1、3.4 3.4 第二类换元积分法第二类换元积分法 二、例题分类讲解二、例题分类讲解 一、第二类换元积分法一、第二类换元积分法1-思考：思考：求求 dxx11 该不定积分不能直接积分，也不属于常见的凑该不定积分不能直接积分，也不属于常见的凑微分法的类型。微分法的类型。该积分该积分矛盾矛盾在于在于被积函数含有根式被积函数含有根式，为了，为了去掉根去掉根号号，我们可以做变量代换，令，我们可以做变量代换，令tx 第二换元积分法第二换元积分法2-解解 令令tx 则则2tx tdtdx2 所以所以 dxx11 dttt12 dttt11)1(2 dtt)111(2Ctt )1ln(2上述用的变量代换求积分
2、的方法就是上述用的变量代换求积分的方法就是变量置换法变量置换法。思考：思考：求求 dxx11去根号去根号变量置换法变量置换法也称为也称为第二换元法第二换元法第二换元积分法第二换元积分法3-xxfd)(CxF )(1()xt 令令CtF )(第二换元积分法第二换元积分法tttfd)()(回代回代)(1xt 4-.1nbax 被积函数含有根式被积函数含有根式dxx 11.1求求例例解解，令令ux )0(2 uuxududx2 dxx 11duuu 12duuu 11)1(2)111(2duu Cuu )1ln(2Cxx )1ln(2回代回代使用第二类换元法的关键是合理地选择使用第二类换元法的关键是
3、合理地选择变量代换变量代换：5-例例2 2 求求.132dxxx 解解令令6ux ,65duudx dxxx 321 431uuduu56 duuu 162duuu 11162duuu 1116Cuuu|)1|ln21(62Cxxx|1|ln663663回代回代6-阅读课本例阅读课本例2.课堂练习：课后习题（课堂练习：课后习题（1）（）（2）7-axa22 ax例例 求求)0(d22 axxa解解 令令taxsin ttaxdcosd 2,2 txxad22 ttadcos22 taa222sinttad22cos12 Ctta )2sin21(22tax22xa axarcsinttadco
4、s axaarcsin22Cttta )cossin(22Cxax 222 回代回代2222.2axxa 或或被积函数含有根式被积函数含有根式8-学生自己阅读课本例学生自己阅读课本例5、例、例69-说明：说明：以上三个例子所使用的均为以上三个例子所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是是化掉根式化掉根式.一般规律如下：一般规律如下：22)1(xa 可令可令,sinuax 22)2(xa 可令可令,tanuax 22)3(ax 可令可令,secuax )2,2(u)2,0(u)2,2(u当被积函数中含有当被积函数中含有10-例例4 4 求求dxxx )2(17令令tx1,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct|21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解3.当分母阶数较高时，可采用倒代换，令当分母阶数较高时，可采用倒代换，令1xt 11-作作 业业 课后习题（课后习题（3）（）（4）12-
