1、 若两个变量若两个变量x,yx,y间的关系式可以表示成间的关系式可以表示成y=kx+b(k,by=kx+b(k,b为常数为常数,k,k不为零）的形式不为零）的形式,则称则称y y是是x x的的一次函数一次函数 .其中其中x x为自变量为自变量.特别地特别地,当当b=0b=0时时,称称y y是是x x的的正比例函数正比例函数.1.什么叫一次函数什么叫一次函数?回顾与思考回顾与思考2、函数有哪几种表示方式？、函数有哪几种表示方式？列表法、解析式法、图象法。列表法、解析式法、图象法。一、知识要点：一、知识要点：1、一次函数的概念：函数、一次函数的概念：函数y=_(k、b为常为常数，数，k_)叫做一次
2、函数。当叫做一次函数。当b_时，函数时，函数y=_(k_)叫做正比例函数。叫做正比例函数。kx b=kx理解一次函数概念应理解一次函数概念应注意注意下面两点：下面两点：、解析式中自变量、解析式中自变量x的次数是的次数是_次，、次，、比例系数比例系数_。1K0 2、正比例函数、正比例函数y=kx(k0)的图象是过点的图象是过点（_），），(_)的的_。3、一次函数、一次函数y=kx+b(k0)的图象是过点（的图象是过点（0，_),（_，0)的的_。0，01，k 一条直线一条直线b一条直线一条直线kb4、一次函数的性质一次函数一次函数正比例函数正比例函数一次函数一次函数Y=kx(k0)Y=kx(k
3、0)图象图象是经过是经过(0(0，0)0)，（，（1 1，k)k)两点的一条直线两点的一条直线.K0K0K0b0b0Y Y随随x x增大而增大而增大增大Y Y随随x x增大而增大而减少减少Y Y随随x x增大而增大而增大增大Y Y随随x x增大而增大而减少减少二、范例。二、范例。例填空题：例填空题：(1)有下列函数：有下列函数：,。其中过原点的直。其中过原点的直线是线是_；函数；函数y随随x的增大而增大的是的增大而增大的是_；函数函数y随随x的增大而减小的是的增大而减小的是_；图象在第一、二、；图象在第一、二、三象限的是三象限的是_。56xyxy24 xy34 xy、(2)、如果一次函数、如果
4、一次函数y=kx-3k+6的图象经过原点，那么的图象经过原点，那么k的值为的值为_。(3)、已知、已知y-1与与x成正比例，且成正比例，且x=2时，时，y=4，那么那么y与与x之间的函数关系式为之间的函数关系式为_。123xyk=2 例例2已知一次函数已知一次函数182)3(2kxky(1)k为何值时为何值时,它的图象经过原点它的图象经过原点(2)k 为何值时为何值时,它的图象经过点它的图象经过点(0,-2)(3)k 为何值时为何值时,它的图象平行直线它的图象平行直线 y=-x(4)k为何值时为何值时,它的图象向下平移后它的图象向下平移后,变成直线变成直线y=2x+8(5)k 为何值时为何值时
5、,y随随x的增大而减的增大而减 小小例例3.求下列函数自变量的取值范围求下列函数自变量的取值范围(使函数式使函数式有意义有意义):1(3)21yxx 1(1)1yx(2)1y x 例例4 4、已知已知y与与x1 1成正比例，成正比例，x=8=8时，时，y=6=6，写出写出y与与x之间函数关系式，并分别求出之间函数关系式，并分别求出x=-3=-3时时y的值和的值和y=-3时时x的值的值。解：由解：由 y与与x1 1成正比例可设成正比例可设y=k（x-1）当当x=8=8时，时，y=6=6 7k=6 y与与x之间函数关系式是：之间函数关系式是：y=y=（x x-1-1）76k76当当x=4=4时，时
6、，y=（41）=767185.2当当y=-3=-3时，时，-3=（X1）X=76bkxy用待定系数法求函用待定系数法求函数解析式步骤：数解析式步骤：解：一次函数当解：一次函数当x=1时，时，y=5。且它的图象与且它的图象与x轴交点轴交点是（，）。由题意得是（，）。由题意得065bkbk解得解得61bk一次函数的解析式为一次函数的解析式为y=-x+6。点评点评：用待定系数法求一次函数：用待定系数法求一次函数y=kx+b的解析式，可由已知的解析式，可由已知条件给出的两对条件给出的两对x、y的值，列出关于的值，列出关于k、b的二元一次方程组。的二元一次方程组。由此求出由此求出k、b的值，就可以得到所
7、求的一次函数的值，就可以得到所求的一次函数的解析式。的解析式。例例5、已知一次函数、已知一次函数y=kx+b(k0)在在x=1时，时，y=5，且且它的图象与它的图象与x轴交点的横坐标是，求这个一次函数的轴交点的横坐标是，求这个一次函数的解析式。解析式。例例6 等腰三角形等腰三角形ABC周长为周长为12cm，底边，底边BC长为长为ycm，腰，腰AB长为长为xcm.（1）写出）写出y关于关于x的函数关系式；的函数关系式；（2）求出）求出x的取值范围；的取值范围；（3）求出）求出y的取值范围的取值范围.例柴油机在工作时油箱中的余油量例柴油机在工作时油箱中的余油量Q(千克）千克）与工作时间与工作时间t
8、（小时）成一次函数关系，当工作开始时小时）成一次函数关系，当工作开始时油箱中有油油箱中有油40千克，工作千克，工作3.5小时后，油箱中余油小时后，油箱中余油22.5千克千克(1)写出余油量写出余油量Q与时间与时间t的函数关系式；（的函数关系式；（2）画出）画出这个函数的图象。这个函数的图象。解：（）设解：（）设ktb。把把t=0，Q=40；t=3.5，Q=22.5分别代入上式，得分别代入上式，得bkb5.35.2240解得解得405bk解析式为：解析式为：Qt+40(0t8)（）、取（）、取t=0，得得Q=40；取取t=，得得Q=。描出点描出点（，（，40），），B（8，0）。）。然后连成线段
9、然后连成线段AB即是所即是所求的图形。求的图形。点评点评：（1）求出函数关系式时，）求出函数关系式时，必须找出自变量的取值范围。必须找出自变量的取值范围。（2）画函数图象时，应）画函数图象时，应根据函数自变量的取值范围来根据函数自变量的取值范围来确定图象的范围。确定图象的范围。204080tQ图象是包括图象是包括两端点的线段两端点的线段.AB例：已知例：已知y是是X的一次函数，图象过点（的一次函数，图象过点（1，-2）（1）求函数解析式？）求函数解析式？变式一：图象过点（变式一：图象过点（-1，-6）求函数解析式？）求函数解析式？变式二：函数图象平行直线变式二：函数图象平行直线y=2X，求函数
10、解析式？，求函数解析式？（2）画出函数的图象？）画出函数的图象？(3)函数与函数与X轴交点坐标轴交点坐标A ，与，与y轴交点坐标轴交点坐标 。（4）当）当X=0.5时时,则则y=.当当y=8 时时,则则X=。当当X 时，函数时，函数y2.（5）当）当-1X2时，则函数时，则函数Y的取值范围是的取值范围是 。(6)如果如果P1(X1,Y1),P2(X2,Y2),P3(X3,Y3)是图象上的三点是图象上的三点,且且X3X2X1 ，则则y1 y2y3。（）图象与坐标轴围成的面积是（）图象与坐标轴围成的面积是。（）原点到直线的距离是（）原点到直线的距离是。（）该图象沿轴向上平移个单位，所得函数（）该图
11、象沿轴向上平移个单位，所得函数关系式关系式（）图象沿轴向左平移个单位呢？（）图象沿轴向左平移个单位呢？、在轴上找点，使是等腰三角形，符合条、在轴上找点，使是等腰三角形，符合条件的点有件的点有个个例，直线例，直线yx分别交轴，轴于，两点，分别交轴，轴于，两点，在直线上是否存在点，使直线把分成在直线上是否存在点，使直线把分成面积相等的两部分，如能，请求出的解析式；如不能，面积相等的两部分，如能，请求出的解析式；如不能，请说明理由。请说明理由。例例10.一农民带上若干千克自产的土豆进城出售一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了为了方便方便,他带了一些零钱备用他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后
12、按市场价售出一些后,又降价出售又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有的钱售出的土豆千克数与他手中持有的钱数数(含备用零钱含备用零钱)的关系的关系,如图所示如图所示,结合图象回答下结合图象回答下列问题列问题.(1)农民自带的零钱是多少农民自带的零钱是多少?(2)试求降价前试求降价前y与与x之间的关系式之间的关系式(3)由表达式你能求出降价前每千由表达式你能求出降价前每千 克的土豆价格是多少克的土豆价格是多少?(4)降价后他按每千克降价后他按每千克0.4元将剩余元将剩余土豆售完土豆售完,这时他手中的钱这时他手中的钱(含备用含备用零钱零钱)是是26元元,试问他一共带了多少千克土豆试问他一共带了多少
13、千克土豆?例例11.已知直线已知直线 y=2x4(1)求直线关于求直线关于x轴对称的函数关系式轴对称的函数关系式(3)求直线绕原点旋转求直线绕原点旋转1800时的函数关系式时的函数关系式(2)求直线关于求直线关于y轴对称的函数关系式轴对称的函数关系式y=2x+4y=2x-4y=2x+4一次函数一次函数y=y=k kx+b(k0)x+b(k0)的图象是的图象是经过点经过点(0,b)(0,b)且平行于直线且平行于直线y=y=k kx x(k0)(k0)的一条直线。的一条直线。)0(kbkxy(0,b)0(kkxyxyoy=2x+1xyoy=2xxyoy=2xy=2x-1直线直线y=2x-1y=2x
14、-1是由直线是由直线y=2xy=2x向向下下平移平移 个单位得到。个单位得到。1直线直线y=2x-3y=2x-3是由直线是由直线y=2x+1y=2x+1向向 平移平移 个单位得到。个单位得到。下下41、在下列函数中，、在下列函数中，x是自变量，是自变量，y是因变量，是因变量，那些是一次那些是一次函数？那些是正比例函数？函数？那些是正比例函数？y=2x y=3x+1 y=x2xy5 2、某函数具有下列两条性质、某函数具有下列两条性质（1）它的图像是经过原点（）它的图像是经过原点（0，0）的一条直线；）的一条直线；（2）y的值随的值随x值的增大而增大。值的增大而增大。请你举出一个满足上述条件的函数
15、（用关系式表示）请你举出一个满足上述条件的函数（用关系式表示）3、函数、函数 的图像与的图像与x轴交点坐标为轴交点坐标为_,与与y轴的交点坐标为轴的交点坐标为_。4x32y .下列各点中下列各点中,那些点在函数那些点在函数y=4x+1的图象上的图象上?那些不在函数的图象上那些不在函数的图象上?(2,9)(5,1)(-1,-3)(-0.5,-1).若函数若函数y=2x-3 的图象经过点的图象经过点(1,a),(b,2)两点两点,则则a=b=.点已知点已知M(-3,4)在一次函数在一次函数y=ax+1的的图象上图象上,则则a的值是的值是、若函数、若函数ykx+b的图像经过点（的图像经过点（3，2）
16、和（）和（1，6）求求k、b及函数关系式。及函数关系式。、（、（1）对于函数）对于函数y5x+6，y的值随的值随x值的减小而值的减小而_。（2）对于函数）对于函数 ,y的值随的值随x值的值的_而增大。而增大。x3221y 、直线、直线ykx+b过点（过点（1，3）和点（）和点（1，1），则），则 _。bk、已知一次函数、已知一次函数y=kx+b的图象经过的图象经过A(a，6)，B（4，b）两两点。点。a，b是一元二次方程是一元二次方程 的两根，且的两根，且ba。（1）、）、求这个一次函数的解析式。（求这个一次函数的解析式。（2）在坐标平面内画）在坐标平面内画出这个函数的图象。出这个函数的图象。
17、0652 xx、已知函数、已知函数 问当问当m为何值为何值时，它是一次函数？时，它是一次函数？4mX)2m(y5m5m2 、在直角坐标系中，一次函数、在直角坐标系中，一次函数ykxb的图像经过三的图像经过三点点A（2，0）、）、B（0，2）、）、C（m，3），求这个函数），求这个函数的关系式，并求的关系式，并求m的值。的值。、已知一次函数的图像经过点、已知一次函数的图像经过点A（2，1）和点）和点B，其中点其中点B是另一条直线是另一条直线 与与y轴的交点，求这轴的交点，求这个一次函数的表达式。个一次函数的表达式。3x21y 1、如果、如果 是正比例函数，而且对于它的是正比例函数，而且对于它的每
18、一组非零的对应值（每一组非零的对应值（x，y）有）有xy0，求，求m的值。的值。8m2mxy 1、如果、如果y+3与与x+2成正比例，且成正比例，且x3时，时，y7（1）写出）写出y与与x之间的函数关系式；之间的函数关系式；（2）求当）求当x1时，时，y的值；的值；（3）求当）求当y0时，时，x的值。的值。1、已知：、已知：y+b与与x+a（a，b是常数）成正比例。是常数）成正比例。求证：求证：y是是x的一次函数。的一次函数。1、为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城、为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水标准如下：每户每月用水量不超过市规定用水标准如下：每户每月用水量不
19、超过6米米3时，水时，水费按费按0.6元元/米米3收费，每户每月用水量超过收费，每户每月用水量超过6米米3时，超过的时，超过的部分按部分按1元元/米米3。设每户每月用水量为。设每户每月用水量为x米米3，应缴纳，应缴纳y元。元。（1）写出每户每月用水量不超过）写出每户每月用水量不超过6米米3和每户每月用水量和每户每月用水量超过超过6米米3时，时，y与与x之间的函数关系式，并判断它们是否为之间的函数关系式，并判断它们是否为一次函数。一次函数。（2）已知某户）已知某户5月份的用水量为米月份的用水量为米3，求该用户，求该用户5月份的水月份的水费。费。1、某医药研究所开发了一种新药，在实际验药时发现，、
20、某医药研究所开发了一种新药，在实际验药时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y（毫（毫克）随时间克）随时间x（时）的变化情况如图所示，当成年人按规定（时）的变化情况如图所示，当成年人按规定剂量服药后。剂量服药后。（1）服药后）服药后_时，血液中含药量最高，时，血液中含药量最高，达到每毫升达到每毫升_毫克，接着逐步衰弱。毫克，接着逐步衰弱。（2）服药）服药5时，血液中含药量为每毫升时，血液中含药量为每毫升_毫克。毫克。（3）当）当x2时时y与与x之间的函数关系式是之间的函数关系式是_。（4）当）当x2时时y与与x之间的函数关系式是之间
21、的函数关系式是_。（5）如果每毫升血液中含药量）如果每毫升血液中含药量3毫克或毫克或3毫克以上毫克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间范围是时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间范围是_时。时。.x/时时y/毫克毫克6325O1，已知已知ym与与xn成正比例（其中成正比例（其中m，n是是常数）常数）（1）y是是x关于关于x的一次函数吗？的一次函数吗？（2）如果当）如果当y=15时，时，x=1；当当x=7时，时，y=1.求求y关于关于x的函数解析式。的函数解析式。（3）在（）在（2）的前提下，若已知）的前提下，若已知y2,求自变量求自变量x的取的取值范围值范围.已知一次函数已知一次函数y=kx
22、+b,y随着随着x的增大而减小的增大而减小,且且kb0,则在直角坐标系内它的大致图象是则在直角坐标系内它的大致图象是()(A)(B)（C）（D）A2、拖拉机开始工作时，油箱中有油、拖拉机开始工作时，油箱中有油24升，如果每小时耗油升，如果每小时耗油4升，升，那么油箱中的剩油量那么油箱中的剩油量y（升）与工作时间（升）与工作时间x（时）之间的函数（时）之间的函数 关系式和图象是（关系式和图象是（）y=4x24(0 x 6)y=4x+24 y=4x24 y=244x(0 x 6)3：如图所示，向高为：如图所示，向高为H的圆柱形杯中注水，已知水杯底面半的圆柱形杯中注水，已知水杯底面半 径为径为2，那
23、么注水量，那么注水量y与水深与水深x的函数关系的图象是（的函数关系的图象是（）y y y y 6240 x 24 6O X O 6 X 2424O 6 XD(A)(B)(C)(D)-y y y yO O O O H x H x H x H x(A)(B)(C)(D)A4、填空题：、填空题：(1)有下列函数：有下列函数：,。其中过原点的直。其中过原点的直线是线是_；函数；函数y随随x的增大而增大的是的增大而增大的是_；函数函数y随随x的增大而减小的是的增大而减小的是_；图象在第一、二、；图象在第一、二、三象限的是三象限的是_。56xyxy24 xy34 xy、(2)、已知、已知y-1与与x成正比
24、例，且成正比例，且x=2时，时，y=4，那么，那么y与与x之间的函数关系式为之间的函数关系式为_。123xy5、在下列函数中，、在下列函数中，x是自变量，是自变量，y是是x的函数，的函数，那些是那些是一次函数？那些是正比例函数？一次函数？那些是正比例函数？y=2x y=3x+1 y=x2xy5 6、某函数具有下列两条性质、某函数具有下列两条性质（1）它的图像是经过原点（）它的图像是经过原点（0，0）的一条直线；）的一条直线；（2）y的值随的值随x值的增大而增大。值的增大而增大。请你举出一个满足上述条件的函数（用关系式表示）请你举出一个满足上述条件的函数（用关系式表示）7、函数、函数 的图像与的
25、图像与x轴交点坐标为轴交点坐标为_,与与y轴的交点坐标为轴的交点坐标为_。4x32y 8.设点设点P(3,m),Q(n,2)都在函数都在函数y=x+b的图象上的图象上,求求m+n的值为的值为。数形结合训练：数形结合训练：1、已知一次函数、已知一次函数y=kx+b(k0)平行于平行于直线直线y=3x，且过点，且过点(1,4)，求函数解析式。，求函数解析式。2、已知一次函数、已知一次函数y=kx+b(k0)在在y轴上轴上的截距是的截距是-2，且过点，且过点(1,3)，求函数解析式。，求函数解析式。函数解析式为：函数解析式为：y=3x+1y=3x+1函数解析式为：函数解析式为：y=5x-2y=5x-
26、23、在直角坐标系中，一次函数、在直角坐标系中，一次函数ykxb的图像经过三的图像经过三点点A（2，0）、）、B（0，2）、）、C（m，3），求这个函数），求这个函数的关系式，并求的关系式，并求m的值。的值。4、已知一次函数的图像经过点、已知一次函数的图像经过点A（2，1）和点）和点B，其中点其中点B是另一条直线是另一条直线 与与y轴的交点，求这轴的交点，求这个一次函数的表达式。个一次函数的表达式。3x21y 解：由一次函数当解：由一次函数当x=1时，时，y=5；且它的图象与；且它的图象与x轴交点轴交点是（，），得是（，），得065bkbk解得解得61bk一次函数的解析式为一次函数的解析式为y
27、=-x+6。点评点评：用待定系数法求一次函数：用待定系数法求一次函数y=kx+b的解析式，可由已知的解析式，可由已知条件给出的两对条件给出的两对x、y的值，列出关于的值，列出关于k、b的二元一次方程组。的二元一次方程组。由此求出由此求出k、b的值，就可以得到所求的一次函数的值，就可以得到所求的一次函数的解析式。的解析式。5、已知一次函数、已知一次函数y=kx+b(k0)在在x=1时，时，y=5，且，且它的图象与它的图象与x轴交点的横坐标是，求这个一次函数的轴交点的横坐标是，求这个一次函数的解析式。解析式。有两条直线有两条直线l l1 1:y=ax+b :y=ax+b 和和l l2 2:y=cx-5,:y=cx-5,学生甲解出学生甲解出它们的交点为（它们的交点为（3 3，-2-2）；乙学生因看错）；乙学生因看错c c而解出而解出它们它们 的交点为（的交点为（3/43/4，1/41/4），试写出这两条直线），试写出这两条直线的表达式与的表达式与x x轴所围成的三角形面积轴所围成的三角形面积.
