1、高等数学复习高等数学复习1.向量的运算及方向余弦向量的运算及方向余弦，平面与直线，平面与直线(包括坐标轴包括坐标轴)的位置关系的位置关系。2.2.平面曲线绕平面曲线绕坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程。3.3.二元函数的极限二元函数的极限。4.4.二元函数的连续二元函数的连续、偏导数存在、可微及偏导数连续、偏导数存在、可微及偏导数连续 之间的关系。之间的关系。5.5.多元隐函数求导多元隐函数求导，曲面的切平面方程。，曲面的切平面方程。6.6.复合函数求导复合函数求导(特别是抽象函数的求导问题特别是抽象函数的求导问题 )。7.7.方向导数方向导数，多元函数的条件极值问题
2、，多元函数的条件极值问题。高等数学复习高等数学复习8.二重积分的计算，二重积分的计算，对称性的应用对称性的应用，积分次序的交换积分次序的交换。9.9.利用三重积分计算空间立体利用三重积分计算空间立体的体积的体积，三重积分的三重积分的 “先二后一先二后一”计算方法计算方法。10.10.曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分，格林公式和高斯公式的应用。格林公式和高斯公式的应用。11.11.常数项级数的收敛与绝对常数项级数的收敛与绝对收敛收敛，傅里叶级数的收敛性定理傅里叶级数的收敛性定理，幂级数的收敛域与和函数。幂级数的收敛域与和函数。第八章第八章设设 zyxzyxbbbbaaaa,1.基本概念基本概
3、念模模:222zyxaaaa 方向余弦方向余弦:aaaaaazyx cos,cos,cos2.向量运算向量运算点积点积:zzyyxxbabababa ,夹角为夹角为 叉积叉积:bakjixayazaxbybzb投影投影空间曲面空间曲面三元方程三元方程0),(zyxF 球面球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋转曲面旋转曲面如如,曲线曲线 00),(xzyf绕绕 z 轴的旋转曲面轴的旋转曲面:0),(22 zyxf 柱面柱面如如,曲面曲面0),(yxF表示母线平行表示母线平行z 轴的柱面轴的柱面空间曲线空间曲线三元方程组三元方程组或或,参数方程参数方程投影曲线投影曲线(如如,圆柱螺线圆
4、柱螺线)空间平面空间平面一般式一般式点法式点法式截距式截距式0 DCzByAx)0(222 CBA1 czbyax三点式三点式0131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxxCBAn,空间直线与平面的方程空间直线与平面的方程),(000zyx0)()()(000 zzCyyBxxA空间直线空间直线一般式一般式对称式对称式参数式参数式 0022221111DzCyBxADzCyBxA tpzztnyytmxx000 pnms,pzznyymxx000 ),(000zyx相关的几个问题相关的几个问题(1)过直线过直线 00:22221111DzCyBxADzCyBxAL的平面
5、束的平面束1111DzCyBxA (2)点点nnMMd 01的距离的距离：0)(2222 DzCyBxA方程方程DzCyBxA 000 222CBA 到平面到平面 ：A x+B y+C z+D=0),(0000zyxM d0M1Mn及及参参数数方方程程对对称称式式方方程程的的直直线线且且平平行行直直线线，求求过过点点 0122 02)3 1 2(.1 zyxzyx轴上截距相等的平面轴上截距相等的平面.0)42(53 zyxyx xy2、求平面束、求平面束在在轴和轴和P3、自点、自点 (2,3,-5)分别向各坐标面作垂线，求过三个垂分别向各坐标面作垂线，求过三个垂足的平面方程足的平面方程.4试求
6、空间直试求空间直线线 7652zyzx的对称式方的对称式方程程多元函数微分法多元函数微分法显示结构显示结构隐式结构隐式结构1.分析复合结构分析复合结构(画变量关系图画变量关系图)2.正确使用求导法则正确使用求导法则“分段用乘分段用乘,分叉用加分叉用加,单路全导单路全导,叉路偏导叉路偏导”注意注意:正确使用求导符号正确使用求导符号第九章第九章多元函数微分法的应用多元函数微分法的应用1 1、在几何中的、在几何中的应用应用求曲线在切线及法平面求曲线在切线及法平面(参数方程，一般方程参数方程，一般方程)求曲面的切平面及法线求曲面的切平面及法线 (隐式方程隐式方程,显式方程显式方程)2、极值与最值问题、
7、极值与最值问题极值的必要条件与充分条件极值的必要条件与充分条件求条件极值的方法求条件极值的方法 (消元法消元法,拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法)求解最值问题求解最值问题3、在微分方程中的应用、在微分方程中的应用.sin.1233yxzyeyxzx ，求，求设设.)0,0()0,0(),(0)0,0(),(),(32233但但不不可可微微偏偏导导数数存存在在，处处在在原原点点试试证证：、yxyxyxyxyxf处处的的切切平平面面方方程程上上点点求求曲曲面面在在),(.400022zyxbyaxz 处处的的切切平平面面与与法法线线方方程程在在求求曲曲面面)1 ,1 ,1(33 5.222 zyx.,
8、0932),(22222222yzxzzxyzyxyxzz 求求所确定，所确定，由由、设、设.)33,2,1(622并求最短距离并求最短距离的距离最短，的距离最短，上找一点，使它到点上找一点，使它到点在曲面在曲面、yxz .)(4),(5.22极大值点还是极小值点极大值点还是极小值点的极值点，并指出是的极值点，并指出是求求yxyxyxf 基本方法基本方法 累次积分法累次积分法1.选择合适的坐标系选择合适的坐标系2.选择易计算的积分顺序选择易计算的积分顺序(积分域分块要少积分域分块要少,累次积分易算为妙累次积分易算为妙)图示法图示法列不等式法列不等式法3.掌握确定积分限的方法掌握确定积分限的方法
9、第十章第十章.1arcsinarcsin10dxxdyyy 计计算算.01)1(,12.222222确确定定与与由由其其中中求求 yzyxdvzyx.),(,),(.3223210的的积积分分次次序序改改变变二二次次积积分分连连续续设设 yydxyxfdyyxf.),(1,0,0,1,1 .4的的三三次次积积分分，最最后后对对，再再对对先先对对化化为为三三重重积积分分围围成成的的闭闭区区域域，将将由由平平面面设设xyzdxdydzzyxfzyxyxzyx 一一.曲线积分的计算法曲线积分的计算法1.基本方法基本方法曲线积分曲线积分第一类第一类(对弧长对弧长)第二类第二类(对坐标对坐标)(1)统一
10、积分变量统一积分变量转化转化定积分定积分用参数方程用参数方程用直角坐标方程用直角坐标方程用极坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限确定积分上下限第一类第一类:下小上大下小上大第二类第二类:下始上终下始上终第十一章第十一章(1)利用对称性及重心公式简化计算利用对称性及重心公式简化计算;(2)利用积分与路径无关的等价条件利用积分与路径无关的等价条件(3)利用格林公式利用格林公式(注意注意加辅助线的技巧加辅助线的技巧);2.基本技巧基本技巧沿沿由由点点是是，式式中中求求)0,1()(1()(3(.1 ALdyyxyxdxxyyxL)8()0,3(3)2,1(1 分分的的折折线线段段点点到到，再再沿
11、沿直直线线到到直直线线CyxBxy )9()2,()1,()0(.cos)cos(sin222分分计算积分之值计算积分之值线，线，为起终点的任意简单曲为起终点的任意简单曲和和内以内以为上半平面为上半平面若若轴时，积分与路径无关轴时，积分与路径无关不通过不通过当当，、证明曲线积分、证明曲线积分 BAyLoxLdyyxyxdxyxyxyxIL )10()2,1(1)1,0(,)36()6(.322232分分的一段弧的一段弧点点至至沿沿是从点是从点式中式中求求 xyLdyxyyxdxyxyL)(0 xunn求求 和和)(xS展展 开开（在收敛域内进行）（在收敛域内进行）当当 时，时，为数项级数；为数
12、项级数；0 xx)(0 xunn当当 时，时，为幂级数；为幂级数；nnnxaxu)()(0 xunn基本问题基本问题：判别敛散；：判别敛散；求收敛域；求收敛域；求和函数；求和函数；级数展开。级数展开。第十二章第十二章一一.数项级数的审敛法数项级数的审敛法1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法利用正项级数审敛法必要条件必要条件0limnnu不满足不满足发发 散散满足满足比值审敛法比值审敛法 limn1nunu根值审敛法根值审敛法nnnulim1收收 敛敛发发 散散1不定不定 比较审敛法比较审敛法用它法判别用它法判别积分判别法积分判别法部
13、分和极限部分和极限13.任意项级数审敛法任意项级数审敛法为收敛级数为收敛级数1nnu1nnu若若 收敛收敛,1nnu称称 绝对收敛绝对收敛1nnu若若 发散发散,1nnu称称 条件收敛条件收敛Leibniz判别法判别法:若若,01nnuu且且,0limnnu则交错级数则交错级数nnnu1)1(收敛收敛概念概念:)7(.1112分分收收敛敛收收敛敛，证证明明级级数数设设级级数数 nnnnnaa的的敛敛散散性性判判别别交交错错级级数数 113)1(2.nnnn)(12 3.12要要讨讨论论端端点点处处的的敛敛散散性性的的收收敛敛区区间间求求幂幂级级数数nnnxn )9()3100)1(100(41是是否否收收敛敛？若若收收敛敛求求和和判判别别、nnnn )11(31321311 521分分的的和和求求级级数数的的收收敛敛域域及及和和函函数数，并并求求、nnnnnx
