 6.2 傅里叶变换的基本概念傅里叶变换的基本概念在实际工作中为了使用方便，可以直接查傅里叶变换表。通过查表，可以很容易知道由象原函数到象函数的变换，或由象函数到象原函数的逆变换。6.3 6.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质线性性质6.3.1设Ff1(t)=F1()，Ff2(t)=F2()，,为常数，则 Ff1(t)+f2(t)=F1()+F2()。（6.3.1）这个性质表明，函数线性组合的傅里叶变换等于各函数的傅里叶变换的线性组合。它的证明只需根据定义就可推出。同样地，傅里叶逆变换亦具有类似的性质，即 F-1F1()+F2()=f1(t)+f2(t
10、)。（6.3.2）6.3 6.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质例6.3.1 求f(t)=sin2t的傅里叶变换。6.3 6.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质位移性质6.3.2设Ff(t)=F()，t0为实常数，则 Ff(tt0)=ejt0F()。（6.3.3）证 令tt0=u，则 该性质表明将函数f(t)的自变量提前或延迟t0后的傅里叶变换等于f(t)的傅里叶变换乘以因子ejt0或e-jt0，同理，傅里叶逆变换也有类似的性质，即 6.3 6.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质例6.3.2 求矩形单位脉冲函数的频谱函数。6.3 6.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质微分性质6.3.3
11、若f(t)在(-,+)上连续或只有有限个可去间断点，且，则 Ff(t)=jFf(t)。（6.3.5）证 由傅里叶变换的定义，并利用分部积分法可得 6.3 6.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质它表明一个函数导数的傅里叶变换等于这个函数的傅里叶变换乘以因子j。同样还能得到象函数的导数公式。设Ff(t)=F()，则 6.3 6.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质在实际中，常常用象函数的导数公式来计算Ftnf(t)。6.3 6.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质解 设Fx(t)=G(),Fh(t)=H()，方程两边取傅氏变换，得求上述逆变换，可以得到 6.3 6.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换
12、的性质若f(t)在(-,+)上连续或只有有限个可去间断点，且则 Ff(t)=jFf(t)。（6.3.5）证 由傅里叶变换的定义，并利用分部积分法可得它表明一个函数导数的傅里叶变换等于这个函数的傅里叶变换乘以因子j。6.3 6.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质推论 若f(k)(t)(k=0,1,2,n)在(-,+)上连续或只有有限个可去间断点，且Ff(n)(t)=(j)nFf(t)。（6.3.6）同样还能得到象函数的导数公式。设Ff(t)=F()，则 6.3 6.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质解 设Fx(t)=G(),Fh(t)=H()，方程两边取傅氏变换，得求上述逆变换，可以得到 6
13、.3 6.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 6.3 6.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质积分性质6.3.4证 由于g(t)=f(t)，由微分性质得这个性质表明一个函数积分后的傅里叶变换等于其傅里叶变换除以因子j。6.3 6.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质对称性质6.3.5若Ff(t)=F()，则 FF(t)=2f(-)。（6.3.10）6.3 6.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质相似性质6.3.6若Ff(t)=F()，a0，则证 令u=at，则当a0时，同样，傅里叶逆变换也具有类似的相似性质，即 6.4 6.4 卷卷 积积卷积的概念6.4.1本节将讨论卷积的性质和一些简单的应
14、用，卷积是广义积分定义的函数，其运算性质加大了傅里叶变换的应用范围。定义2 给定两个已知函数f1(t)，f2(t)，则积分dt）ff)(21称为函数f1(t)与f2(t)的卷积，记为f1(t)*f2(t)，即 dtfftftf)()()(*)(2121。（6.4.1）6.4 6.4 卷卷 积积根据定义，很容易知道卷积满足 f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)；（交换律）f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t)；（结合律）f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)。（分配律）6.4 6.4 卷卷 积积解 由卷积的定义
15、dtfftftf)()()(*)(2121和图6.4.1可得，当t0，求Ff(t)。6.5 6.5 傅里叶变换的应用傅里叶变换的应用频谱分析6.5.11.1.非正弦周期函数的频谱非正弦周期函数的频谱在傅里叶变换的理论中，对于以T为周期的非正弦函数，只要满足狄利克雷条件就可以展开为傅里叶级数 6.5 6.5 傅里叶变换的应用傅里叶变换的应用称ancosnt+bnsinnt为fT(t)的第n次谐波，n=n为第n次谐波的频率。由于 ancosnt+bnsinnt=Ansin(nt+n)，6.5 6.5 傅里叶变换的应用傅里叶变换的应用所以，以T为周期的非正弦函数fT(t)的第n次谐波的振幅为|An|
16、=2|cn|(n=0,1,2,)。（6.5.1）当n取不同数值时，相应会得到不同的频率和振幅，所以式（6.5.1）描述了各次谐波的振幅随频率变化的分布情况。为了直观，通常在直角坐标系下，描述各次谐波的振幅和频率之间的关系。用横坐标表示频率n，纵坐标表示振幅An。在横轴上作出不同的频率0,2,，在这些点上都作一条垂直于横轴的直线段，其长度等于对应的振幅An(n=0,1,2,)，称 An(n=0,1,2,)为fT(t)的振幅频率（简称频谱），这样的图形称为频谱图。由于n=0,1,2,，所以频谱An的图形是不连续的，这种类型的频谱称为离散谱。6.5 6.5 傅里叶变换的应用傅里叶变换的应用例6.5.
17、1 求图6.5.1所示的周期性矩形脉冲函数fT(t)的离散谱，并作出频谱图。6.5 6.5 傅里叶变换的应用傅里叶变换的应用解 在图6.5.1中，fT(t)在一个周期T内的表达式为经计算可得 6.5 6.5 傅里叶变换的应用傅里叶变换的应用于是得fT(t)的频谱特别取T=4时，6.5 6.5 傅里叶变换的应用傅里叶变换的应用其频谱图如图6.5.2所示。6.5 6.5 傅里叶变换的应用傅里叶变换的应用2.2.非周期函数的频谱非周期函数的频谱对于非周期函数f(t)，称f(t)的傅里叶变换F()=Ff(t)为f(t)的频谱函数，其模|F()|称之为f(t)的频谱。由于是连续变化的，这时的频谱图是连续
18、曲线，所以称为连续频谱。因此，对一个时间函数做傅里叶变换，就是求这个时间函数的频谱函数，反之，对一个频谱函数进行傅里叶逆变换，就是求时间函数。在信号处理中，多以信号的频谱函数进行信号分析。另外还可以证明，频谱F()是频率的偶函数，即|F(-)|=|F()|。利用这一性质，在作频谱图时，只需作出(0,+)上的图形，然后根据对称性就可以得出在(-,0)上的情形。6.5 6.5 傅里叶变换的应用傅里叶变换的应用例6.5.2 求正弦函数f(t)=sin0t的傅里叶变换。6.5 6.5 傅里叶变换的应用傅里叶变换的应用傅里叶变换在求解微分、积分方程中的应用6.5.2由傅里叶变换的线性性质、微分性质和积分
19、性质，对相应的微分、积分方程两端取傅里叶变换，将其转化为代数方程，再从这个方程中解出象函数，最后再取傅里叶逆变换就可以得到原方程的解。6.5 6.5 傅里叶变换的应用傅里叶变换的应用 6.6 MATLAB6.6 MATLAB在傅里叶变换中的应用在傅里叶变换中的应用MATLAB求函数的傅里叶变换6.6.1在MATLAB中，命令ifourier用于求函数的傅里叶逆变换.其调用格式有如下几种。(1)f=ifourier(F)：以为默认自变量，返回函数F()的傅里叶逆变换。默认的返回函数是以x为自变量的函数。(2)f=ifourier(F,u)：以为默认自变量，返回函数F()的傅里叶逆变换。默认的返回
20、函数是以u为自变量的函数。(3)f=ifourier(F,u,v)：以u作为自变量代替默认自变量，返回函数F(u)的傅里叶逆变换，返回的函数以符号v为自变量。6.6 MATLAB6.6 MATLAB在傅里叶变换中的应用在傅里叶变换中的应用 6.6 MATLAB6.6 MATLAB在傅里叶变换中的应用在傅里叶变换中的应用MATLAB求函数的傅里叶逆变换6.6.2在MATLAB中，命令ifourier用于求函数的傅里叶逆变换。其调用格式有如下几种。(2)f=ifourier(F,u)：以为默认自变量，返回函数F()的傅里叶逆变换.默认的返回函数是以u为自变量的函数。(3)f=ifourier(F,u,v)：以u作为自变量代替默认自变量，返回函数F(u)的傅里叶逆变换，返回的函数以符号v为自变量。(1)f=ifourier(F)：以为默认自变量，返回函数F()的傅里叶逆变换。默认的返回函数是以x为自变量的函数。6.6 MATLAB6.6 MATLAB在傅里叶变换中的应用在傅里叶变换中的应用Thank You!
