1、2一、随机变量（一、随机变量（Random Variable）主要的思想：主要的思想：将样本空间数量化将样本空间数量化,即用数值表示试验的结果。即用数值表示试验的结果。1.定义：由试验结果而决定取某一数值的变量。定义：由试验结果而决定取某一数值的变量。2.分类：分类：1）一维、多维（二维）一维、多维（二维）2）离散型、非离散型（连续型和其它）离散型、非离散型（连续型和其它）3二、一维离散型随机变量的分布律二、一维离散型随机变量的分布律iipxXP ),3,2,1(iXPixxx21ippp21101 ip）12 ip）4三、一维离散型随机变量的常用分布三、一维离散型随机变量的常用分布1.01分
2、布：分布：（1次伯努利试验）次伯努利试验）2.二项分布：二项分布：（n重伯努利试验）重伯努利试验）3.几何分布：几何分布：（可列重伯努利试验）（可列重伯努利试验）),1(pBX),(pnBXknkknppCkXP )1(),1,0(nk)(pGX1)1(kppkXP),(nk1 54.泊松（泊松（Poisson）分布：）分布：5.超几何分布：超几何分布：性质：当性质：当N很大，很大，n很小时很小时)(PX ekkXPk!),1,0(nk ),(NMnHXnNmnMNmMCCCmXP mnmmnnNmnMNmMNMNMCCCC 16四、一维随机变量的分布函数四、一维随机变量的分布函数1.定义：定
3、义：2.性质：性质：)(xXPxF()P aXbF(b)-F(a);1)(0)1xFx，);()()22121xFxFxx，,0)(lim)()3xFFx;1)(lim)(xFFx7五、一维离散型随机变量的分布函数五、一维离散型随机变量的分布函数性质：处处右连续性质：处处右连续xxkxxkkkxXPxXPxXPxF)()(xF01p12xxx1xx21pp 23xxx121 nppp1nnxxx121 nppp.nxx8六、一维连续型随机变量的分布函数六、一维连续型随机变量的分布函数1.分布密度：分布密度：1）p(x)是实轴上处处有定义、非负、可积是实轴上处处有定义、非负、可积 2）2.分布函
4、数：分布函数：性质：连续的性质：连续的)()()(aFbFdxxpbXaPbadxxpxXPxFx)()()()(xFxp9注意：注意：1）p(x)不是概率，它代表不是概率，它代表X在在x附近附近 取值概率的大小。取值概率的大小。2）连续型的随机变量）连续型的随机变量XaaXP,0.bXaPbXaPbXaP 故故10七、一维连续型随机变量的重要分布七、一维连续型随机变量的重要分布1.均匀分布（均匀分布（Uniform Distribution）),(baUX),(0),(,1)(baxbaxabxpxbbxaabaxaxdxxpxFx10)()(112.指数分布（指数分布（Exponentia
5、l Distribution）000)(xxexpx)(0 )(EX0001)()(xxedxxpxFxx123.标准正态分布标准正态分布(Normal Distribution)(21)(22xexpx)1,0(NXdtexxt2221)()0()(1)(xxx134.正态分布（正态分布（Normal Distribution）（钟形图像）（钟形图像）钟形图像钟形图像222)(21)(xexp),(0 为为常常数数，x),(2NX)1,0(NX)()(xxXPxXPxF14八、二项分布的正态近似八、二项分布的正态近似)1,0()1(,),(NpnpnpYnpnBY 很大时则当若)()1(li
6、mxxpnpnpYPn15九、二维离散型随机变量的分布律九、二维离散型随机变量的分布律 的取值的取值 有有限组或可数组有有限组或可数组1xX Yjyyy21jppp11211jppp22221ijiippp212xix),(),(jiyxYXijjipyYxXP,101 ijp）12 ijijp）16十、二维离散型随机变量的常用分布十、二维离散型随机变量的常用分布1.超几何分布超几何分布),(),(21NMMnHYX212121,),1,0,1,0(,2121MMNnjiNMMMjMiCCCCjYiXPnNjinMMNjMiM 172.三项分布三项分布),(),(21ppnBYX1,1,0,)
7、,1,0,()1(,21212121 ppppnjinjippppCCjYiXPjinjijinin18十一、二维随机变量的联合分布函数十一、二维随机变量的联合分布函数性质：性质：,),(yYxXPyxF;1),(0,y)1yxFx，);,(),()22121yxFyxFxx，);,(),(2121yxFyxFyy，;1),(0),(),()3FxFyF，)(),(),(),(,(,(),()41112212221212121yxFyxFyxFyxFyYyxXxPyyxxYXP19十二、二维连续型随机变量的分布函数十二、二维连续型随机变量的分布函数1.分布密度：分布密度：1）p(x,y)是平面
8、上处处有定义、非负、可积是平面上处处有定义、非负、可积 2）2.分布函数：分布函数：注：注：badcyxyxpdcbaYXPdd),(,(,(),(vuvupyxFyxdd),(),(yxyxFyxp),(),()12xyDyxpDYXPd),(),()220十三、二维连续型随机变量的常用分布十三、二维连续型随机变量的常用分布1.均匀分布（均匀分布（Uniform Distribution）其它0),(,),()(1DyxyxpDM)(),(DUYX212.正态分布（正态分布（Normal Distribution）222221121122212)1(21exp121),(yyxxyxp22十
9、四、二维随机变量的边缘分布十四、二维随机变量的边缘分布1.（X,Y）关于）关于X的边缘分布函数：的边缘分布函数：2.二维离散型随机变量的边缘分布律二维离散型随机变量的边缘分布律,)(YxXPxXPxFX,)(yYXPyYPyFYijijippxXP1jiijjppyYP123XY1x2y2xixjy1y ip 1p 2p ip21p22pjp211p12pjp11 ip2ipijpjp 1 p2 pjp 243.二维连续型随机变量的边缘分布密度二维连续型随机变量的边缘分布密度注意：实际积分区间的确定注意：实际积分区间的确定 （以关于以关于X的边缘分布密度为例）的边缘分布密度为例）作直线作直线X
10、=x与积分区域相交，交线段与积分区域相交，交线段 的上下端点的纵坐标即为积分上下限。的上下端点的纵坐标即为积分上下限。dyyxpxFxpXX),()()(dxdyyxpYxXPxFxX),(,)(25例例：说明联合分布能决定边缘分布，而边缘分布（与说明联合分布能决定边缘分布，而边缘分布（与无关）不无关）不 能决定联合分布（与能决定联合分布（与 有关）。有关）。2222211121exp21)(21exp21)(xypxxpYX26十五、随机变量的相互独立十五、随机变量的相互独立 注意：独立时，边缘分布能决定联合分布。注意：独立时，边缘分布能决定联合分布。,1jijijiijyYPxXPyYxX
11、Pppp）离散型,)()(),(,.1yYPxXPyYxXPyFxFyxFYXYX相互独立随机变量)()(),(2ypxpyxpYX）连续型272.多个随机变量1）离散型2）连续型相互独立nXXX,21)()()(),(212121nXXXnxFxFxFxxxFn,1111nnnnxXPxXPxXxXP )()()(),(212121nXXXnxpxpxpxxxpn 28例例1.设设 求二次方程求二次方程 有实根的概率。有实根的概率。XU(0,6)02442XXtt29例例2（X,Y）的分布密度为）的分布密度为求：求：其它01,10),(2yxxAxyyxp)()(ypxpYX3031323334353637
