1、第五模块平面向量第五模块平面向量第二十三讲第二十三讲平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算回归课本回归课本1.向量的概念向量的概念(1)把既有把既有大小大小又有又有方向方向的量叫做向量的量叫做向量.(2)把只有大小把只有大小,没有方向的量没有方向的量(如年龄如年龄 身高身高 长度长度 面积面积 体积体积 质量等质量等),称为称为数量数量.(3)向量的大小叫做向量的向量的大小叫做向量的长度长度(或模或模).长度为零长度为零的向量叫零向的向量叫零向量量,记作记作0,零向量的方向零向量的方向任意任意,规定零向量与任意向量规定零向量与任意向量平行平行(共线共线).(4)相等向量是指相等向量是
2、指大小相等大小相等,方向相同方向相同的向量的向量;相反向量是指相反向量是指大大小相等小相等,方向相反方向相反的向量的向量,规定零向量的相等向量是规定零向量的相等向量是0,零向零向量的相反向量是量的相反向量是0.(5)方向相同或相反的向量叫方向相同或相反的向量叫平行向量平行向量,也叫也叫共线向量共线向量.长度为长度为1的向量叫做的向量叫做单位向量单位向量.2.向量的线性运算向量的线性运算(1)向量加法的定义向量加法的定义已知向量已知向量a b,如图如图,平面内任取一点平面内任取一点A,作作 b,再作再作 则则 叫做叫做a与与b的和的和,记作记作a+b.,ABa BC ,ACAC即即 求两个向量和
3、的运算叫做向量的求两个向量和的运算叫做向量的加法加法.abABBCAC (2)向量求和的三角形法则向量求和的三角形法则利用向量加法的定义求两个向量和的作图法则利用向量加法的定义求两个向量和的作图法则,叫做向量求和叫做向量求和的的三角形三角形法则法则.在运用此法则时在运用此法则时,要注意要注意“首尾相接首尾相接”,即两即两个向量的和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量个向量的和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量终终点点的向量的向量.(3)向量求和的平行四边形法则向量求和的平行四边形法则已知两个不共线向量已知两个不共线向量a b,作作 对对A B D三三点不共线点不共线,以以AB AD为邻边
4、作为邻边作平行四边形平行四边形ABCD,则对角则对角线上的向量是线上的向量是 =a+b,这个法则叫做两向量求和的这个法则叫做两向量求和的平平行四边形行四边形法则法则.,ABa ADb AC(4)向量的减法向量的减法向量向量a加上向量加上向量b的的相反向量相反向量叫做叫做a与与b的差的差,记作记作a-b,若若 则则(5)实数与向量积的定义实数与向量积的定义:实数实数与向量与向量a的积是一个的积是一个向量向量,记作记作a,|a|=|a|,当当0时时,a与与a方向方向相同相同;0时时,a的方向与的方向与a的方向相同的方向相同;当当0时时,a的方向与的方向与a的方向相反的方向相反;当当=0时时,a=0
5、.由此可由此可见见,总有总有a与与a平行平行;(2)运算律运算律:(ua)=(u)a,(+u)a=a+ua,(a+b)=a+b.1()4.:MAB,.O2OMOAOB 线段中点的向量表示 若是线段的中点是平面内任一点 则2,DEABCABAC,MNDEBC,ab,.BCa BDbDE CEMN 【典例】如图所示、分别是中、边的中点、分别是、的中点已知试用、分别表示、和1.211,.2211.22112211DE1.424BCDEBCDEaCECBBDDEabaabMNMDDBBNEDDBBCabaab 解由三角形中位线定理知 故即反思感悟反思感悟在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形在求向
6、量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中中,选用从同一顶点发现的基本向量或首尾相连的向量选用从同一顶点发现的基本向量或首尾相连的向量,运运用向量加、减法运算及数乘运算来求解用向量加、减法运算及数乘运算来求解,即充分利用相等即充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系向量、相反向量和线段的比例关系,运用三角形、平行四运用三角形、平行四边形法则边形法则,充分利用三角形中的中位线充分利用三角形中的中位线,相似三角形对应边相似三角形对应边成比例的平面几何的性质成比例的平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解有直接关系的向量来求解.类型三类型三数乘向量与共
7、线向量定理的应用数乘向量与共线向量定理的应用解题准备解题准备:(1)向量共线是指存在实数向量共线是指存在实数使两向量互相表示使两向量互相表示.(2)向量共线的充要条件中向量共线的充要条件中,通常只有非零向量才能表示与之通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量共线的其他向量,要注意待定系数法的运用和方程思想要注意待定系数法的运用和方程思想.(3)证明三点共线问题证明三点共线问题,可用向量共线来解决可用向量共线来解决,但应注意向量共但应注意向量共线与三点共线的区别与联系线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线才能得出三点共线.3ab,1:A,2
8、8,B D.2k,kabak.3().bABab BCab CDab 【典例】设两个非零向量 与 不共线若求证 三点共线试确定实数使和共线,28,3(),283()28335()5 1,B,ABD.ABab BCab CDabBDBCCDabababababABAB BD 解、共线 又它们有公共点、三点共线(2)ka+b与与a+kb共线共线,存在实数存在实数,使使ka+b=(a+kb),即即ka+b=a+kb.(k-)a=(k-1)b.a、b是不共线的两个非零向量是不共线的两个非零向量.k-=k-1=0,k2-1=0.k=1.反思感悟反思感悟(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时向量共
9、线的充要条件中要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意要注意待定系数法的运用和方程思想待定系数法的运用和方程思想.(2)证明三点共线问题证明三点共线问题,可用向量共线来解决可用向量共线来解决,但应注意向量共但应注意向量共线与三点共线的区别与联系线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时当两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线才能得到三点共线.错源一错源一忽视零向量性质致误忽视零向量性质致误【典例典例1】下列叙述错误的是下列叙述错误的是_.若若ab,bc,则则ac;若非零向量若非零向量a与与b方向相同或相反方向相
10、同或相反,则则a+b与与a、b之一的方之一的方向相同向相同;|a|+|b|=|a+b|a与与b方向相同方向相同;向量向量b与向量与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数共线的充要条件是有且只有一个实数,使得使得b=a;若若a=b,则则a=b.0;ABBA 剖析剖析忽视零向量的特殊性是本题出错的主要原因忽视零向量的特殊性是本题出错的主要原因,本题前四本题前四个结论都与此有关个结论都与此有关;另外两个相反向量的和是一个零向量另外两个相反向量的和是一个零向量,不是实数零不是实数零;最后一个结论可能忽视了最后一个结论可能忽视了=0的情况的情况.正解正解这六个命题都是错误的这六个命题都是错误的,因为对于
11、因为对于,当当b=0,a不一定与不一定与c平行平行;对于对于,当当a+b=0时时,其方向任意其方向任意,它与它与a、b的方向都不相同的方向都不相同;对于对于,当当a、b之一为零向量时结论不成立之一为零向量时结论不成立;对于对于,当当a=0,且且b=0,有无数个值有无数个值;当当a=0但但b0,不存在不存在.对于对于,由于两个向量之和得到的仍是一个向量由于两个向量之和得到的仍是一个向量,所以所以对于对于,当当=0时时,不管不管a与与b的大小与方向如何的大小与方向如何,都有都有a=b,此此时不一定有时不一定有a=b.0.ABBA 答案答案评析评析零向量的特殊性零向量的特殊性零向量是向量中最特殊的向
12、量零向量是向量中最特殊的向量,规定零向量的长度为规定零向量的长度为0,其方向其方向是任意的是任意的,零向量与任意向量都共线零向量与任意向量都共线.它在向量中的位置正它在向量中的位置正如实数中如实数中0的位置一样的位置一样,但有了它容易引起一些混淆但有了它容易引起一些混淆,稍微考稍微考虑不到就会出错虑不到就会出错,考生应给予足够的重视考生应给予足够的重视.错源二错源二错用实数运算律或运算法则错用实数运算律或运算法则|2,ABCD,abc_.|1,|2,ABADABaBCb BDc 【典例】如图已知矩形设则 错解错解|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=剖析剖析上述解法受实数运算律和运算法则的影
13、响致错上述解法受实数运算律和运算法则的影响致错.35.|2|4.abcABBCBDABBDADADADAD 正解由向量的三角形法则有 答案答案4技法一技法一数形结合思想数形结合思想【典例典例1】已知任意四边形已知任意四边形ABCD,O为其内部一点为其内部一点,且满足且满足 试确定该点的位置试确定该点的位置.解题切入点解题切入点条件中涉及四个向量的和的问题条件中涉及四个向量的和的问题,为了利用向量为了利用向量的加法法则的加法法则,我们可把四个向量之和的问题我们可把四个向量之和的问题,转化为向量两转化为向量两两相加的情形来解决两相加的情形来解决.0,OAOBOCOD 解解点点O是四边形是四边形AB
14、CD对边中点连线的交点对边中点连线的交点,证明如下证明如下:如图如图,以以OA、OD为邻边作为邻边作AODE,设设OE与与AD交于交于I;以以OB、OC为邻边作为邻边作BOCF,设设OF与与BC交于交于J,于是于是I、J分别是分别是AD与与BC的中点的中点.0,IOJ,OADBC.OABDC,O,0,.,OAOBOCODOAODOE OBOCOFOEOFOEOF 由于又故即与长度相同 方向相反 故、三点共线 即 在、的中点连线上同理可证 也在、的中点连线上 从而点 是四边形对边中点连线的交点技法二技法二分类讨论思想分类讨论思想【典例典例2】已知向量已知向量a、b,求作向量求作向量c,使使a+b
15、+c=0,表示表示a、b、c的有向线段能构成三角形吗的有向线段能构成三角形吗?解题切入点解题切入点本题需对两已知向量本题需对两已知向量a和和b的情形加以分类讨论的情形加以分类讨论.解解当当a和和b中至少有一个是零向量时中至少有一个是零向量时,作图较简单作图较简单,而且显然它而且显然它们不构成三角形们不构成三角形.以下假定以下假定a和和b都为非零向量都为非零向量:若若ab,则分同向和异向作图则分同向和异向作图(略略),它们都不能构成三角形它们都不能构成三角形.,(),ab,.,a,bc.ABa BCbACabCAabcAB BCCA 若 与 不平行 则作有向线段于是所以有向线段如图由以上作图可知 表示向量和 的有向线段、和能构成三角形
