1、第二章函数及其应用第一节函数及其表示(全国卷5年10考)【知识梳理知识梳理】1.1.函数与映射的概念函数与映射的概念函数函数映射映射两集合两集合A,BA,BA,BA,B是两个是两个_A,BA,B是两个是两个_非空数集非空数集非空集合非空集合函数函数映射映射对应对应关关系系f:f:ABAB如果按照某种确定如果按照某种确定的对应关系的对应关系f,f,使对使对于集合于集合A A中的中的_一个数一个数x,x,在集合在集合B B中都有中都有_的数的数f(x)f(x)与之对应与之对应如果按某一个确定如果按某一个确定的对应关系的对应关系f,f,使对使对于集合于集合A A中的中的_一个元素一个元素x,x,在集
2、合在集合B B中都有中都有_的元素的元素y y与之对应与之对应任意任意唯一确定唯一确定任意任意唯一确定唯一确定函数函数映射映射名称名称称称_为从为从集合集合A A到集合到集合B B的一个函数的一个函数称对应称对应_为从集合为从集合A A到到集合集合B B的一个映射的一个映射记法记法y=f(x),xAy=f(x),xA对应对应f:ABf:ABf:ABf:ABf:ABf:AB2.2.函数的有关概念函数的有关概念(1)(1)函数的定义域、值域函数的定义域、值域在函数在函数y=f(x),xAy=f(x),xA中中,x,x叫做自变量叫做自变量,x,x的取值范围的取值范围A A叫叫做函数做函数的的_;_;
3、与与x x的值相对应的的值相对应的y y值叫做值叫做_,_,函数值的集合函数值的集合f(x)|xAf(x)|xA叫做函数的叫做函数的_._.定义域定义域函数值函数值值域值域(2)(2)函数的三要素函数的三要素:_:_、_和和_._.(3)(3)函数的表示法函数的表示法表示函数的常用方法有表示函数的常用方法有_、_和和_._.定义域定义域对应关系对应关系值域值域解析法解析法图象法图象法列表法列表法3.3.分段函数分段函数若函数在其定义域的不同子集上若函数在其定义域的不同子集上,因因_不同而不同而分别用几个不同的式子来表示分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数这种函数称为分段函数.分段函
4、数的定义域等于各段函数的定义域的分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_,_,其其值域等于各段函数的值域的值域等于各段函数的值域的_,_,分段函数分段函数虽由几个虽由几个部分组成部分组成,但它表示的是一个函数但它表示的是一个函数.对应关系对应关系并集并集并集并集【常用结论常用结论】1.1.函数与映射的相关结论函数与映射的相关结论(1)(1)相等函数相等函数如果两个函数的定义域相同如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致并且对应关系完全一致,则这两个函数相等则这两个函数相等.(2)(2)映射的个数映射的个数若集合若集合A A中有中有m m个元素个元素,集合集合B B中有中有n n个元素个元
5、素,则从集合则从集合A A到到集合集合B B的映射共有的映射共有n nm m个个.(3)(3)与与x x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1 1个交点个交点.2.2.简单函数定义域的类型简单函数定义域的类型(1)f(x)(1)f(x)为分式型函数时为分式型函数时,定义域为使分母不为零的实定义域为使分母不为零的实数集合数集合.(2)f(x)(2)f(x)为偶次根式型函数时为偶次根式型函数时,定义域为使被开方式非定义域为使被开方式非负的实数的集合负的实数的集合.(3)f(x)(3)f(x)为对数式时为对数式时,函数的定义域是真数为正数、函数的定义域是真数为正数、底
6、数为正且不为底数为正且不为1 1的实数集合的实数集合.(4)(4)若若f(x)=xf(x)=x0 0,则定义域为则定义域为x|x0.x|x0.(5)(5)正切函数正切函数y=tan xy=tan x的定义域为的定义域为 x|xkkZ.2，【基础自测基础自测】题组一题组一:走出误区走出误区1.1.判断下列结论是否正确判断下列结论是否正确(请在括号中打请在括号中打“”“”或或“”)”)(1)(1)对于函数对于函数f:AB,f:AB,其值域就是集合其值域就是集合B.B.()(2)(2)若两个函数的定义域与值域相同若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相则这两个函数相等等.()(3)(3)若若A=
7、R,B=x|x0,f:xy=|x|,A=R,B=x|x0,f:xy=|x|,其对应是从其对应是从A A到到B B的的映射映射.()(4)(4)分段函数是由两个或几个函数组成的分段函数是由两个或几个函数组成的.(.()提示提示:(1)(1).由函数定义知由函数定义知,值域为集合值域为集合B B的子集的子集.故错故错误误.(2)(2).当两个函数的定义域和对应关系相同时才是相当两个函数的定义域和对应关系相同时才是相等函数等函数,定义域与值域相同但对应关系不一定相同定义域与值域相同但对应关系不一定相同.故故错误错误.(3)(3).对于对于A A中元素中元素0,0,在在B B中无元素对应中无元素对应,
8、故不能形成映故不能形成映射射.(4)(4).由分段函数概念知由分段函数概念知,分段函数为一个函数分段函数为一个函数,故错故错误误.2.2.设函数设函数f(x)=f(x)=若若f(a)+f(-1)=2,f(a)+f(-1)=2,则则a=_.a=_.xx0 xx0，【解析解析】若若a0,a0,则则 +1=2,+1=2,得得a=1;a=1;若若a0,a0,x0,排除排除A,B;y=|x|A,B;y=|x|的定义域为的定义域为x|xR,x|xR,对应关对应关系与系与y=xy=x的对应关系不同的对应关系不同,排除排除C;C;而而y=()y=()3 3=x=x的定义的定义域与对应关系与域与对应关系与y=x
9、y=x均相同均相同.2xx2log x22x3x3.(20163.(2016全国卷全国卷)下列函数中下列函数中,其定义域和值域分别其定义域和值域分别与函数与函数y=10y=10lg xlg x的定义域和值域相同的是的定义域和值域相同的是()(源于必修源于必修1P181P18例例2)2)A.y=xA.y=xB.y=lg xB.y=lg xC.y=2C.y=2x x D.y=D.y=1x【解析解析】选选D.y=10D.y=10lg xlg x=x,=x,其定义域与值域均为其定义域与值域均为(0,+).(0,+).函数函数y=xy=x的定义域和值域都是的定义域和值域都是R;R;函数函数y=lg xy
10、=lg x的定义域为的定义域为(0,+),(0,+),值域为值域为R;R;函数函数y=2y=2x x的定义域为的定义域为R,R,值域为值域为(0,+);(0,+);函数函数y=y=的定义域与值域均为的定义域与值域均为(0,+).(0,+).1x考点一函数的定义域考点一函数的定义域【题组练透题组练透】1.(20181.(2018潍坊模拟潍坊模拟)函数函数f(x)=+ln(2x-xf(x)=+ln(2x-x2 2)的定义域为的定义域为()A.(2,+)A.(2,+)B.(1,2)B.(1,2)C.(0,2)C.(0,2)D.1,2D.1,23xx1【解析解析】选选B.B.要使函数有意义要使函数有意
11、义,则则 解得解得1x2.1x2.所以函数所以函数f(x)=+ln(2x-xf(x)=+ln(2x-x2 2)的定义域的定义域为为(1,2).(1,2).2x102xx0，3xx12.(20182.(2018唐山模拟唐山模拟)已知函数已知函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为(-1,1),(-1,1),则函数则函数g(x)=f +f(x-1)g(x)=f +f(x-1)的定义域为的定义域为()A.(-2,0)A.(-2,0)B.(-2,2)B.(-2,2)C.(0,2)C.(0,2)D.D.x()21(0)2，【解析解析】选选C.C.由题意得由题意得 所以所以 所以所以0 x2,0 x0,-
12、10,即即loglog2 2x1x1或或loglog2 2x-1,x2x2或或0 x ,0 x1).x=(t1).将上式代入将上式代入f =lg x,f =lg x,得得f(t)=lg ,f(t)=lg ,即所求函数的解析式即所求函数的解析式为为f(x)=lg (x1).f(x)=lg (x1).答案答案:lg (x1)lg (x1)2x2t12(1)x2t12x12x1考点三分段函数及其应用考点三分段函数及其应用【明考点明考点知考法知考法】分段函数作为考查函数的最佳载体分段函数作为考查函数的最佳载体,一直是高考命一直是高考命题的热点题的热点,试题常以选择题、填空题形式出现试题常以选择题、填空
13、题形式出现,考查求考查求值、解方程值、解方程(零点零点)、解不等式、函数图象及性质问题、解不等式、函数图象及性质问题,题目一般不难题目一般不难,解题中涉及分类与整合的思想方法解题中涉及分类与整合的思想方法.命题角度命题角度1 1分段函数的求值问题分段函数的求值问题【典例典例】(1)(1)已知函数已知函数f(x)=f(x)=则则f f 的值为的值为()A.A.B.-B.-C.1C.1D.-1D.-1(2)(2)已知函数已知函数f(x)=f(x)=且且f(a)=-3,f(a)=-3,则则f(6-a)=_.f(6-a)=_.3sin xx0f x11x0，2()31212x222x1logx1x1，
14、【解析解析】(1)(1)选选B.B.(2)(2)当当a1a1时时,f(a)=2,f(a)=2a a-2=-3-2=-3无解无解;当当a1a1时时,由由f(a)=-logf(a)=-log2 2(a+1)=-3,(a+1)=-3,得得a+1=8,a+1=8,解得解得a=7.a=7.所以所以f(6-a)=f(-1)=2f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=-.-2=-.答案答案:-211f()f()13sin()1.3332 3232【状元笔记状元笔记】求分段函数的函数值的思路求分段函数的函数值的思路(1)(1)确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集,
15、(2)(2)代入该段的解析式求值代入该段的解析式求值,当出现当出现f(f(a)f(f(a)的形式时的形式时,应从内到外依次求值应从内到外依次求值.命题角度命题角度2 2分段函数与方程、不等式的交汇问题分段函数与方程、不等式的交汇问题【典例典例】(1)(2018(1)(2018全国卷全国卷)设函数设函数f(x)=f(x)=则满足则满足f(x+1)f(2x)f(x+1)f(2x)的的x x的取值范围是的取值范围是 ()A.(-,-1A.(-,-1B.(0,+)B.(0,+)C.(-1,0)C.(-1,0)D.(-,0)D.(-,0)x2x0,1x0,，(2)(2)已知实数已知实数a0,a0,函数函
16、数f(x)=f(x)=若若f(1-a)=f(1+a),f(1-a)=f(1+a),则则a a的值为的值为_._.2xax 1x2ax1.，【解析解析】(1)(1)选选D.D.取取x=-,x=-,则化为则化为f f(-1),f f(-1),成立成立,排除排除A,B;A,B;取取x=-1,x=-1,则化为则化为f(0)f(-2),f(0)0a0时时,1-a1,1-a1,由由f(1-a)=f(1+a),f(1-a)=f(1+a),可得可得2(1-a)+a=-(1+a)-2a,2(1-a)+a=-(1+a)-2a,解得解得a=-,a=-,不合题意不合题意.当当a0a1,1+a1,1+a1,由由f(1-
17、a)=f(1+a),f(1-a)=f(1+a),可得可得-(1-a)-2a=2(1+a)+a,-(1-a)-2a=2(1+a)+a,解得解得a=-,a=-,符合题意符合题意.答案答案:-323434【状元笔记状元笔记】分段函数与方程、不等式问题的求解思路分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解依据不同范围的不同段分类讨论求解,最后将讨论结果最后将讨论结果整合起来整合起来.【对点练对点练找规律找规律】1.(20151.(2015全国卷全国卷)设函数设函数f(x)=f(x)=则则f(-2)+f(logf(-2)+f(log2 212)=(12)=()A.3A.3B.6B
18、.6C.9C.9D.12D.122x 11 log2xx12x1，【解析解析】选选C.C.因为因为-21,log-21,121,所以所以f(-2)f(-2)=1+log=1+log2 22-(-2)=3;f(log2-(-2)=3;f(log2 212)=12)=所以所以f(-2)+f(logf(-2)+f(log2 212)=9.12)=9.22log 12 1log 6226.2.2.已知函数已知函数f(x)=f(x)=则使则使f(x)=2f(x)=2的的x x的的集合是集合是()x22x0log xx0，111A.4B.1 4C.1D.14444，【解析解析】选选A.A.由题意可知由题意
19、可知,f(x)=2,f(x)=2,即即 或或 解得解得x=x=或或4.4.x22x0，2log x2x0，143.3.设函数设函数f(x)=f(x)=则不等式则不等式f(6-xf(6-x2 2)f(x)f(x)的解集为的解集为_._.11xx1x121x1，【解析解析】易知函数易知函数f(x)f(x)在在1,+)1,+)上单调递增上单调递增,又又f(1)=1,f(1)=1,所以当所以当x1x1时时,f(x)1.,f(x)1.当当x1x1,1,得得-x ,-x ,则则-x1;-xx,x,得得-3x2,-3x2,则则1x2.1x2.综上综上,不等式的解集为不等式的解集为(-,2).(-,2).答案
20、答案:(-,2)(-,2)55思想方法系列思想方法系列22分段函数中的分类与整合思想分段函数中的分类与整合思想【思想诠释思想诠释】分类与整合就是在所给变量不能进行统分类与整合就是在所给变量不能进行统一研究时一研究时,要分类研究要分类研究,再整合得到的结论再整合得到的结论.分段函数体分段函数体现了数学的分类与整合思想现了数学的分类与整合思想,求解分段函数问题时应注求解分段函数问题时应注意以下三点意以下三点:(1)(1)明确分段函数的分段区间明确分段函数的分段区间.(2)(2)依据自变量的取值范围依据自变量的取值范围,选好讨论的切入点选好讨论的切入点,并建立并建立等量或不等量关系等量或不等量关系.
21、(3)(3)在通过上述方法求得结果后在通过上述方法求得结果后,应注意检验所求值应注意检验所求值(范范围围)是否落在相应的分段区间内是否落在相应的分段区间内.【典例典例】设函数设函数f(x)=f(x)=则满足则满足f(f(a)f(f(a)=2=2f(a)f(a)的的a a的取值范围是的取值范围是()A.A.B.0,1B.0,1C.C.D.1,+)D.1,+)x3x1x 12x1，213，2)3，【解析解析】选选C.C.令令f(a)=t,f(a)=t,则则f(t)=2f(t)=2t t,当当t1t0,g(t)0,所以所以g(t)g(1)=0,g(t)g(1)=0,所以所以3t-1=23t-1=2t
22、 t无解无解.当当t1t1时时,2,2t t=2=2t t成立成立.由由f(a)1f(a)1可知可知,当当a1a1时时,有有3a-11,3a-11,所以所以a ,a ,所以所以 a1;a0,af(a)-f(-a)0,则实数则实数a a的取值范围为的取值范围为()A.(1,+)A.(1,+)B.(2,+)B.(2,+)C.(-,-1)(1,+)C.(-,-1)(1,+)D.(-,-2)(2,+)D.(-,-2)(2,+)2xx,x0,3x,x0,【解析解析】选选D.D.当当a0a0时时,不等式不等式af(a)-f(-a)0af(a)-f(-a)0可化为可化为a a2 2+a-3a0,+a-3a0
23、,解得解得a2.a2.当当a0a0af(a)-f(-a)0可化为可化为-a-a2 2-2a0,-2a0,解得解得a-2.a-2.综上所述综上所述,a,a的取值范围为的取值范围为(-,-2)(2,+).(-,-2)(2,+).第二节函数的单调性与最值(全国卷5年5考)【知识梳理知识梳理】1.1.增函数、减函数增函数、减函数定义定义:一般地一般地,设函数设函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为I,I,如果对于定义如果对于定义域域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两个自变量上的任意两个自变量x x1 1,x,x2 2:(1)(1)增函数增函数:当当x x1 1xx2 2时时,都有都有_,_,
24、那么就说函数那么就说函数f(x)f(x)在区间在区间D D上是增函数上是增函数;(2)(2)减函数减函数:当当x x1 1xx2 2时时,都有都有_,_,那么就说函数那么就说函数f(x)f(x)在区间在区间D D上是减函数上是减函数.f(xf(x1 1)f(x)f(x)f(x2 2)2.2.单调性、单调区间单调性、单调区间若函数若函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间D D上是上是_或或_,_,则称函则称函数数y=f(x)y=f(x)在这一区间上具有在这一区间上具有(严格的严格的)单调性单调性,_,_叫叫做做y=f(x)y=f(x)的单调区间的单调区间.增函数增函数减函数减函数区间区间D D
25、3.3.函数的最值函数的最值前提前提设函数设函数y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为I,I,如果存在实数如果存在实数M M满足满足条件条件(1)(1)对于任意对于任意xI,xI,都有都有_;_;(2)(2)存在存在x x0 0I,I,使得使得_._.(3)(3)对于任意对于任意xI,xI,都有都有_;_;(4)(4)存在存在x x0 0I,I,使得使得_._.结论结论 M M为最大值为最大值M M为最小值为最小值f(x)Mf(x)Mf(x)Mf(x)Mf(xf(x0 0)=M)=Mf(xf(x0 0)=M)=M【常用结论常用结论】函数单调性的常用结论函数单调性的常用结论(1)(1)对对
26、x x1 1,x,x2 2D(xD(x1 1xx2 2),0),0f(x)f(x)在在D D上上是增函数是增函数,0,0)y=x+(a0)的增区间为的增区间为(-,-(-,-和和 ,+),+),减区间为减区间为-,0)-,0)和和(0,.(0,.axaaaa(3)(3)在区间在区间D D上上,两个增函数的和仍是增函数两个增函数的和仍是增函数,两个减函两个减函数的和仍是减函数数的和仍是减函数.(4)(4)函数函数f(g(x)f(g(x)的单调性与函数的单调性与函数y=f(u)y=f(u)和和u=g(x)u=g(x)的单的单调性的关系是调性的关系是“同增异减同增异减”.【基础自测基础自测】题组一题
27、组一:走出误区走出误区1.1.判断正误判断正误(正确的打正确的打“”“”,错误的打错误的打“”).”).(1)(1)若定义在若定义在R R上的函数上的函数f(x),f(x),有有f(-1)f(3),f(-1)f(3),则函数则函数f(x)f(x)在在R R上为增函数上为增函数.()(2)(2)函数函数y=f(x)y=f(x)在在1,+)1,+)上是增函数上是增函数,则函数的单调递则函数的单调递增区间是增区间是1,+).1,+).()(3)(3)函数函数y=y=的单调递减区间是的单调递减区间是(-,0)(0,+).(-,0)(0,+).()(4)(4)闭区间上的单调函数闭区间上的单调函数,其最值
28、一定在区间端点取到其最值一定在区间端点取到.()1x提示提示:(1)(1).函数的单调性体现了任意性函数的单调性体现了任意性,即对于单调即对于单调区间上的任意两个自变量值区间上的任意两个自变量值x x1 1,x,x2 2,均有均有f(xf(x1 1)f(x)f(x)f(x2 2),),而不是区间上的两个特殊值而不是区间上的两个特殊值.(2)(2).单调区间是定义域的子区间单调区间是定义域的子区间,如如y=xy=x在在1,+1,+)上上是增函数是增函数,但它的单调递增区间是但它的单调递增区间是R,R,而不是而不是1,+1,+).).(3)(3).多个单调区间不能用多个单调区间不能用“”符号连接符
29、号连接,而应用而应用“,”,”或或“和和”连接连接.(4).(4).由单调性的定义可知是正确的由单调性的定义可知是正确的.2.2.若函数若函数f(x)=|2x+a|f(x)=|2x+a|的单调增区间是的单调增区间是3,+),3,+),则则a a的的值为值为_._.【解析解析】由图象由图象(图略图略)易知函数易知函数f(x)=|2x+a|f(x)=|2x+a|的单调增的单调增区间是区间是 ,令令 =3,=3,得得a=-6.a=-6.答案答案:-6-6a,)2a23.3.函数函数f(x)=f(x)=的最大值为的最大值为_._.21,x1,xx2,x 1,【解析解析】当当x1x1时时,函数函数f(x
30、)=f(x)=为减函数为减函数,所以所以f(x)f(x)在在x=1x=1处取得最大值处取得最大值,为为f(1)=1;f(1)=1;当当x1x1时时,易知函数易知函数f(x)=-xf(x)=-x2 2+2+2在在x=0 x=0处取得最大值处取得最大值,为为f(0)=2.f(0)=2.故函数故函数f(x)f(x)的最大值为的最大值为2.2.答案答案:2 21x题组二题组二:走进教材走进教材1.(1.(必修必修1P39B1P39B组组T1T1改编改编)函数函数f(x)=xf(x)=x2 2-2x-2x的单调递增区的单调递增区间是间是_._.【解析解析】f(x)=xf(x)=x2 2-2x-2x是开口
31、向上的二次函数是开口向上的二次函数,对称轴为对称轴为x=1x=1增区间为增区间为1,+1,+)()(或或(1,+(1,+).).答案答案:1,+1,+)()(或或(1,+(1,+)2.(2.(必修必修1P311P31例例4 4改编改编)函数函数y=y=在在2,32,3上的最大值上的最大值是是_._.2x1【解析解析】该函数在该函数在2,32,3上单调递减上单调递减,故当故当x=2x=2时时,函数函数取得最大值取得最大值,最大值为最大值为2.2.答案答案:2 23.(3.(必修必修1P44A1P44A组组T9T9改编改编)若函数若函数f(x)=xf(x)=x2 2-2mx+1-2mx+1在在2,
32、2,+)+)上是增函数上是增函数,则实数则实数m m的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】由题意知由题意知,2,+,2,+)m,+m,+),),所以所以m2.m2.答案答案:(-(-,2,2考点一函数的单调性考点一函数的单调性(区间区间)【题组练透题组练透】1.f(x)=1.f(x)=在在()x1xA.(-,1)(1,+)A.(-,1)(1,+)上是增函数上是增函数B.(-,1)(1,+)B.(-,1)(1,+)上是减函数上是减函数C.(-,1)C.(-,1)和和(1,+)(1,+)上是增函数上是增函数D.(-,1)D.(-,1)和和(1,+)(1,+)上是减函数上是减函数【解析解析】选
33、选C.f(x)C.f(x)的定义域为的定义域为x|x1.x|x1.又又f(x)=f(x)=-1,=-1,根据函数根据函数y=-y=-的单调性及有关性质的单调性及有关性质,可知可知f(x)f(x)在在(-,1)(-,1)和和(1,+)(1,+)上是增函数上是增函数.x1x11x1x2.2.下列函数中下列函数中,满足满足“x x1 1,x,x2 2(0,+)(0,+)且且x x1 1xx2 2,(x(x1 1-x-x2 2)f(x)f(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0”)0”的是的是()A.f(x)=2A.f(x)=2x xB.f(x)=|x-1|B.f(x)=|x-1|C.f(x)=-xC
34、.f(x)=-xD.f(x)=ln(x+1)D.f(x)=ln(x+1)1x【解析解析】选选C.C.由由(x(x1 1-x-x2 2)f(x)f(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0)0可知可知,f(x),f(x)在在(0,+)(0,+)上是减函数上是减函数,A,A、D D选项中选项中,f(x),f(x)为增函数为增函数;B;B中中,f(x)=|x-1|,f(x)=|x-1|在在(0,+)(0,+)上不单调上不单调,对于对于f(x)=-x,f(x)=-x,因为因为y=y=与与y=-xy=-x在在(0,+)(0,+)上单调递减上单调递减,因此因此f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上是减函
35、数上是减函数.1x1x3.3.函数函数y=f(x)(xR)y=f(x)(xR)的图象如图所示的图象如图所示,则函数则函数g(x)=g(x)=f(logf(loga ax)(0a1)x)(0a1)的单调减区间是的单调减区间是()1A.0 B.a 121C.(0)D.aa12，【解析解析】选选B.B.由图象可知函数由图象可知函数y=f(x)y=f(x)的单调递减区间的单调递减区间为为(-,0)(-,0)和和 ,单调递增区间为单调递增区间为 .因为因为0a1,0a1,所以函数所以函数y=logy=loga ax x在定义域内单调递减在定义域内单调递减.由题意可知由题意可知,0log0loga ax
36、,x ,解得解得 x1,x1,即所求递减区间为即所求递减区间为 ,1.,1.1()2，10 2，12aa4.4.判断并证明函数判断并证明函数f(x)=axf(x)=ax2 2+(+(其中其中1a3)1a3)在在1,21,2上的单调性上的单调性.1x【解析解析】函数函数f(x)=axf(x)=ax2 2+(1a3)+(1a3)在在1,21,2上单调递增上单调递增.证明证明:方法一方法一:设设1x1x1 1xx2 22,2,则则f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1)=)=(x=(x2 2-x-x1 1)由由1x1x1 1x0,20,2x1 1+x+x2 24,4,1x22212111axa
37、xxx12121a xxx x，1x1x1 1x x2 24,-1-.4,-1-.又因为又因为1a3,1a3,所以所以2a(x2a(x1 1+x+x2 2)12,)0,)-0,从而从而f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1)0,)0,即即f(xf(x2 2)f(x)f(x1 1),),故当故当a(1,3)a(1,3)时时,f(x),f(x)在在1,21,2上单调递增上单调递增.121x x14121x x方法二方法二:(:(导数法导数法)因为因为f f(x)=2ax-(x)=2ax-因为因为1x2,1x2,所以所以1x1x3 38,8,又又1a3,1a0,-10,所以所以f f(x)0,
38、(x)0,所以函数所以函数f(x)=axf(x)=ax2 2+(+(其中其中1a3)1a0,x0),f(x)=(a0,x0),若若f(x)f(x)在在 上上的值域为的值域为 ,则则a=_.a=_.11ax1,221,22【解析解析】(1)(1)方法一方法一:(:(换元法换元法)令令t=,t=,且且t0,t0,则则x=tx=t2 2+1,+1,所以原函数变为所以原函数变为y=ty=t2 2+1+t,t0.+1+t,t0.配方得配方得 又因为又因为t0,t0,所以所以y +=1.y +=1.故函数故函数y=x+y=x+的最小值为的最小值为1.1.x1213y(t)24，1434x1方法二方法二:因
39、为函数因为函数y=xy=x和和y=y=在定义域内均为增函数在定义域内均为增函数,故函数故函数y=x+y=x+在其定义域在其定义域1,+1,+)内为增函数内为增函数,所以所以当当x=1x=1时时y y取最小值取最小值,即即y yminmin=1.=1.答案答案:1 1x1x1222222222x2x32(xx1)1(2)yxx1xx11122.13xx1(x)24133(x)2441410222.1333(x)24因为，所以故函数的值域为故函数的值域为 答案答案:10(2.3，10(23，(3)(3)由反比例函数的性质知函数由反比例函数的性质知函数f(x)=(a0,x0)f(x)=(a0,x0)
40、在在 上单调递增上单调递增,所以所以 答案答案:11ax1,22 11112f()2a222a.115f 222a2，即解得，25【误区警示误区警示】利用换元法解题时易漏掉求新换元的范利用换元法解题时易漏掉求新换元的范围而将所求值域扩大致错围而将所求值域扩大致错.【规律方法规律方法】求函数最值的常用方法求函数最值的常用方法(1)(1)单调性法单调性法:先确定函数的单调性先确定函数的单调性,再由单调性求最值再由单调性求最值.(2)(2)图象法图象法:先作出函数的图象先作出函数的图象,再观察其最高点、最低再观察其最高点、最低点点,求出最值求出最值.(3)(3)换元法换元法:对比较复杂的函数可通过换
41、元转化为熟悉对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数的函数,再用相应的方法求最值再用相应的方法求最值.(4)(4)分离常数法分离常数法:对于分式的分子、分母中都含有变量对于分式的分子、分母中都含有变量的求值域的求值域,变成只有分子或分母有变量的情况变成只有分子或分母有变量的情况,再利用再利用函数的观点求值域函数的观点求值域.【对点训练对点训练】1.1.已知函数已知函数f(x)=f(x)=则则f(x)f(x)的最小值是的最小值是_._.2xx16x6x1x，【解析解析】当当x1x1时时,f(x),f(x)minmin=0,=0,当当x1x1时时,f(x),f(x)minmin=2 -6,=2
42、-6,当且仅当当且仅当x=x=时取到最小值时取到最小值,又又2 -60,2 -6 x x1 111时时,f(x,f(x2 2)-f(x)-f(x1 1)(x)(x2 2-x-x1 1)0)abA.cabB.cbaB.cbaC.acbC.acbD.bacD.bac【解析解析】选选D.D.因为因为f(x)f(x)的图象关于直线的图象关于直线x=1x=1对称对称.由此由此可得可得 由由x x2 2xx1 111时时,f(x,f(x2 2)-f(x)-f(x1 1)(x)(x2 2-x-x1 1)0)0恒成立恒成立,知知f(x)f(x)在在(1,+)(1,+)上单调递减上单调递减.因为因为12 e,1
43、2 f(e),f(2)f(e),所以所以bac.bac.15f()f().22525f()2 【状元笔记状元笔记】用单调性比较函数值大小的步骤用单调性比较函数值大小的步骤(1)(1)将自变量转化到同一个单调区间内将自变量转化到同一个单调区间内;(2)(2)利用函数的单调性解决利用函数的单调性解决.命题角度命题角度2 2与抽象函数有关的不等式问题与抽象函数有关的不等式问题【典例典例】f(x)f(x)是定义在是定义在(0,+)(0,+)上的单调增函数上的单调增函数,满足满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,当当f(x)+f(x-8)2f(x
44、)+f(x-8)2时时,x,x的取的取值范围是值范围是()A.(8,+)A.(8,+)B.(8,9B.(8,9C.8,9C.8,9D.(0,8)D.(0,8)【解析解析】选选B.2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),B.2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),由由f(x)+f(x-8)2,f(x)+f(x-8)2,可得可得fx(x-8)f(9),fx(x-8)f(9),因为因为f(x)f(x)是定义在是定义在(0,+(0,+)上的增函数上的增函数,所以有所以有 解得解得8x9.8x9.x0 x80 x(x8)9，【状元笔记状元笔记】解题的策略和关注点解题的策略和关注点(1)(1)策略策略
45、:判断抽象函数的单调性判断抽象函数的单调性,并利用函数的单调性并利用函数的单调性将将“f”f”符号脱掉符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解使其转化为具体的不等式求解.(2)(2)关注点关注点:由函数值的大小关系推出对应自变量的大由函数值的大小关系推出对应自变量的大小关系时小关系时,自变量必须在同一个单调区间内自变量必须在同一个单调区间内.命题角度命题角度3 3知单调性求参数问题知单调性求参数问题【典例典例】设函数设函数f(x)=f(x)=若函数若函数y=f(x)y=f(x)在在区间区间(a,a+1)(a,a+1)上单调递增上单调递增,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是()A.(-,1A
46、.(-,1B.1,4B.1,4C.4,+)C.4,+)D.(-,14,+)D.(-,14,+)22x4xx4log xx4.，【解析解析】选选D.D.作出函数作出函数f(x)f(x)的图象的图象,如图所示如图所示,由图象可知由图象可知f(x)f(x)在在(a,a+1)(a,a+1)上单调递增上单调递增,需满足需满足a4a4或或a+12,a+12,即即a1a1或或a4.a4.【状元笔记状元笔记】已知单调性求参数的解题依据和策略已知单调性求参数的解题依据和策略.(1)(1)依据依据:若函数在区间若函数在区间D D上是单调的上是单调的,则该函数在区间则该函数在区间D D的任意子集上也是单调的的任意子
47、集上也是单调的.(2)(2)策略策略:依据函数的图象或单调性定义依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单确定函数的单调区间调区间,与已知单调区间比较求参数与已知单调区间比较求参数.【对点练对点练找规律找规律】1.1.定义在定义在R R上的偶函数上的偶函数f(x)f(x)满足满足:对任意的对任意的x x1 1,x,x2 2(-,0)(x(-,0)(x1 1xx2 2),),都有都有 0.0.则下列结论正确则下列结论正确的是的是 ()1212f xf xxxA.f(0.3A.f(0.32 2)f(2)f(20.30.3)f(log)f(log2 25)5)B.f(logB.f(log2 25)f(
48、25)f(20.30.3)f(0.3)f(0.32 2)C.f(logC.f(log2 25)f(0.35)f(0.32 2)f(2)f(20.30.3)D.f(0.3D.f(0.32 2)f(log)f(log2 25)f(25)f(20.30.3)【解析解析】选选A.A.因为对任意的因为对任意的x x1 1,x,x2 2(-,0)(x(-,0)(x1 1xx2 2),),都有都有 0.0.所以所以f(x)f(x)在在(-,0)(-,0)上是减函数上是减函数.又因为又因为f(x)f(x)在在R R上是偶函数上是偶函数,所以所以f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上是增上是增函数函数,又因
49、为又因为00.300.32 2220.30.3loglog2 25.5.所以所以f(0.3f(0.32 2)f(2)f(20.30.3)f(log00的解集为的解集为_._.1()219f(log x)【解析解析】因为因为y=f(x)y=f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数,且且y=f(x)y=f(x)在在(0,+(0,+)上递增上递增.所以所以y=f(x)y=f(x)在在(-(-,0),0)上也是增函数上也是增函数,由由f =0,f =0,知知f =-f =0.f =-f =0.故原不等式故原不等式 00可化为可化为1()21()21()219f(log x)f f 或或f f
50、(0),f 或或-0,-0,解得解得0 x 0 x 或或1x3.1xf(h(x)f(g(x)f(h(x)的形式的形式,再根据函数的单调性去掉再根据函数的单调性去掉“f”,f”,得到一般的不等式得到一般的不等式g(x)h(x)(g(x)h(x)(或或g(x)h(x).g(x)0,f(m-2)+f(2m-3)0,那么实数那么实数m m的取值范围是的取值范围是()55A.(1)B.()335C.(1 3)D.()3，【解析解析】选选A.A.因为因为f(x)f(x)是定义域为是定义域为(-1,1)(-1,1)的奇函数的奇函数,所以所以-1x1,f(-x)=-f(x).-1x0f(m-2)+f(2m-3
