1、2、函数函数的单调性与最大的单调性与最大(小小)值值课标要求1.理解单调函数的定义,理解增函数、减函数、单调区间、单调性的定义.2.掌握定义法证明函数单调性的步骤.3.理解函数的最大(小)值的概念,理解它们的作用和实际意义.4.会借助函数的单调性求函数的最值.备考指导函数的单调性是函数最重要的性质之一,也是高考命题的热点.复习时要明确单调区间与在区间上单调的不同,会求给定函数的单调区间,并能利用单调性比较大小、解不等式、求最值等.解决此类问题时要注意函数的定义域优先原则.【知识筛查知识筛查】1.增函数与减函数的定义 温馨提示1.求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域.2.一个函
2、数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“”连接.3.函数在某个区间上是单调函数,但在整个定义域上不一定是单调函数,如函数 在区间(-,0)和(0,+)上都单调递减,但在定义域上不具有单调性.问题思考“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”,两种说法的含义相同吗?不相同,这是两个不同的概念,显然NM.2.函数的最大(小)值 2.基本初等函数的单调区间 3.单调函数的运算性质(1)若f(x),g(x)均在区间A上单调递增(减),则f(x)+g(x)也在区间A上单调递增(减);(2)若k0,则kf(x)与f(x)的单调性相同;若k0,则kf(x)与f(x)的单调性相反;【知识巩固知识巩
3、固】1.下列说法正确的画“”,错误的画“”.(1)函数 在区间(-,0)(0,+)内是减函数.()(2)函数f(x)=log5(2x+1)的单调递增区间是(0,+).()(3)设任意x1,x2a,b,x1x2,则f(x)在区间a,b上单调递增 .()(4)若函数y=f(x)在区间1,+)上单调递增,则函数f(x)的单调递增区间是1,+).()(5)若一个函数在定义域内的某几个子区间上都单调递增,则这个函数在定义域上是增函数.()(6)所有的单调函数都有最值.()2.函数 在区间1,+)上()A.有最大值无最小值B.有最小值无最大值C.有最大值也有最小值D.无最大值也无最小值A函数 是反比例函数
4、,当x(0,+)时,函数图象下降,所以在区间1,+)上f(x)单调递减,f(1)为f(x)在区间1,+)上的最大值,函数在区间1,+)上没有最小值.故选A.3.下列函数中,在区间(0,1)内单调递增的是()A.y=|x|B.y=3-xC.D.y=-x2+4Ay=3-x在R上是减函数,在区间(0,+)上单调递减,y=-x2+4在区间(0,+)上单调递减,故选A.4.设定义在区间-1,7上的函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的单调递增区间为.-1,1和5,7 由题图可知函数的单调递增区间为-1,1和5,7.5.若函数y=(2k+1)x+b在R上是减函数,则k的取值范围是.6.若函数
5、f(x)满足“对任意的x1,x2R,当x1f(x2)”,则满足 f(2x-1)f(1)的实数x的取值范围为.因为函数y=(2k+1)x+b在R上是减函数,所以2k+10,即(1,+)由题意知,函数f(x)在定义域内为减函数,f(2x-1)1,即x1,x的取值范围为(1,+).能力形成点能力形成点1确定函数的单调性命题角度命题角度1 确定不含参函数的单调性确定不含参函数的单调性(区间区间)例1(1)函数f(x)=|x2-3x+2|的单调递增区间是()B(2)函数 的单调递增区间为,单调递减区间为.2,+)(-,-3 命题角度命题角度2 确定含参函数的单调性确定含参函数的单调性(区间区间)例2判断
6、并证明函数 (其中1a3)在区间1,2上的单调性.拓展延伸如何用导数法求解本例?因为1x2,所以1x38,又1a0,所以f(x)0,解题心得判断函数单调性常用以下几种方法:(1)定义法:一般步骤为设元作差变形判断符号得出结论.(2)图象法:若f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,则可由图象的上升或下降确定单调性.(3)导数法:先求导数,利用导数值的正负确定函数的单调区间.(4)性质法:对于由基本初等函数的和、差构成的函数,根据各初等函数的单调性进行判断;对于复合函数,先将函数y=f(g(x)分解成y=f(t)和t=g(x),再讨论(判断)这两个函数的单调性,最后根据复合函数“同
7、增异减”的规则进行判断.对点训练1(1)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()A.(-,-2)B.(-,1)C.(1,+)D.(4,+)D函数y=x2-2x-8=(x-1)2-9图象的对称轴为直线x=1,由x2-2x-80,解得x4或x-2,即函数y=x2-2x-8在区间(4,+)上单调递增.根据复合函数的单调性可知,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间为(4,+).(2)函数y=-x2+2|x|+3的单调递减区间是.-1,0,1,+)由题意知,当x0时,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;当x0,x1x2,且f(a2-a)f(2a-2),则实数a的取值范
8、围为.0,1)因为函数f(x)满足(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,x1x2,所以函数在区间-2,2上单调递增,所以-22a-2a2-a2,解得0a1)是增函数,故a1,所以a的取值范围为10,得 解得-40时,0f(x)0;(3)f(x)在R上是减函数.思路分析(1)可通过赋值求f(0);(2)可通过f(0)=f(x+(-x)=f(x)f(-x)证明f(x)0;(3)利用定义可证明函数f(x)的单调性.证明:(1)根据题意,令m=0,可得f(0+n)=f(0)f(n).f(n)0,f(0)=1.(2)由题意知,当x0时,0f(x)0,当x0,0f(-x)0.(3)任取x1,x2R,且x
9、10,又x2-x10,0f(x2-x1)1,故f(x2)-f(x1)0.故f(x)在R上是减函数.解题心得抽象函数单调性的判断方法:一种是“凑”,凑定义或凑已知,从而使用定义或已知条件得出结论;另一种是“赋值”,给变量赋值要根据条件与结论的关系,有时可能要进行多次尝试.注意:若给出的是和型(f(x+y)=)抽象函数,则判定符号时的变形为f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1),f(x2)-f(x1)=f(x2)-f(x1-x2)+x2);变式训练已知定义在区间(0,+)内的函数f(x)对任意x,y(0,+),恒有f(xy)=f(x)+f(y),且当0 x0,判断f(x)在区间(0,+)内的单调性.
