1、第第1717章章 一元二次方程一元二次方程整理与复习整理与复习1、了解一元二次方程及相关概念；2、会用适当的方法解一元二次方程；3、能以一元二次方程为工具解决一些简单的实际问题。1、一元二次方程的概念、一元二次方程的概念 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程的整式方程称为一元二次方程.2、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的一般形式axax2 2+bx+c=0(a+bx+c=0(a、b b、c c为常数，为常数，a0a0）常数项常数项二次项二次项一次项一次项a为二次项系数为二次项系数b为一次项系数为一次项系数 二次项系数a为
2、什么不等于0呢？判别一个方程是判别一个方程是一元二次方程的一元二次方程的重要条件！重要条件！解法3、一元二次方程的解法、一元二次方程的解法直接开平方法配方法公式法因式分解法aacbbxacbacbxax2404)0(0222时，它的根是当最常用的方法是因式分解法；最通用的方法是公式法；最具有局限性的方法是直接开平方法；最繁琐的方法是配方法.比较ac4b2 0ac4b2000两不相等实根两不相等实根两相等实根两相等实根无实根无实根一元二次方程一元二次方程 根的判式是:002acbxax判别式的情况判别式的情况根的情况根的情况定理与逆定理定理与逆定理0ac4b2042acb两个不相等实根两个不相等
3、实根 两个相等实根两个相等实根 无实根无实根(无解无解)4、一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式2120,0,xbxcax x如果a的两个根是5 5、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根与系数的关系1212,bcxxx xaa 那么6、用一元二次方程解决问题、用一元二次方程解决问题实际问题实际问题数学问题数学问题数学模型（一元二次方程）数学模型（一元二次方程）检验检验1、类型2、思路（1）面积（体积）问题；（2）增长率问题；（3）经济问题；（4）运动问题；（1）审（2）设（3）列（4）解（5）验（6）答3、步骤类型一：概念类问题D下列关于x的方程：1)4(,02)3(,53)2(
4、,032)1(223222yxxxxxxx其中是一元二次方程的有（）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个例1关于x的方程（m+3)x|m|-1-2x+4=0是一元二次方程，则m=.解：由题意得：|m|-1=2且m+30解得 m=33例2A1.下列方程是一元二次方程的是（）1.,2)5(.,53.,92.2222yxDxxxxCxxBxA2.若关于x的方程 是一元二次方程，则a=。052)2(22xxaa点拨：由题意知a2-2=2且a-20.解得：a=-2-2类型二：解法类问题（解方程）解：化二次项系数为解：化二次项系数为1 21,245431625)43()43(1)43(231232122
5、222xxxxxxxx 用配方法解方程：2x2-3X=2例3（1）2（x-1)2=32 解：（x-1)2=16 x-1=4 x1=5,X2=-3用适当的方法解下列方程.例4(2)3x(2)3x2 2+4x=2+4x=2解：原方程可变形为解：原方程可变形为3x3x2 2+4x-2=0+4x-2=0a=3,b=4,c=-2a=3,b=4,c=-2bb2 2-4ac=4-4ac=42 2+4+43 3（-2-2）=40=400 03102,31023240421xxx直接开平方法公式法请用四种方法解方程：（请用四种方法解方程：（2x-3)2x-3)2 2=x=x2 2解法一（因式分解法）：（2x-3
6、)2-x2=0(2x-3+x)(2x-3-x)=0(3x-3)(x-3)=0 x1=1,x2=3解法二（直接开平方法）：2x-3=x或2x-3=-xx1=1,x2=3解法三（公式法）：原方程可化为x2-4x+3=0b2-4ac=4,代入公式x1=1,x2=3解法四（配方法）：原方程可化为x2-4x=-3 x2-4x+4=-3+4 (x-2)2=1 x-2=1 x1=1,x2=3类型三：解法类问题（判别式）解：由方程知：a=3,b=2,c=-9b2-4ac=22-43（-9）=1120原方程有两个不相等的实数根.不解方程，判别方程3x2+2x-9=0根的情况.例51、关于x的方程022mmxx的
7、根的情况是（）A、有两个不相等的实根B、根的情况与m的取值有关B、有两个相等的实根D、没有实数根A变式演练：2、关于x的方程0)12()2(2axaxa有实数根，则a的取值范围为_。41a3、关于x一元二次方程098)6(2xxa（1）求a的最大整数值；（2）当a取最大整数值时，求出该方程的根。记得检验二次项系数不等于0有实数根。例例7、已知、已知 、是一元二次方程是一元二次方程 的两根，且的两根，且 求求k的值。的值。1x2x0132 kxx1321 xx检验检验：当：当k=30时，时，=169-120=490 k=30解：依题意得，解：依题意得，kxx 211321 xx1321 xx13
8、1322 xx32 x101 x30103 k注意：注意：1 1、a0 a0 2 2、0 0 3 3、实际意义、实际意义类型四：一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程0122mmxx的两个实数根的平方和为的两个实数根的平方和为23，求，求m的值。的值。类型五：应用类问题（面积问题）典型问题三:应用类（面积问题）用用7m长的铝合金做成透光面积（矩形长的铝合金做成透光面积（矩形ABCD的面积）的面积）为为2 m2的的“日日”型窗框（型窗框（2AB3BC)，求窗框的宽度？（铝，求窗框的宽度？（铝合金的宽度忽略不计）合金的宽度忽略不计）例7A
9、DCBEF解：设窗框的宽度BC=xm，则高度AB=237x根据题意得：2237xx解得：1,3421xx当.212334ABxABx?答：窗框的宽度为窗框的宽度为1m.当类型五：应用类问题（经济问题）某商场销售一批衬衫，每件成本为某商场销售一批衬衫，每件成本为50元，如果按每件元，如果按每件60元元出售，可销售出售，可销售800件；如果每件提价件；如果每件提价5元出售，其销售量就减少元出售，其销售量就减少100件件.如果商场销售这批衬衫要获利润如果商场销售这批衬衫要获利润12000元，又使顾客获得元，又使顾客获得更多的优惠，那么这种更多的优惠，那么这种 衬衫售价应定为多少元？衬衫售价应定为多少
10、元？例8解：因为每件提价解：因为每件提价5元出售，其销售量就减少元出售，其销售量就减少100件件.所以每件提所以每件提价价1元出售，其销售量就减少元出售，其销售量就减少20件件.于是设这种衬衫的售价为于是设这种衬衫的售价为x元元.根据题意，得根据题意，得（x-50)800-20(x-60)=12000 (x-70)(x-80)=0 x1=70,x2=80经检验经检验x1=70,x2=80是方程的解，因为使顾客获得更多的优惠，所是方程的解，因为使顾客获得更多的优惠，所以以x2=80不符合题意，应舍去不符合题意，应舍去.答：这种衬衫的定价应定为答：这种衬衫的定价应定为70元元.类型五：应用类问题（
11、运动问题）如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动.经过多长时间P、Q之间的距离是10cm？例10ABCPDQBCAPDQEEPE=16-3x-2xPE=3x+2x-16解：经过xs后，P、Q两点之间的距离是10cm.根据题意，得：(16-2x-3x)2+62=102解得x1=1.6,x2=4.8.经检验x1=1.6,x2=4.8都是方程的根且符合题意.答：经过1.6s或4.8s后，P、Q两点之间距离为10cm.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？变式练习3解：设每台冰箱应降价x元.4800)5048)(400(xx
