1、第二章2.2函数的基本性质第2课时奇偶性、对称性与周期性新高考数学复习考点知识讲义课件例1判断下列函数的奇偶性：题型一函数奇偶性的判定师生共研因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数.函数f(x)为奇函数.解显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)成立，函数f(x)为奇函数解显然函数f(x)的定义域为R，故f(x)为奇函数.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，这是函数具
2、有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立.思维升华解析由函数奇偶性定义知，A中函数为奇函数，B中函数为奇函数，C中函数为非奇非偶函数，D中函数为偶函数.(2)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是 A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)g(x)|是奇函数C.|f(x)|g(x)是偶函数D.f(|x|)g(x)是奇函数解析令F1(x)f(x)g(x)，F1(x)
3、f(x)g(x)f(x)g(x)F1(x)，F1(x)为奇函数，故A错误；令F2(x)|f(x)g(x)|，F2(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|F2(x)，故F2(x)为偶函数，故B错误；令F3(x)|f(x)|g(x)，F3(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)F3(x)，F3(x)为偶函数，故C正确；令F4(x)f(|x|)g(x)，F4(x)f(|x|)g(x)f(|x|)g(x)F4(x)，F4(x)为偶函数，故D错误.题型二函数奇偶性的应用多维探究命题点1利用奇偶性求参数的值解析方法一(定义法)f(x)为偶函数，f(x)f(x)，方法二(特值法)
4、f(x)为偶函数，f(1)f(1)，又f(1)a2，f(1)a1，命题点2利用奇偶性求解析式例3(2019全国)设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)ex1，则当x0时，f(x)等于 A.ex1 B.ex1C.ex1 D.ex1解析当x0，当x0时，f(x)ex1，f(x)ex1.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)ex1.命题点3利用奇偶性求函数值例4已知函数f(x)ax3bx52.若f(x)在区间t，t上的最大值为M，最小值为m，则Mm_.解析令g(x)ax3bx5，则g(x)为奇函数，当xt，t时，g(x)maxg(x)min0，又f(x)g(x)2，Mg(x)max2，mg(x)mi
5、n2，Mmg(x)max2g(x)min24.4利用函数奇偶性可以解决以下问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值.(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出.(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值.(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象.(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值.思维升华跟踪训练2(1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)2xxb
6、，则f(1)的值为 A.b3 B.b3 C.2 D.2解析f(x)为R上的奇函数，f(0)0，即200b0，b1，f(1)f(1)(211b)2.(2)已知函数f(x)asin xbtan x1，若f(a)2，则f(a)_.解析令g(x)asin xbtan x，则g(x)为奇函数，且f(x)g(x)1，f(a)g(a)12，g(a)3，f(a)g(a)1g(a)14.4题型三函数的周期性、对称性多维探究命题点1函数的周期性解析因为f(x2)f(x)，所以f(x)的周期为2.解析f(x)f(x2)，f(x)的周期为4，f(2 020)f(0)f(2)(22log22)5.函数周期性常用结论对f
7、(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0).思维升华(4)若f(xa)f(x)c，则T2a(a0，c为常数).命题点2函数的对称性例6(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2x)f(2x)，且f(x)f(x)，则下列结论正确的是A.f(x)的图象关于x2对称B.f(x)的图象关于(2,0)对称C.f(x)的最小正周期为4D.yf(x4)为偶函数解析f(2x)f(2x)，则f(x)的图象关于x2对称，故A正确，B错误；函数f(x)的图象关于x2对称，则f(x)f(x4)，又f(x)f(x)，f(x4)f(x)，T4，故C正确；T4且f(x)为偶函
8、数，故yf(x4)为偶函数，故D正确.对称性的三个常用结论思维升华(1)若函数f(x)满足f(ax)f(bx)，则yf(x)的图象关于直线x 对称.(2)若函数f(x)满足f(ax)f(bx)，则yf(x)的图象关于点对称.(3)若函数f(x)满足f(ax)f(bx)c，则函数f(x)的图象关于点对称.跟踪训练3(1)设定义在R上的函数f(x)满足f(x3)f(x)，且当x0,3)时，f(x)2xx21，则f(0)f(1)f(2)f(2 021)_.2 696解析f(x3)f(x)，T3，又x0,3)时，f(x)2xx21，f(0)1，f(1)2，f(2)1，f(0)f(1)f(2)1214，
9、f(0)f(1)f(2)f(2 021)67442 696.(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，其图象关于直线x2对称.当x0,4时，f(x)x24x，则f(2 022)_.4解析f(x)的图象关于直线x2对称，f(x)f(x4)，又f(x)为奇函数，f(x)f(x)，故f(x4)f(x)，T8，又2 02225286，f(2 022)f(6)f(2)f(2)(48)4.抽象函数我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用yf(x)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查
10、函数的良好载体.拓展视野解析对于函数yf(2x)，1x1，212x2.则对于函数yf(log2x)，21log2x2，例1若函数f(2x)的定义域是1,1，则f(log2x)的定义域为_.例2已知函数f(x)对任意正实数a，b，都有f(ab)f(a)f(b)成立.(1)求f(1)，f(1)的值；解令a1，b1，得f(1)f(1)f(1)，解得f(1)0，令ab1，f(1)f(1)f(1)，f(1)0.(3)若f(2)p，f(3)q(p，q均为常数)，求f(36)的值.解令ab2，得f(4)f(2)f(2)2p，令ab3，得f(9)f(3)f(3)2q，令a4，b9，得f(36)f(4)f(9)
11、2p2q.例3已知函数yf(x)的定义域为R，并且满足f(xy)f(x)f(y)，1，且当x0时，f(x)0.(1)求f(0)的值；解令xy0，则f(0)f(0)f(0)，f(0)0.(2)判断函数的奇偶性并证明；解f(x)是奇函数，证明如下：令yx，得f(0)f(x)f(x)0，f(x)f(x)，故函数f(x)是R上的奇函数.(3)判断函数的单调性，并解不等式f(x)f(2x)2.解f(x)是R上的增函数，证明如下：任取x1，x2R，x10，f(x2)f(x1)f(x2x1x1)f(x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)0，f(x1)f(3)B.f(2)f(6)C.f(3)f
12、(5)D.f(3)f(6)12345678910 11 12 13 14 15 16解析yf(x4)为偶函数，f(x4)f(x4)，yf(x)的图象关于直线x4对称，f(2)f(6)，f(3)f(5).又yf(x)在(4，)上单调递减，f(5)f(6)，f(3)f(6).12345678910 11 12 13 14 15 167.已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是_.解析f(x)ax2bx为偶函数，则b0，又定义域a1,2a关于原点对称，则a12a0，12345678910 11 12 13 14 15 16解析由题意，得f(x)f(x)，则f(1)f(1)，
13、即1aa1，得a1(经检验符合题意).112345678910 11 12 13 14 15 169.已知函数f(x)对xR满足f(1x)f(1x)，f(x2)f(x)，且f(0)1，则f(26)_.1解析f(x2)f(x)，f(x)的周期为4，f(26)f(2).对xR有f(1x)f(1x)，f(x)的图象关于直线x1对称，f(2)f(0)1，即f(26)1.10.已知函数f(x)x3x，对任意的m2,2，f(mx2)f(x)0恒成立，则x的取值范围为_.解析易知原函数在R上单调递增，且为奇函数，故f(mx2)f(x)0f(mx2)f(x)f(x)，此时应有mx2xmxx20对所有m2,2恒
14、成立.12345678910 11 12 13 14 15 16解设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(1)求实数m的值；12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16解要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以1 e2的x的取值范围是 A.(2，)B.(1，)C.(2，)D.(3，)12345678910 11 12 13 14 15 16解析f(x)是定义域为R的奇函数，f(0)1a0，a1，f
15、(x)exex，f(x)为R上的增函数，原不等式可化为f(x1)f(2)，x12，即x1.14.已知函数f(x)对任意实数x满足f(x)f(x)2，若函数yf(x)的图象与yx1有三个交点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，则y1y2y3_.12345678910 11 12 13 14 15 163解析因为f(x)f(x)2，则f(x)的图象关于点(0,1)对称，又直线yx1也关于点(0,1)对称，因为yf(x)与yx1有三个交点，则(0,1)是一个交点，另两个交点关于(0,1)对称，则y1y2y3213.12345678910 11 12 13 14 15 16拓展冲刺练15.
16、(多选)已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数f(x2)为偶函数，则下列结论正确的是A.函数yf(x)的图象关于直线x1对称B.f(4)0C.f(x8)f(x)D.若f(5)1，则f(2 021)112345678910 11 12 13 14 15 16解析根据题意，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(x)f(x)，又由函数f(x2)为偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x2对称，则有f(x)f(4x)，则有f(x4)f(x)，即f(x8)f(x4)f(x)，则函数f(x)是周期为8的周期函数；12345678910 11 12 13 14 15 16据此分析选项：对于A，函数f(x)的图
17、象关于直线x2对称，A错误；对于B，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)0，又由函数f(x)的图象关于直线x2对称，则f(4)0，B正确；对于C，函数f(x)是周期为8的周期函数，即f(x8)f(x)，C正确；对于D，若f(5)1，则f(2 021)f(52 016)f(5)1，D正确.12345678910 11 12 13 14 15 1616.函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2).(1)求f(1)的值；解因为对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，所以令x1x21，得f(1)2f(1)，所以f(1)0.
18、12345678910 11 12 13 14 15 16(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；解f(x)为偶函数，证明如下：f(x)的定义域关于原点对称，令x1x21，有f(1)f(1)f(1)，令x11，x2x，得f(x)f(1)f(x)，所以f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数.12345678910 11 12 13 14 15 16(3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上单调递增，求x的取值范围.解依题设有f(44)f(4)f(4)2，由(2)知f(x)是偶函数，所以f(x1)2等价于f(|x1|)f(16).又f(x)在(0，)上单调递增，所以0|x1|16，解得15x17且x1，所以x的取值范围是(15,1)(1,17).
