1、激光原理与激光器件（2）Laser Principles and DevicesSchool of Physics,Shenzhen universityLong 第二章 开放式光腔和高斯光束The basic principle of lasers 1.1、光腔理论的一般性问题 1.2、共轴球面腔的稳定性条件 1.3、开腔模式的物理概念和衍射理论分析方法 1.4、平行平面腔模的迭代解法 1.5、一般稳定球面腔的模式特征 1.6、高斯光束的基本性质及特征参数 1.7、高斯光束q参数的变换规律 1.8、高斯光束的聚焦和准直 1.9、高斯光束的自再现变换与稳定球面腔光腔理论的一般性问题光腔理论的一
2、般性问题一、光腔（一、光腔（optical cavity）的构成和分类的构成和分类最简单的光学谐振腔是在激活介质两端恰当地放置两个镀有高反射率的反射镜构成。平行平面腔（法布里平行平面腔（法布里-泊罗干涉仪，泊罗干涉仪，F-P腔）最早提出腔）最早提出激励能源激励能源 全反射镜全反射镜部分反射镜部分反射镜激光激光常用的基本概念：常用的基本概念：光轴光轴：光学谐振腔中间与镜面光学谐振腔中间与镜面垂直垂直的轴线的轴线 孔径孔径：光学谐振腔中起着限制光束大小、形状的元光学谐振腔中起着限制光束大小、形状的元件，大多数情况下，孔径是激活物质的两个端面，件，大多数情况下，孔径是激活物质的两个端面，但一些激光器
3、中会另外放置元件以限制光束为理想但一些激光器中会另外放置元件以限制光束为理想的形状。的形状。光学谐振腔光学谐振腔（resonator）的种类的种类l按谐振腔的开按谐振腔的开放程度放程度非稳定腔非稳定腔气体波导腔气体波导腔 开腔开腔闭腔闭腔稳定腔稳定腔临界腔临界腔 l按反射镜形状按反射镜形状：球面腔与非球面腔，端面反射腔与：球面腔与非球面腔，端面反射腔与分分 布反馈腔布反馈腔l按反射镜的多少按反射镜的多少：两镜腔与多镜腔，简单腔与复合：两镜腔与多镜腔，简单腔与复合腔腔 开腔由两块具有公共轴线的球面由两块具有公共轴线的球面镜构成的谐振腔。镜构成的谐振腔。从理论上从理论上分析这些腔时，通常认为侧分析
4、这些腔时，通常认为侧面面没有光学边界没有光学边界，因此将这，因此将这类谐振腔称为开放式光学谐类谐振腔称为开放式光学谐振腔，简称开腔振腔，简称开腔闭腔固体激光器的工作物质通常具有固体激光器的工作物质通常具有比较高的折射率，因此在侧壁上比较高的折射率，因此在侧壁上将发生大量的全反射。将发生大量的全反射。如果腔的如果腔的反射镜紧贴激光棒的两端，则在反射镜紧贴激光棒的两端，则在理论上分析这类腔时，应作为介理论上分析这类腔时，应作为介质腔来处理质腔来处理。半导体激光器是一。半导体激光器是一种真正的介质波导腔。这类光学种真正的介质波导腔。这类光学谐振腔称为闭腔谐振腔称为闭腔 。气体波导腔（半封闭腔）另一类
5、光腔为气体波导激光谐振腔，其典型结另一类光腔为气体波导激光谐振腔，其典型结构是一段构是一段空心介质波导管两端适当位置放置反空心介质波导管两端适当位置放置反射镜射镜。这样，在空心介质波导管内，场服从波。这样，在空心介质波导管内，场服从波导中的传播规律，而在波导管与腔镜之间的空导中的传播规律，而在波导管与腔镜之间的空间中，场按与开腔中类似的规律传播。间中，场按与开腔中类似的规律传播。由两个以上的由两个以上的反射镜构成反射镜构成一般球面腔一般球面腔RL2RLmode volume V 简单的激光谐振腔简单的激光谐振腔HRSP1P2OCAOMpump beamlaser rod实际的复杂激光谐振腔实际
6、的复杂激光谐振腔二、模的概念腔与模(Laser Modes)的一般联系在在具有一定边界条件的腔内具有一定边界条件的腔内，电磁场只能存在于，电磁场只能存在于一系列分立的本征态之中，场的每种本征态将具一系列分立的本征态之中，场的每种本征态将具有一定的有一定的振荡频率和空间分布振荡频率和空间分布。光学谐振腔的模式光学谐振腔的模式(或称波型或称波型):谐振腔内可谐振腔内可能存在的电磁场本征态。能存在的电磁场本征态。从光子的观点看，激光模式就是腔内可能区分从光子的观点看，激光模式就是腔内可能区分的光子状态。的光子状态。光学谐振腔的模式分为：纵模和横模光学谐振腔的模式分为：纵模和横模模式与腔的结构之间具有
7、依赖关系：模式与腔的结构之间具有依赖关系：给定了腔的具体给定了腔的具体结构，则其中振荡模的特征就随之确定。结构，则其中振荡模的特征就随之确定。驻波条件驻波条件平行平面腔中平面平行平面腔中平面波的往返传播波的往返传播在腔内要形成稳定的振在腔内要形成稳定的振荡，要求光波要因干涉荡，要求光波要因干涉而得到加强。而得到加强。相长干涉条件：相长干涉条件：2220qL考查具有平行平面镜的考查具有平行平面镜的FabryFabry-Perot-Perot 谐振腔谐振腔光腔的驻波光腔的驻波条件条件:2qqL谐振频率谐振频率:Lcqq2光腔中的驻波光腔中的驻波qq0 激光的纵模(轴向模)：由整数q所表征的腔内纵向
8、稳定场分布。整数q称为纵模的序数，驻波系统在腔的轴线上零场强度的数目 Lcqq2q q阶纵模频率可以表达为：阶纵模频率可以表达为：基纵模的频率可以表达为：基纵模的频率可以表达为：Lc21纵模纵模(Longitudinal modes，纵向的稳定场分布)q=4q=3q=2q=1谐振腔内谐振腔内q q阶纵模的频率为基纵模频率的整数倍阶纵模的频率为基纵模频率的整数倍(q(q倍）倍）u激光纵模分布示意图激光纵模分布示意图 u腔的纵模在频率尺度上是等距离排列的腔的纵模在频率尺度上是等距离排列的 激光器谐振腔内可能存在的纵模示意图激光器谐振腔内可能存在的纵模示意图纵模的频率间隔：纵模的频率间隔：Lcqqq
9、21qdq+1q-1Lqccqq202qLnL模式的空间分布模式的空间分布（Spatial profile of modes）谐振谐振 （Resonances）qqqqmdm+1m-1qqq激光模式激光模式（Laser Modes）激光的频率通常被称为“纵模”由光学谐振腔的谐振条件决定的谐振频率有无数个，但只有落在原子（或分子、离子）的荧光谱线宽度内，并满足阈值条件的那些频率才能形成激光。（Which modes lasing depends on the gain profile.）u形成激光振荡的条件：形成激光振荡的条件：1.满足谐振条件满足谐振条件 Lcqq2G2.满足阈值条件满足阈值条
10、件3.落在工作物质原子荧光线宽范围内的频率成分落在工作物质原子荧光线宽范围内的频率成分 工作原子自发辐射的工作原子自发辐射的荧荧光线宽光线宽越大，可能出现越大，可能出现的纵模数越多。的纵模数越多。激光器激光器腔长腔长越大，相邻越大，相邻纵模的频率间隔越小，纵模的频率间隔越小，同样的荧光谱线线宽内同样的荧光谱线线宽内可以容纳的纵模数越多。可以容纳的纵模数越多。u激光器中出现的纵模数激光器中出现的纵模数腔内电磁场在垂直于其传播方向的横向X-Y面内也存在稳定的场分布，通常称为横模。也叫TEM 模（Transverse Electro-magnetic modes）mnqTEM横模横模(Transve
11、rse modes，横向X-Y面内的稳定场分布)m,nm,n 为横模的序数为横模的序数 ，基模基模(横向单模横向单模)：m=n=0,其它的横模称为高阶其它的横模称为高阶横模横模基模基模高阶横模高阶横模轴对称分布轴对称分布 旋转对称分布旋转对称分布节数：振幅为零的位置节数：振幅为零的位置对于方形镜，对于方形镜，m m表示表示X X方向的节线数，方向的节线数，n n表示表示Y Y方方向的节线数；向的节线数；对于圆形镜，对于圆形镜，p p 表示径向节线数，即暗环数，表示径向节线数，即暗环数，l l表示角向节线数，即暗直径数表示角向节线数，即暗直径数n方形反射镜的横模图像方形反射镜的横模图像（第二章）
12、(c)TEM02(d)TEM03(a)TEM00(b)TEM10n球形反射镜的横模图像球形反射镜的横模图像u横模电场分布及强度示意图横模电场分布及强度示意图三、光腔的损耗三、光腔的损耗包括包括选择损耗选择损耗3 腔镜反射不完全引起的损耗 2 衍射损耗1 1 几何偏折损耗4 稳定腔材料中的非激活吸收、散射、腔内插入物非选择损非选择损耗耗 损耗的大小是评价谐振腔的一个重要指标，在激损耗的大小是评价谐振腔的一个重要指标，在激光振荡中，光腔的损耗决定了振荡的阈值和激光光振荡中，光腔的损耗决定了振荡的阈值和激光的输出能量，也是腔模理论的重要研究课题的输出能量，也是腔模理论的重要研究课题（1）几何损耗：几
13、何损耗：光线在腔内往返传播时，可能从腔的侧面偏折出光线在腔内往返传播时，可能从腔的侧面偏折出 去而引起损耗。去而引起损耗。决定其大小的因素：腔的类型和几何尺寸；决定其大小的因素：腔的类型和几何尺寸；横模的高低阶次横模的高低阶次（2）衍射损耗衍射损耗：腔镜边缘、插入光学元件的边缘、孔径及光阑腔镜边缘、插入光学元件的边缘、孔径及光阑 的衍射效应产生的损耗。的衍射效应产生的损耗。决定其大小的因素：腔的菲涅耳数有关、腔的几何参决定其大小的因素：腔的菲涅耳数有关、腔的几何参 数有关、横模的阶数有关。数有关、横模的阶数有关。(模的模的 阶次越高，衍射损耗越大，基模阶次越高，衍射损耗越大，基模 的衍射损耗最
14、小。的衍射损耗最小。)（3）腔镜不完全反射引起的损耗腔镜不完全反射引起的损耗 包括反射镜的吸收、散射以及镜的透射损耗。包括反射镜的吸收、散射以及镜的透射损耗。镜的透射损耗与输出镜的透射率镜的透射损耗与输出镜的透射率T有关。有关。（4）材料中非激活吸收、散射，腔内插入物引起材料中非激活吸收、散射，腔内插入物引起的损耗的损耗。激光通过腔内光学元件和反射镜发生非激活吸激光通过腔内光学元件和反射镜发生非激活吸收、散射引起的损耗收、散射引起的损耗引入平均单程损耗因子定义定义1：d201 eII10ln21IId由由定义定义2：0102III d321dddddii腔内总损耗因子：腔内总损耗因子：1、光子
15、在腔内的平均寿命、光子在腔内的平均寿命 Rt时刻腔内光强为：时刻腔内光强为：RteItI0cLRd时间常数：时间常数：当当t=R时，时，eItI0经过经过 R时间，腔内光腔衰减为初始值的时间，腔内光腔衰减为初始值的1/e R越小，腔内损耗越大，光腔衰减越快越小，腔内损耗越大，光腔衰减越快定义：腔内光强衰减为初始值的定义：腔内光强衰减为初始值的1/e所需要的时间所需要的时间2 2、无源谐振腔的、无源谐振腔的QQ值值定义：定义：PPQ2cLQRd2腔内损耗越小，腔内损耗越小，Q值越高值越高单位时间损耗的能量腔内储藏的能量2Q3、损耗举例、损耗举例（1）、由镜反射不完全所引起的损耗）、由镜反射不完全
16、所引起的损耗（2）、腔镜倾斜时的几何损耗）、腔镜倾斜时的几何损耗（3）、衍射损耗）、衍射损耗 （菲涅尔数菲涅尔数N）共轴球面腔的稳定性条件共轴球面腔的稳定性条件“共轴球面共轴球面”将两个反射镜的球心连线作为光轴L1O2O1R2R1M2M三个重要参数：两个球面反射镜 的曲率半径R1、R2；腔长L平行平面腔平行平面腔共焦腔共焦腔共心腔共心腔平凹腔平凹腔21RRLRR21LRR2121RLR，*常见的谐振腔形式常见的谐振腔形式Laser ResonatorsMirror curvatures play a big role in lasers.一、腔内光线往返传播的矩阵表示一、腔内光线往返传播的矩阵
17、表示一条光线可以用两个坐标(r,)表示：光轴（Optical axis）光线（optical ray）r r光线离轴位置光线与轴线的夹角 用一个列矩阵 描述任一光线的坐标（光线矢量）rr1,1L=0r2 2 L光线在轴上方，光线在轴上方，r为为正，光线初射方向正，光线初射方向在腔轴线上方在腔轴线上方 为正，为正，反之为负。反之为负。112112101xLrrr1,1L=0r2 2 L由几何关系：由几何关系：上述方程可以表示为下列矩阵形式：上述方程可以表示为下列矩阵形式：光线的传输可以用变换矩阵描述设光线从设光线从L=0面上面上发出，初始坐标发出，初始坐标为为 ，到达，到达L面面时坐标为时坐标为
18、11r22r111122101rTrLrL101LTLr1,1L=0r2 2 LTL表示光线在自由空间中行进表示光线在自由空间中行进距离距离L L 时所引起的坐标变换，时所引起的坐标变换，称为称为变换矩阵。变换矩阵。在球面上发射反射时，根据球面镜对傍轴光线的反射规律有：iiiirRrr20100iiRiirTrRr12010011011201fRTL变换矩阵为：ri ir0 0r5 5R 0 i 将上式写成矩阵形式：将上式写成矩阵形式：也称为球面镜的也称为球面镜的反射矩阵反射矩阵经过薄透镜的光线经过薄透镜的光线 （Rays at a lens）rout=rinout=(1/f)rin+inri
19、n,inz=zinrout outz=zoutf如果透镜很薄，则只有光线的倾角发生变化，如果透镜很薄，则只有光线的倾角发生变化，将上式写成矩阵形式：将上式写成矩阵形式：Rewriting this expression in matrix notation:ininoutoutrfr1101r1 1r1 1r2 2r3 3r4 4r5 5LM1M2光线在曲率半径为R3的镜M2上反射时，有222223321201rTrRrRr1 1r1 1r2 2r3 3r4 4r5 5LM1M2光线从M2行进到M1镜面时，有333344101rTrLrLr1 1r1 1r2 2r3 3r4 4r5 5LM1M
20、2光线又在M1镜面上发生反射时，有444415511201rTrRrR光线在腔内完成一次往返传播时，其总的坐标变换为：111111215510112011011201rTrDCBArLRLRr其中T为傍轴光线在光腔内往返一次的总变换矩阵，称为往返矩阵r1 1r1 1r2 2r3 3r4 4r5 5LM1M2往返矩阵T：LRLRTTTTLRLRDCBAT211011201101120121往返矩阵T 中，矩阵元A、B、C、D分别为：211121222121221221221RLRLRLDRLRRCRLLBRLA往返矩阵往返矩阵T与光线的初始坐标参数与光线的初始坐标参数r1和和 无关，因而它可以无
21、关，因而它可以描述任意近轴光线在腔内往返传播的行为描述任意近轴光线在腔内往返传播的行为1光线在腔内经n次往返时其参数的变换关系是：111111rDCBArTrTTTTrnnnnnTnnn 个1111nnnnnnDCBrArn次往返变换矩阵Tn的矩阵元An、Bn、Cn、Dn分别为（利用sylvester定理）：1sinsinsinsin1sinsinsin1nnDnCnBnnADCBATnnnnn其中：DA21arccos对任何光学元件，可以定义2x2“光线矩阵.该元件对光线的作用由光线矩阵乘以光线矢量决定光线矩阵可光线矩阵可以描述简单以描述简单的和复杂的的和复杂的光学系统光学系统这种矩阵通常称
22、为“ABCD 矩阵.光学系统光学系统 2x2 光线矩阵光线矩阵rin,inrout,outoutoutrABCDininrininoutoutrDCBAr经过多个光学元件ininroutoutr注意矩阵下标的顺序与实际传输的顺序相反注意矩阵下标的顺序与实际传输的顺序相反T1T3T2ininoutoutrTTTr321u一些光学元件的传播矩阵一些光学元件的传播矩阵距离为距离为L的的 自由空间自由空间 n1界面折射（折界面折射（折射率分别为射率分别为n1，n2）折射率折射率n、长、长L均匀介质均匀介质薄透镜薄透镜（焦距（焦距f）球面折射球面折射球面反射镜球面反射镜（曲率半径（曲率半径R）101L2
23、1001nn101nL1101f2121201nnRnnn1201R 光线在腔内经过多次往返后，其位置仍“紧靠”光轴，不会横向逸出腔外，则该光腔是稳定的。二、二、共轴球面腔的稳定性条件 这要求往返矩阵Tn中的矩阵元An、Bn、Cn、Dn对任意的n值保持有限，从而使r rn n、n n为有限值。这要求 为实数，且不等于k1sinsinsinsin1sinsinsin1nnDnCnBnnADCBATnnnnn其中：DA21arccos1211DA带入A、D得：引入g参数：111021RLRL2211211,110RLgRLggg共轴球面腔的稳定条件要求为实数，即要求iiRLg1当几何参数满足上式当
24、几何参数满足上式时，谐振腔处于稳定时，谐振腔处于稳定工作状态，为稳定谐工作状态，为稳定谐振腔振腔 非稳腔满足的条件是：临界腔（介稳腔，其稳定性视不同的腔而不同）例如对称共焦腔、平行平面腔和共心腔。121,0121,12121DAggDAgg121,0121,12121DAggDAgg非稳定腔：非稳定腔：腔中光线除去极少量特殊光线外，不管腔中光线除去极少量特殊光线外，不管其初始条件如何，都要逸出腔外。其初始条件如何，都要逸出腔外。临界腔满足的条件是：稳定和非稳定谐振腔稳定和非稳定谐振腔 Stable resonatorUnstableresonatorUnstable resonators have much bigger beam sizes(although they have a hole),and so are better for high-power lasers.光学谐振腔的稳定图光学谐振腔的稳定图以以g1、g2作为横作为横纵坐标轴建立平纵坐标轴建立平面，以面，以g1=0、g2=0、双曲线、双曲线g1g2=1所围成的所围成的区域为腔的稳定区域为腔的稳定工作区域。其余工作区域。其余为非稳区。分界为非稳区。分界线为临界腔。线为临界腔。
