1、第三节第三节一、一、变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功二、二、液体的侧压力液体的侧压力三、三、引力问题引力问题定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用 一、一、变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功设物体在连续设物体在连续变力变力 F(x)作用下沿作用下沿 x 轴从轴从 xa 移动到移动到,bx 力的方向与运动方向平行力的方向与运动方向平行,求求变力变力所做的功所做的功.xabxxxd，上上任任取取子子区区间间在在d,xxxba 在其上所作的功元在其上所作的功元素为素为xxFWd)(d 因此变力因此变力F(x)在区间在区间,ba上所作的功为上所作的功为 baxxFWd)(,16,10.1厘
2、米厘米把它拉长到把它拉长到有一力有一力厘米厘米一弹簧原长一弹簧原长例例P.所作的功所作的功求力求力 P,cma10Xbdxa0.cmb16.)()(弹性系数弹性系数 kaxkxPP,.是变力是变力拉力拉力解解P拉力作功拉力作功移到移到物体从物体从dxxx.)(xdaxkxdPwdbabaaxkdxaxkw22)()(.)()(kkabk1810162222例例2.一个单一个单求电场力所作的功求电场力所作的功.qorabrrdr 11解解:当单位正电荷距离原点当单位正电荷距离原点 r 时时,由由库仑定律库仑定律电场力为电场力为2rqkF 则功的元素为则功的元素为rrqkWdd2 所求功为所求功为
3、barrqkWd2 rqk1ab)11(baqk位正电荷沿直线从距离点电荷位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到处移动到 b 处处(a b),在一个带在一个带+q 电荷所产生的电场作用下电荷所产生的电场作用下,ardrkqw2.akqarqk1则则到无穷远处到无穷远处如果考虑将单位电荷移如果考虑将单位电荷移,例例3.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功试问要把桶中的水全部吸出需作多少功?解解:建立坐标系如图建立坐标系如图.oxm3xxxdm5在任一小区间在任一小区间d,xxx上的一薄层水的重力为上的一薄层水的重力为 gxd32 这薄层水吸出桶外所作的功这薄层水吸出桶外所作的功(功元素功元素)为
4、为Wdxxdg9 故所求功为故所求功为50Wxxdg9 g922xg5.112(KJ)设水的密设水的密度为度为05(KN)一蓄满水的圆柱形水桶高为一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m,底圆半径为底圆半径为3m,面积为面积为 A 的平板的平板二、液体侧压力二、液体侧压力设液体密度为设液体密度为 深为深为 h 处的压强处的压强:hpgh当平板与水面平行时当平板与水面平行时,ApP 当平板不与水面平行时当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决所受侧压力问题就需用积分解决.平板一侧所受的压力为平板一侧所受的压力为小窄条上各点的压强小窄条上各点的压强xpg33g2R 例例4.的的液体液体,求桶的一
5、个端面所受的侧压力求桶的一个端面所受的侧压力.解解:建立坐标系如图建立坐标系如图.所论半圆的所论半圆的22xRy )0(Rx 利用对称性利用对称性,侧压力元素侧压力元素RP0 xxRxdg222 oxyRxxxd222xR SpPdx g端面所受侧压力为端面所受侧压力为xd方程为方程为一水平横放的半径为一水平横放的半径为R 的圆桶的圆桶,内盛半桶密度为内盛半桶密度为 22xR 0arcsin22g4222RRxRxRxR ,d222xxR 说明说明:当桶内充满液体时当桶内充满液体时,)(gxR 小窄条上的压强为小窄条上的压强为侧压力元素侧压力元素 Pd故端面所受侧压力为故端面所受侧压力为 RR
6、xxRxRPd)(g222 奇函数奇函数3gR )(gxR RxxRR022dg4 tRxsin 令令(P350 公式公式67)oxyRxxxd三、三、引力问题引力问题质量分别为质量分别为21,mm的质点的质点,相距相距 r,1m2mr二者间的引力二者间的引力:大小大小:221rmmkF 方向方向:沿两质点的连线沿两质点的连线若考虑若考虑物体物体对质点的引力对质点的引力,则需用积分解决则需用积分解决.例例5.设有一长度为设有一长度为 l,线密度为线密度为 的均匀细直棒的均匀细直棒,其中垂线上距其中垂线上距 a 单位处有一质量为单位处有一质量为 m 的质点的质点 M,M该棒对质点的引力该棒对质点
7、的引力.解解:建立坐标系如图建立坐标系如图.y2l2l,dxxx细棒上小段细棒上小段对质点的引力大小为对质点的引力大小为 dkF xm d22xa 故垂直分力元素为故垂直分力元素为cosddFFya22dxaxmk22xaa23)(d22xaxamkaxox在在试计算试计算FdxFdyFdxxd将小段看成质点将小段看成质点dx 小段质量为小段质量为利用对称性利用对称性 223022)(d2lxaxamkFy 02222lxaaxamk 22412laalmk 棒对质点引力的水平分棒对质点引力的水平分力力.0 xF22412llmkFaa故棒对质点的引力大小为故棒对质点的引力大小为2lFdxFd
8、yFdMy2laoxxxxd棒对质点的引力的垂直分力为棒对质点的引力的垂直分力为 根据对称性根据对称性,两边的两边的.相互抵消相互抵消xF)(xfy)(xgy 第六章第六章 定积分的应用定积分的应用 习题课习题课求面积求面积一一.oxydxxgxfds)()(badxxgxfS)()(ox)(dds221 dS)(221)(tx)(ty dtttdxySba)()(ba )(;)(dcdyxS)(ygx cd求求体体积积二二.badxxAV)(.)(轴的截面积轴的截面积是垂直于是垂直于XxAoxy)(xfy ab:旋转体旋转体,轴旋转轴旋转曲边梯形绕曲边梯形绕 X,轴旋转轴旋转曲边梯形绕曲边梯
9、形绕Y.)(,badxxfVdxyvd22 .)(2,2 baxdxfxVxdyxvd oxy,轴旋转轴旋转曲边梯形绕曲边梯形绕Y.)(,dcdyygVydxvd22 曲线的长度曲线的长度三三.22)()(yddxsd 弧微分弧微分:直角坐标系下直角坐标系下,)(xfy.dxysd21,)(ygx.ydxsd21)(tx)(ty:参数方程参数方程.tdyxsd22:极坐标系下极坐标系下,)(rr.drrsd22.)(即可求得所需弧长即可求得所需弧长在相应区间上积分在相应区间上积分 basd.掌握微元分析法掌握微元分析法物理上的应用物理上的应用四四.,引力引力水压力水压力变力做功变力做功)(xf
10、y)(xgy oxy.1例例轴旋转轴旋转求曲边矩形绕求曲边矩形绕 Y.生成旋转体之体积生成旋转体之体积轴旋转生轴旋转生绕绕面积元素面积元素解解YdA.)()(baydxxgxfxV 2dxxgxfxvd)()(2:成体积微元成体积微元dAoxyz,.2直角直角的圆柱体的中轴相交成的圆柱体的中轴相交成半径为半径为例例R求两圆柱体求两圆柱体.V公共部分的体积公共部分的体积.30333163188RxRR,81.图中画出了所求体积的图中画出了所求体积的解解轴的截面轴的截面该立体垂直于该立体垂直于 X,均为正方形均为正方形,22xR 其边长为其边长为.)(22xRxA 面积面积RdxxRV0228)(
11、,.3且且与与水水面面相相切切的的球球浸浸没没水水中中半半径径为为比比重重为为例例r?,需作多少功需作多少功现将球从水中提出现将球从水中提出h.)(,.h高为高为球缺球缺球体露出水面部分球体露出水面部分设在提升过程中设在提升过程中解解,332 hrhV 球缺体积球缺体积,f此时提升球体用力为此时提升球体用力为)(hff ghrhrgr 334343233 设设水水的的比比重重为为ghrhgr 3)(34323rhdhfW20)(,)(hdhfdWhdh 则提升力作功则提升力作功增加增加 rhgdhrhr203233)(34 .)2(344 gr rhdhrhrgW203233)(34 rhhhrgrgr204331232)(34 4434)(38rggr
