1、复习复习高等数学（上）总高等数学（上）总基本要求基本要求基基本本内内容容；、认认真真看看书书和和笔笔记记掌掌握握1、加强运算能力；、加强运算能力；3及典型题型。及典型题型。、通过总复习掌握综合、通过总复习掌握综合4、成绩、成绩5dx10109.01.0）勤奋（聪明考考题题掌掌握握基基本本题题型型；步步辅辅导导、做做十十年年、认认真真看看高高等等数数学学同同2元函数微分学元函数微分学函数、极限、连续及一函数、极限、连续及一:一、基本题型一、基本题型、基本函数问题；、基本函数问题；1多种）；多种）；、极限的求法（、极限的求法（102论；论；、连续性及间断点的讨、连续性及间断点的讨3无无穷穷小小；、
2、无无穷穷小小的的比比较较及及等等价价4性性质质及及应应用用；、闭闭区区间间上上连连续续函函数数的的5几几何何意意义义；、导导数数、微微分分的的定定义义及及6及及左左右右导导数数的的应应用用；、左左右右极极限限、左左右右连连续续7微微的的关关系系；、极极限限、连连续续可可导导及及可可8参数方程求导；参数方程求导；、复合函数、隐函数、复合函数、隐函数、求导法则、基本公式、求导法则、基本公式9、高阶导数及公式、高阶导数及公式10及其应用；及其应用；、中值定理及泰勒公式、中值定理及泰勒公式11点；点；、最值应用、凹向及拐、最值应用、凹向及拐、函数的单调性、极值、函数的单调性、极值12种种常常用用方方法
3、法）；、不不等等式式的的证证明明（513、方程根的讨论。、方程根的讨论。14二、典型例题二、典型例题的定义域的定义域、求、求xxysinln2161:解解,sin00162xx由由),(),04得得)(,)(xffxxxxxf求求、设、设11132:解解1113)(),()(,)()(xfxfxfxfxff0 x101xx或或11013049xxxxxx,.0),(0,)()(,32为连续的奇函数函数为连续的奇函数函数使函数使函数及函数及函数、求常数、求常数xxgxkexfxgkx:解解,)(,)(00 fxf必须必须为连续的奇函数为连续的奇函数要使要使1k有有)()(xfxf又又时时当当0
4、x)()()()()(kexfxfxgx2)()(01122xeexx、求极限、求极限4)()(lim)(323231111xxxx)()()()(lim31313131311111xxxxxx)()()()()()(lim3231313231313111111111xxxxxxxxxx34)(sinlim)(cscxxxxexx23112220 xexxxe230lncsclim)ln(sinlimxexxxxe21110)(limxxexxxe210 xxexxe210lim1)(tanlim)(nnn243 nnnn)tantan(lim2121nnnnnnnn1121222221212
5、21tantantantan)tantan(lim4exxxxxx cosln)ln(arctancoslnlim)(214420)cosln()cosln(lim11112420 xxxxxx 11410 xxx coscoslim224 )sin(lim)(xxeeIxxx410125)sin(limxxeexxx410012)sin(limxxeeexxxx12434001)sin(limxxeexxx410012)sin(limxxeexxx41001211I,)(lim存在存在、如果极限、如果极限xxxcx27645.及极限及极限求求c:解解)(limxxxcx2745存在存在)(l
6、im12711415ccccxxxxx012711415)(limccccxxxx12711415ccccxxxx)(lim即即51c)(limxxxcx2745从而从而)(lim1271515xxxx)(lim12711415ccccxxxxxxxx )(110)(lim52751xxxx57.lim,)()(nnnnknxkx求求22117:解解22211111)(nnnxn2212112nnxnnn)(222nnxlimxxxxfIffxtan)cos(sinlim)(,)()(2021018求求已知已知xxxxxxfxxfIxtancossincossin)()cossin(lim11
7、111222012111)(f.)(lim,)(,)(,)(存在存在证明证明连续存在连续存在且且有有时时设设nfxfxxfxn21019:证明证明,)(0 xf单调增加单调增加)(xf单调增加单调增加)(nf,)(210 xxf由由dxxdxxfxx12110)(1110 xfxf)()(1111xfxff)()()()(11f有界有界)()(11fnf.)(lim存在存在即即nfn)()ln(sinlim,01530ccdtttxaxcbaxbx的值，使的值，使、确定常数、确定常数,sin:00 xaxx解解,0c而而(*)ln(lim0130dtttxbx,),(),()ln(恒正恒正在定
8、义域在定义域00113tt01003dtttbb)ln(,则则若若0b知知由由(*)xxdtttxax0301)ln(sinlimxxxax)ln(coslim30120 xxaxcoslim等价等价,则上极限为则上极限为若若1a1a201xxcxcoslim21、6012010111xxcebxxxxaxfx),ln()(,)()(设设.)(,点可导点可导在在，使，使试确定试确定0 xxfcba:解解)()()(00000fff由由122ba,)(,点连续点连续在在时时当当0212xxfba)()(00ff由由41 c,)(,点可导点可导在在时时当当041212xxfcba0402172xx
9、xxxxxf,sin,cos)(）（、的间断点及类型。的间断点及类型。求求)(xf解：解：),(,)(11220kkxxxxf的可能间断点为的可能间断点为)(00f,22)(00f0;)(的第一类跳跃间断点的第一类跳跃间断点为为xfx0)(limxfx2,sinlim不存在不存在422xx;)(的第二类间断点的第二类间断点为为xfx2)(limxfx1211xxxx cos)(lim 2;)(的第一类可去间断点的第一类可去间断点为为xfx1)(lim)(xfkx12 2112xxxkx cos)(lim)()(1k不存在不存在);()()(112kxfkx的第二类间断点的第二类间断点为为.)(
10、,)(),()(fxxffxf使使证明存在证明存在上连续，且上连续，且在在、设、设8证明：证明：,)()(xxfxF作作)()()(xfxffxfF)(xfx)(xFxxfxxf)(,)(0若若,)(0 xxf若若,)(),(0000 xxfx使使存在存在,)()(000 xFxfF则则00200)()()(xFxFxfF.)(,)()(fFxxf即即之间，使之间，使与与在在000、计算下列各题、计算下列各题9,)(lim,)()()(14121211110 xxfffx存在且存在且设设.),()(处的切线方程处的切线方程在点在点求曲线求曲线211xfy:解解xfxffx)()(lim)(11
11、10 xxfx2110)(limttfttx2110)(limttft412120)(lim2切线方程切线方程)(1221xydxdyxy求求）（,)arcsin(sin23212242121112111123xxxxxdxdycossin)(sin)arcsin(sindxdyexfyxf求求,)(ln)()(3)()(ln)(ln)()(xfexfexxfdxdyxfxf1)(ln)()(ln)(xfxfxfxexf1)(,xyexyey 求求）（4两边求导两边求导0yxyyeyxeyyy21)()()(xeyeyxeyyyyy 3222)(xeyexyyeyyyttytxarctan)l
12、n()(21533dxyd求求,/)(/21211122ttttdtdxdtdtdxdy34223381211141441tttttdtdxttdtddxyd)(/)(ttdtdxtdtddxyd412222/)(，、1141022xxy)(ny求求11422xxy)(1111234134422xxxx1111111111nnnnnnxnxxnx)(!)()(,)(!)()()()()()(!)()(111111123nnnnxxny、11.)(,最大值最大值求求已知已知axxxfa11110:解解axaxxaxaxxxaxxxf,)(11110111101111分成三个区间分成三个区间将将)
13、,(,axx0),),(,(aa00axaxxaxaxxxaxxxf,)()(,)()(,)()()(2222221111011110111100)(,),(xf内内在在,)(单增单增xf上最大值上最大值在在为为,()()(0121110 xfaaaf0)(,),(xfa内内在在,)(单减单减xf上最大值上最大值在在为为),)()(axfaaaaf1211100)(,),(xfa令令内内在在2ax 唯一驻点唯一驻点,)(02 af为极小值点为极小值点2ax xyoa2a上最大值上最大值在在为为),()(xfaa12)()()()(lim)(为正整数为正整数且且的某领域内连续，的某领域内连续，在
14、点在点、设、设nxxxfxfxxfnxx2120000?)(处是否取得极值处是否取得极值在在问问0 xxxf:解解02000nxxxxxfxf)()()(lim某领域使某领域使存在存在0 x000nxxxfxf)()()(,)(为奇数为奇数当当n1;)(点不取得极值点不取得极值在在0 xxf,)(为偶数为偶数当当n2;)(点取得极小值点取得极小值在在0 xxf.)(,baaababea证明证明、设、设013:证明证明ababaaln)()ln(只要证明只要证明)(ln)()ln()(0 xaxaxaaxf作作01xaaxaaxfln)ln()(单减单减)(xf00)()(fbfababaaln
15、)()ln(.)(baaaba即即)()()()(,),(,)(),(2121211110014xftxtfxttxftbaxxxfba 有有任意实数任意实数及及、证明对任意证明对任意内内、在、在:证法一证法一0112121)()()()(xttxfxftxtf只要证明只要证明,21xx 不妨设不妨设:证明证明)()()()(212111xttxfxftxtf)()()()()(121212111xfxttxftxttxfxft;,等号成立等号成立时时当当21xx,时时当当21xx)()()()()(12112211xxttfxxtft 21111xttxx)(22211xxttx)()()(
16、)(12121 ffxxtt)()(12121 fxxtt21 0:证法二证法二2101xttxx)(记记2000021)(!)()()(xxfxxxfxfxf )()()(000 xxxfxfxf)()()(01001xxxfxfxf即即)()()(02002xxxfxfxf)()()(01001xxxf txtfxtf)()()()()()(02002111xxxftxftxft)()()(211xftxtf)(0 xf)(211xttxf因此因此)()()()(212111xftxtfxttxf:证法三证法三)()()()()(212111xftxtfxttxftF令令010)()(FF
17、)()()()()(2121211xfxfxxxttxftF0122121 )()()(xxxttxftF上为凸函数上为凸函数在在),()(10tF时时当当10 t010)(),(min)(FFtF)()()()(212111xftxtfxttxf因此因此15.)()(,),)(030022dttftxxfx证明证明上单调减少的连续函数上单调减少的连续函数为为设设:证明证明dttftxxFx)()()(0223令令00)(f,)(单调增加单调增加只要证明只要证明xF)(xF)()(xxdttftdttfx02023)()()(xfxxfxdttfxx22032)()(xfxdttfxx2022
18、?能否再求导能否再求导)()(xxfxfx 2x 0)()(xffx 220单调增加单调增加)(xF0)(xF即即.)()(03022dttftxx16,)()(,)(0bfafbaxf上二阶可导上二阶可导在在设设2242)()(,)(abbafxf 求证求证:证明证明处展开处展开在在对对2baxxf)(222222)(!)()()()(baxfbaxbafbafxf 之间之间和和在在2bax 相加得相加得代入上式代入上式及及分别将分别将,bxax2212222)()()()(abffbaf 222)()(abbaf17 且且内二阶可导内二阶可导在在设设,),()(axf00010)(lim,
19、)(lim,)(xfxfafxax0)(),(:fa使使内至少存在一点内至少存在一点在在证明证明:证明证明,)(lim00 xfax,)(),(01xfaa上上若在若在;),()(上至少有一个零点上至少有一个零点在在显然显然1aaxf,)(),(不恒为零不恒为零上上若在若在xfaa1,)(0cfc使使至少存在一点至少存在一点,)(0cf不妨设不妨设,)(lim,)(0010 xfafax而而,)(),()(为最大值为最大值使得使得内存在内存在在在 faaxf10)(f,),()(上是否为零上是否为零在在因此无论因此无论1aaxf;)(),(0111 faa使使至少存在一点至少存在一点21 上至
20、少存在一点上至少存在一点同理在同理在),(a02)(f使使上用罗尔定理上用罗尔定理在在对对,)(21 xf),(),(a21 至少存在至少存在0)(f使使、18内可导内可导在在上连续上连续在在设设),(,)(1010 xf121010)(,)()(fff且且110)(),(f使使试证明至少存在试证明至少存在:证明证明01 xxxff)()(xxfxF)()(作作内可导内可导在在上连续上连续在在则则),(,)(1010 xF11212100)(,)(,)(FFF012111)(),(,F使使至少存在至少存在由零点定理由零点定理上用罗尔定理上用罗尔定理在在对对,)(10 xF1)(f即即0)(),
21、1,0(),0(1F使使存在存在。19、设函数)(xf在 3,0上连续，在)3,0(内可导，且 3)2()1()0(fff1)3(f证明必存在)3,0(使 0)(f证明 因为)(xf在 上连续，3,0所以 在 上连续，)(xf2,0上且有最大值 和最小值 。于是Mm,)0(Mfm,)1(Mfm,)2(Mfm所以,3)2()1()0(Mfffm由介值定理知至少存在 2,0c使 1)(cf因为 1)3()(fcf由罗尔定理存在)3,0()3,(c使0)(f)(xf在,ba上连续，在),(ba内可导，且 20设 1)()(bfaf证明 存在 1)()(),(,ffeba使证明：只要证明 effe)(
22、)(令)()(xfexFx )()()(abFaFbF),(ba)()()()(abfefeafebfeab1)()(bfaf)()(abffeeeab再对)()(abffeeeabxe在,ba用拉格朗日中值定理得)()()(abffeabe),(ba)()(ffee1)()(ffe一元函数的积分及应用一元函数的积分及应用一、基本题型一、基本题型念；念；、原函数与不定积分概、原函数与不定积分概1法；法；、不定积分的两类换元、不定积分的两类换元2；、不定积分的分部积分、不定积分的分部积分3无理函数的积分无理函数的积分函数及简单的函数及简单的、有理函数、三角有理、有理函数、三角有理4、定积分性质、
23、定积分性质5、变限积分求导、变限积分求导6、定积分的计算；、定积分的计算；7dxxn208 sin、对对称称区区间间上上的的积积分分及及证证明明；、积积分分等等式式和和不不等等式式的的9、广义积分。、广义积分。10用用、定积分在几何上的应、定积分在几何上的应11用用、定积分在物理上的应、定积分在物理上的应12二、不定积分典型例题二、不定积分典型例题,)()(Cexdxxfx11、设、设)(sin xf求求解：解：,)()(Cexdxxfx1)()(1xexxfxxexe21,tx 令令12tteettf)(dteettftt)()(12Ctetett)(12)(sin xfCxexexxsin
24、)(sinsinsin12dxxx32312、2322121dxxx)()(1111212322xdxx)()(11212342xdx)()(11212312xdxCxx3423721831143)()(0132222badxxbxaI,cossin、dxbxaxI2222tansec222bxaxdtantanCxbaab)tanarctan(1dxxxsinlncot、4dxxxxsinlnsincosxxdsinlnsinlnCx sinlnlndxxxxxsincossincos25375、dxxxxxxxsincos)sincos()sincos(255225xxxxdxsincos
25、)sincos(2525Cxxx)sincosln(25)(,)sin()sin(babxaxdx、6dxbxaxbxxaba)sin()sin()()sin()sin(1dxbxaxbxxabxxaba)sin()sin()sin()cos()cos()sin()sin(1dxaxaxbxbxba)sin()cos()sin()cos()sin(1Caxbxba)sin()sin(ln)sin(1dxxxx10228117)()(、dxxxx102111)(1011)()(xxxxdCxx92919)(dxxxx23282、dxxxx21222xxdxxxxxd222222)(2211122
26、)()(xxdxxCxxx)arcsin(1222dxxxx)()ln(1119、dxxxx)()ln(11112xxdx111111)()ln()ln()ln(xdx1111Cx)(ln11212dxeexx1110、dxeexx1121122xxxedxdxee2211)()(xxxxedeedeCeeexxxarcsin)ln(121242112xxxxdx)(、22422）（xxxdx)(dtttttttxtansectansec)sec(sec414442dtdtt21secCxxxx242112422arccos)ln(dxxx)(281112、dttttx2811dttttt)(
27、2246111Cxxxxx11315171357arctandxxxxx2221113)()ln(、2211121xdxx)ln(dxxxxxx2222111211121)()ln()(txtan令令Cxxxxxxx21218211212222ln)ln()(dxexexx23114)(、)(xexd12xxedxex1212Ceeexxxx1111212lndxxxx231215lnln、dxxxln32dxxx231ln211xdxlndxxx231lnxdxxxxx222111lnlndxxx231lnCxxln21xxdx1116、dxxxxx)()(11112dxxxx)(12121
28、21dxxxxx1212dxxxxxx)(11212dxxxxxx2112412)(Cxxxxxxx4212222)ln(三、定积分典型例题三、定积分典型例题、1nknnknkn141)(lim:解解)()(nknknnknkn111114)()()(nknnknknnkn1111114nnknnknknnknnknknk1)1(1)1)()1(11141于是于是23111101dxxnnknkn)()(lim23114nknnknkn)(lim2dxeexxxnn101lim11101010ndxxdxeexnxxn0110dxeexxxnnlim3)(sin)()(为正整数为正整数设设nt
29、dtttxfnx02.)()(,:3210nnxfx时时当当证明证明:证明证明xxxxfnsin)()(20)(xf由由 xxx,1010 x内只有唯一驻点内只有唯一驻点在在),(;)(,010 xfx时时又当又当;)(,01xfx时时当当;,),(即为最大值点即为最大值点内唯一极大值点内唯一极大值点是是 01x,0 x当当tdtttfxfnsin)()()(1021dttttn102)()(3213121nnnn4dxxfdxxfxxxf102022)()()(设设)(xf求求:解解,)(dxxfA20记记dxxfB10)(BAxxxf22)(积分积分dxBAxxdxxf202202)()(
30、dxBAxxdxxf102102)()(BABBAA22314238即即3134BA,31342xxxf)(5dxxxInn 02122cosdxxxnkkk101 )(sindtttknktkx100 sin)(1012nkk)(2ndxxxn 0sin621212211)(ln)ln(sindxxxxxxdxx21211)ln(dxxdxx21002111)ln()ln(22323lnln 7dxxxIaa)(tansin122,tansin为周期为周期以以和和 xx22dxxxI)(tansin1202 dxxx)(tansin12222 dxx2222 sindxx202412 cos
31、2 8dxxx22055)sin(cosdxxxxx 201055102)sinsincos(cosdttttttx )sinsincos(cos1055102dttt 010102)sin(cosduuuut22101022 )cos(sinduuu2010104)cos(sinduu20108 sin2214365871098 9dxxxx2025 sincossindxxxxx2024)sin(coscossindxxxxxd2024)sin(cos)cos(sin20221 xxsincosarctan21arctan10dxxx10221)()ln(xdx21110)ln(xdxxx
32、x121211010)ln(dxxx101121312)(ln231ln11证明至少存在证明至少存在上连续上连续在在、设设,)()(baxgxf使使一点一点),(ba dxxfgdxxgfab )()()()(0dxxfgdxxgfab )()()()(:只要证明只要证明证明证明0 xbxxadttgdttf)()(即即bxxadttgdttfxF)()()(令令上用罗尔定理即得上用罗尔定理即得在在对对,)(baxF12,)(上有连续导数上有连续导数在在设设baxf0 xdxxfba cos)(lim证明证明:证明证明xdxxfba cos)(xdxfba sin)(1xdxxfxxfbaba
33、 sin)(sin)(11baxxf sin)(lim1而而01sin)(sin)(limaafbbf Lxfbaxf)(,)(则则上连续上连续在在又又baxdxxf sin)(dxxxfba sin)()(abLLdxba01xdxxfba sin)(lim0 xdxxfba cos)(lim即即13,)(,)(010 xfxf且单调减少且单调减少上连续上连续在在设设:证明证明有有的任何的任何对于满足对于满足,0dxxfdxxf )()(0:证明证明,)()(00dxxfdxxf 只要证明只要证明作作)()()()(xdxxfdxxfxxFx0)()()(xfdttfxF 00)()(xff
34、 x 0单调增加，单调增加，)(xF)(.(,)()(0000 xfdttfF 又又,)(0 Fdxxfdxxf )()(0即即14,)(,)(0 xfbaxf且且上二阶可导上二阶可导在在设设)()()(2bafabdxxfba证明证明:证明证明由泰勒公式得由泰勒公式得222222)()()()()(baxfbaxbafbafxf 之间之间与与在在2bax)()()(222baxbafbafxfdxbaxbafbafabdxxfbaba)()()()()(222)()(2bafab15证明证明设设,)(baxxf 021)()()(bfafdxxfabba:证明证明,)(0 xf为凹函数为凹函
35、数)(xfxyoab)()()()()(axabafbfafxfdxaxabafbfdxafdxxfbababa)()()()()(22)()()()(ababafbfabaf)()()(abbfaf221)()()(bfafdxxfabba16和直线和直线求由平面曲线求由平面曲线0862yyx轴轴图绕图绕所围成图形的面积及此所围成图形的面积及此xyx04.旋转的体积旋转的体积:解解:所围成的图形如下所围成的图形如下xyo),(31),(40),(134xy0862yyx231)(yxxy13xy13xy13dyyyyA412486)(29dxxxVx0322134)()(dxxx10221313)()(27917?,),()(,需需作作多多少少功功现现将将圆圆柱柱体体从从水水中中移移出出水水的的比比重重为为为为设设柱柱体体比比重重圆圆柱柱体体侧侧面面与与水水面面相相切切的的水水池池中中平平放放在在深深度度为为的的圆圆柱柱体体长长为为半半径径为为102rrRlR:解解:取坐标系如图取坐标系如图xyoRRyx22xdxx yldxxRryldxxRrdw221)()(dxxRryl)(122dxxRrxRlwRR)(12222312lRr)(
