1、高考数学复习：数列求和及综合问题高考数学复习：数列求和及综合问题真 题 感 悟1.(2020全国卷)数列an满足an2(1)nan3n1，前16项和为540，则a1_.解析法一因为an2(1)nan3n1，所以当n为偶数时，an2an3n1，所以a4a25，a8a617，a12a1029，a16a1441，所以a2a4a6a8a10a12a14a1692.因为数列an的前16项和为540，所以a1a3a5a7a9a11a13a1554092448.因为当n为奇数时，an2an3n1，所以a3a12，a7a514，a11a926，a15a1338，所以(a3a7a11a15)(a1a5a9a13
2、)80.由得a1a5a9a13184.又a3a12，a5a38a110，a7a514a124，a9a720a144，a11a926a170，a13a1132a1102，所以a1a110a144a1102184，所以a17.法二同法一得a1a3a5a7a9a11a13a15448.当n为奇数时，有an2an3n1，答案72.(2018全国卷)记Sn为数列an的前n项和.若Sn2an1，则S6_.解析法一因为Sn2an1，所以当n1时，a12a11，解得a11.当n2时，anSnSn12an1(2an11)，所以an2an1，所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an2n1.法二由Sn
3、2an1，得S12S11，所以S11，当n2时，由Sn2an1得Sn2(SnSn1)1，即Sn2Sn11，Sn12(Sn11)，又S112，Sn1是首项为2，公比为2的等比数列，所以Sn122n12n，所以Sn12n，S612663.答案633.(2020新高考山东卷)已知公比大于1的等比数列an满足a2a420，a38.(1)求an的通项公式；(2)记bm为an在区间(0，m(mN*)中的项的个数，求数列bm的前100项和S100.解(1)设an的公比为q(q1).由题设得a1qa1q320，a1q28.由题设得a12.所以an的通项公式为an2n.(2)由题设及(1)知b10，且当2nm2
4、n1时，bmn.所以S100b1(b2b3)(b4b5b6b7)(b32b33b63)(b64b65b100)0122223234245256(10063)480.4.(2020全国卷)设an是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项.(1)求an的公比；(2)若a11，求数列nan的前n项和.解(1)设an的公比为q，由题设得2a1a2a3，即2a1a1qa1q2.所以q2q20，解得q1(舍去)或q2.故an的公比为2.(2)记Sn为nan的前n项和.由(1)及题设可得an(2)n1，所以Sn12(2)n(2)n1，2Sn22(2)2(n1)(2)n1n(2)n.考 点 整 合(2
5、)应用an与Sn的关系式f(an，Sn)0时，应特别注意n1时的情况，防止产生错误.3.数列求和(1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并.(2)错位相减法：主要用于求数列anbn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列.4.数列与函数、不等式的交汇数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，
6、考查不等关系或恒成立问题.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列cn的前n项和An，并求出An的最值.解(1)因为an5Sn1，nN*，所以an15Sn11，(2)由(1)知bn1log2|an|2n1，数列bn的前n项和Tnn2，因此An是单调递增数列，探究提高1.给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.2.由Sn求an时，一定注意分n1和n2两种情况，最后验证两者是否能合为一个式子，若不能，则用分段形式来表示.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(1a
7、n)2a(1an)，若bn是递增数列，求实数a的取值范围.(2)bn(1an)2a(1an)(n1)2a(n1)，bn是递增数列，bn1bnn2an(n1)2a(n1)2na10，即a12n恒成立，a1.实数a的取值范围是(1，).热点二数列求和方法1分组转化求和【例2】(2020山东五地联考)已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足关于x的不等式a1x2S2x20的解集为(1，2).(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bna2n2an1，求数列bn的前n项和Tn.解(1)设等差数列an的公差为d，因为关于x的不等式a1x2S2x20的解集为(1，2)，所以数列an的通项公式为an
8、n.(2)由(1)可得，a2n2n，2an2n.因为bna2n2an1，所以bn2n12n，探究提高1.求解本题要过四关：(1)“转化”关，把不等式的解转化为方程根的问题；(2)“方程”关，利用方程思想求出基本量a1及d；(3)“分组求和”关，观察数列的通项公式，把数列分成几个可直接求和的数列；(4)“公式”关，会利用等差、等比数列的前n项和公式求和.2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组.本题易忽视数列通项的下标如错得a2nn，应注意“”左右两边保持一致.【训练2】(2020潍坊调研)设等差数列an的前n项和为Sn，且a28，S440.数列bn的前n项和为
9、Tn，且Tn2bn30，nN*.解(1)设等差数列an的公差为d，因为Tn2bn30，所以当n1时，b13，当n2时，Tn12bn130，两式相减，得bn2bn1(n2)，则数列bn为首项为3，公比为2的等比数列，所以bn32n1.当n为奇数时，法一n1(n3)为偶数，PnPn1cn2(n1)1(n1)224n2nn22n1，n1时符合上式.方法2裂项相消求和【例3】(2020江南六校调研)设数列an的前n项和为Sn，已知S12，an1Sn2.(1)证明由已知，得a1S12，a2S124，当n2时，anSn12，所以an1an(Sn2)(Sn12)an，所以an12an(n2).(2)解由(1
10、)可得an2n，所以bnn.探究提高1.裂项相消求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项.2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.【训练3】设数列an满足a13a2(2n1)an2n.解(1)因为a13a2(2n1)an2n，故当n2时，a13a2(2n3)an12(n1)，方法3错位相减法求和【例4】(2020济南统测)在a35，a2a56b2，b22，a3a43b3，S39，a4a58b2这三个条件中任选一个，补充至横线上，并解答问题.解选条件.(1)a35，a2a56b2，a1b1
11、，dq，d1，选条件.(1)b22，a3a43b3，a1b1，dq，d1，选条件.(1)S39，a4a58b2，a1b1，dq，d1，探究提高1.一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解.2.在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“SnqSn”的表达式.【训练4】(2020潍坊模拟)在b2n2bn1，a2b1b2，b1，b2，b4成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解.解因为a11，an13an，所以an是
12、以1为首项，3为公比的等比数列，所以an3n1.选时，设数列bn的公差为d1.因为a23，所以b1b23().因为b2n2bn1，所以当n1时，b22b11().选时，设数列bn的公差为d2.因为a23，所以b1b23，即2b1d23.因为d20，所以b1d2，从而d2b11，所以bnn.(1)求数列an的通项公式；(2)数列an的前n项和为Sn，等比数列bn中，b1a1，b2a2，数列bn的前n项和为Tn，请写出适合条件TnSn的所有n的值.an1f(an)，且a11.an1an2，则an1an2，因此数列an是公差为2，首项为1的等差数列.an12(n1)2n1.等比数列bn中，设公比为q
13、，b1a11，b2a23，q3.bn3n1，又nN*，n1，或n2.故适合条件TnSn的所有n的值为1和2.探究提高1.求解数列与函数交汇问题要注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别注意；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.【训练5】已知数列an与bn满足：a1a2a3an2bn(nN*)，若an是各项为正数的等比数列，且a12，b3b24.(1)解由题意知，a1a2a3an2bn，当n2时，a1a2a3an12bn1，可得an2(bnbn1)a32(b3b2)248，a12，an0，设an的公比为q，a1q28q2，an22n12n(nN*).
