1、上海高考数学复习讲座二上海高考数学复习讲座二主讲人主讲人:贺才兴贺才兴221,(,)|1(,)|222().012.01.2.12x y mRMx yyxNx yyxmmMNABCD、设，则集合中含有的元素的个数是或 或或或22(1)2yxmm22220yymm(221)()0ymym1 2,2myym2个；1 21,24mm m当1.个22118(2)(41)04mmmm (或当时取等根.).D选典型例题解解222sin3coslog(2)2().|12.|1012.|01.|1012xxxA xxB xxxC xxD xxx 、设，则满足等式的实数 的取值范围是或或22log(2)2sin
2、()3xx263312sin()23 221log(2)2xx 2224xxlog(01)1(0,)01(0,)ayx aaaa提醒：对函数且的单调性时，函数在上单调递增；时，函数在上单调递减。解解典型例题222sin3coslog(2)2().|12.|1012.|01.|1012xxxA xxB xxxC xxD xxx 、设，则满足等式的实数 的取值范围是或或22log(2)2sin()3xx263312sin()23 221log(2)2xx 2224xx1012.xx 或D选解解典型例题3213202901().30.305.15.nannABCD、设数列为等差数列，共有项，其中奇数
3、项之和为，偶数项之和为，则第项的值为无法求出13521242.320.290nnaaaaaaa1.30addd130and即111124.2320aadadand又1(1)(1)320nan nd即1(1)()320nand30(1)320n.n得到 不是整数，这是不可能的，即这样的数列不存在D选解解典型例题12124,(4)(4)1034().0.34.2 34.4x yzxyizxyizzuxyuABCD、已知是实数，令，则 的最大值为1210zz2222(4)(4)10 xyxy221259xy2222(4)(4)10(,)(4,0)(4,0)10.5,4,3.xyxyx yacb可以看
4、作点到点与到点的距离之和等于根据椭圆定义即可知道提醒：解解典型例题12124,(4)(4)1034().0.34.2 34.4x yzxyizxyizzuxyuABCD、已知是实数，令，则 的最大值为1210zz2222(4)(4)10 xyxy221259xy34uxy5cos3sin342222cos1sinxaxyybab椭圆的参数方程提醒：解解典型例题12124,(4)(4)1034().0.34.2 34.4x yzxyizxyizzuxyuABCD、已知是实数，令，则 的最大值为1210zz2222(4)(4)10 xyxy221259xy34uxy5cos3sin3434cos(
5、)3422sincossin(),tan.baxbxabxa辅助角公式其中提醒：解解典型例题12124,(4)(4)1034().0.34.2 34.4x yzxyizxyizzuxyuABCD、已知是实数，令，则 的最大值为1210zz2222(4)(4)10 xyxy221259xy34uxy5cos3sin3434cos()34解解典型例题2 34.C选51,_.nna balmnblmna b、设三个正数分别是等差数列的第 项，第项，第 项，又分别是等比数列的第 项，第项，第 项，则应满足关系式1()01()aml ddbnl d 设公差，则()nnmaaanm d是等差数列，则提醒：
6、解解典型例题51,_.nna balmnblmna b、设三个正数分别是等差数列的第 项，第项，第 项，又分别是等比数列的第 项，第项，第 项，则应满足关系式1()01()aml ddbnl d 设公差，则11amlbnl11(0)1m ln laqqqbq设公比，则n mnnmaaa q是等比数列，则提醒：解解典型例题51,_.nna balmnblmna b、设三个正数分别是等差数列的第 项，第项，第 项，又分别是等比数列的第 项，第项，第 项，则应满足关系式1()01()aml ddbnl d 设公差，则11amlbnl11(0)1m ln laqqqbq设公比，则解解典型例题lg()l
7、glg()lgamlqbnlqlglgamlbnl1lg1lgaabb11baab011dabq若，则，11baab11.baab此时也满足12312326()_.a a aaaaa、一个三位数如果同时有及称为凹数，则所有凹数的个数是21381 1aaa时，与的取值总数为；213722aaa时，与的取值总数为；213099aaa时，与的取值总数为；22212.9285.所以总共有个2222(1)(21)123.6n nnn提醒：解解典型例题285个1122127,02.nnnnabab abaanab、设等差数列和等比数列，且，求证：当时，120aa210,daa22111.baqba2111
8、2aada qb qb1(1)da q231.11nnqqqqn ，23322311,1,.,1,1.11nnnnqqqqqqqqn 提醒则：，即解解典型例题1122127,02.nnnnabab abaanab、设等差数列和等比数列，且，求证：当时，120aa210,daa22111.baqba21112aada qb qb1(1)da q231.11nnqqqqn ，解解典型例题1111nqnq即11(1)(1)nqqn 1(1)(1)1nqqn1111nnnbb qa q11(1)(1)a qna1(1)nanda1111118111,33.ABCDA BC DAMAB BNBDMNAB
9、BDMN、在正方体中各棱长为，试证是和的公垂线，并求的长.MMPABABPPN过作交于，连接MPABCD易知平面，PNAC由比例关系可以推出ACBDPNBD由MNBD由三垂线定理知三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条提醒：斜线垂直。解解典型例题1111118111,33.ABCDA BC DAMAB BNBDMNABBDMN、在正方体中各棱长为，试证是和的公垂线，并求的长.MMPABABPPN过作交于，连接MPABCD易知平面，PNAC由比例关系可以推出ACBDPNBD由MNBD由三垂线定理知,NNQABABQQM同理，过作交于，连接
10、1MNAB可证1.MNABBD即是和的公垂线13MP 易知，212()3233ACPNAC33MN解解典型例题1111118111,33.ABCDA BC DAMAB BNBDMNABBDMN、在正方体中各棱长为，试证是和的公垂线，并求的长1D以为坐标原点建立坐标系，如图(1,0,1),A则(1,1,1),B1(1,1,0),B(0,0,1),D1 2(1,),3 3M2 2(,1)3 3N10,1,1,AB 1,1,0,BD 1 1 1,3 3 3MN 1110,33MN AB 11033MN BD 1MNABBD是和的公垂线1113.9993MN 且解解典型例题009-26060.P AB
11、CDDABACBDOPOABCDPBABCD、在四棱锥中，底面是边长为的菱形，对角线与相交于，底面，与平面所成角为(1)-PABCD求四棱锥的体积；(2).EPBDEPA若是中点，求异面直线与所成角的大小典型例题009-26060.P ABCDDABACBDOPOABCDPBABCD、在四棱锥中，底面是边长为的菱形，对角线与相交于，底面，与平面所成角为(1)-PABCD求四棱锥的体积；-PABCDPOABCD解：在四棱锥中，底面PBOPBABCD是与底面所成的角，060PBO即，Rt AOB在中，1BO ，POBO，3,PO2 3.S底-12 332.3P ABCDV典型例题009-26060
12、.P ABCDDABACBDOPOABCDPBABCD、在四棱锥中，底面是边长为的菱形，对角线与相交于，底面，与平面所成角为(2).EPBDEPA若是中点，求异面直线与所成角的大小解法一：,ABFEF DF取中点，连接EFPA则()FEDDEPA是异面直线与所成角 或补角3OAOP6POAPA在等腰直角中，62EFABD是等边三角形3DFPBD又是等边三角形3DE典型例题009-26060.P ABCDDABACBDOPOABCDPBABCD、在四棱锥中，底面是边长为的菱形，对角线与相交于，底面，与平面所成角为(2).EPBDEPA若是中点，求异面直线与所成角的大小解法一：12cosEFFED
13、DE624432arccos.4所求角为典型例题009-26060.P ABCDDABACBDOPOABCDPBABCD、在四棱锥中，底面是边长为的菱形，对角线与相交于，底面，与平面所成角为(2).EPBDEPA若是中点，求异面直线与所成角的大小解法二：,OOB OC OPxyz以为坐标原点，射线分别为 轴轴轴的正半轴，建立空间坐标系,(0,3,0),A则(0,0,3),P(1,0,0),D 13(,0,)22E33,0,22DE0,3,3,AP 典型例题009-26060.P ABCDDABACBDOPOABCDPBABCD、在四棱锥中，底面是边长为的菱形，对角线与相交于，底面，与平面所成角
14、为(2).EPBDEPA若是中点，求异面直线与所成角的大小解法二：cos(,)DE APDE APDE AP 32933344242arccos.4所求角为典型例题210217ABCDyxyx、若正方形的一条边在直线上，另外两个顶点在抛物线上，则该正方形面积的最小值为多少？217AByx设正方形边在直线上，21122(,),(,)C x yD xyyx在上，:2CDlyxb则22yxbyx220.xxb,a令正方形边长为12122(),yyxx则由得22221212()()aCDxxyy2125()xx212125()20 xxx x20(1)(1)b解解典型例题210217ABCDyxyx、
15、若正方形的一条边在直线上，另外两个顶点在抛物线上，则该正方形面积的最小值为多少？217(0,17)yx在直线上任取一点，172(2)5byxba它到直线的距离2(17)(1)(2)20(1)5bb联立：123,63bb2min80.a解解典型例题25110,()(cos)(sin).2af xax axa、设的最大值为，求 的值2()(cossin)sincosf xaaxxxx22(cossin)1(cossin)2xxaaxxcossin2,2uxx 设，sincos2sin()2,24xxx 提醒：解解典型例题25110,()(cos)(sin).2af xax axa、设的最大值为，求
16、 的值2()(cossin)sincosf xaaxxxx22(cossin)1(cossin)2xxaaxxcossin2,2uxx 设，221()(221)2f xuaua则max2u2max1()(22 221)2fxaa()0,2,().f uuauf u 的对称轴所以时取得提醒最大值：解解典型例题25110,()(cos)(sin).2af xax axa、设的最大值为，求 的值2()(cossin)sincosf xaaxxxx22(cossin)1(cossin)2xxaaxxcossin2,2uxx 设，221()(221)2f xuaua则max2u2max1()(22 22
17、1)2fxaa解解典型例题252222 2240,aa2 2().a舍去负根12312312,1,2,4,32nnnnnaaaanaaaa、在数列中且当时12(1)(3);nnnaaan证(2)na证数列中每相邻两项均互素；1(3)lim.nnnaa求典型例题12312312,1,2,4,32nnnnnaaaanaaaa、在数列中且当时12(1)(3);nnnaaan证3213aaan，即成立；12kkknkaaa设时，成立；1nk则当时，11232kkkkaaaa12122()2kkkkkaaaaa1kkaa(1)(2)(3)1.kk 数学归纳法证明第一项成立；假设第 项提成立醒；证明第项成
18、立：解解典型例题12312312,1,2,4,32nnnnnaaaanaaaa、在数列中且当时12(1)(3);nnnaaan证3213aaan，即成立；12kkknkaaa设时，成立；1nk则当时，11232kkkkaaaa12122()2kkkkkaaaaa1kkaa解解典型例题123.nnnnaaa故对一切，都成立12312312,1,2,4,32nnnnnaaaanaaaa、在数列中且当时(2)na证数列中每相邻两项均互素；1iiaap设和的最大公约数为，1.iipaa则能整除和11iiiaaa1ipa能整除21iiiaaa又2ipa能整除2pa依次类推，可知整除21a 而，1p 故，
19、.na说明数列的每相邻两项互素解解典型例题12312312,1,2,4,32nnnnnaaaanaaaa、在数列中且当时1(3)lim.nnnaa求1limnnnaAa设，11lim(1)limnnnnnnnaaaaa则1limnnnaa1A1limlim.nnnnnaaa提若的极限存则：在醒，解解典型例题12312312,1,2,4,32nnnnnaaaanaaaa、在数列中且当时1(3)lim.nnnaa求1limnnnaAa设，11lim(1)limnnnnnnnaaaaa则1limnnnaa1A解解典型例题210AA 152A 10,nnaa151lim.2nnnaa13()0,()(
20、)().f xRa bRf abaf bbf a、已知是定义在 上的不恒为的函数 且对于任意的有(1)(0),(1)ff求的值；(2)()f x判断的奇偶性，并证明你的结论；(2)(3)(2)2,(),.nnnnffunNunSn若求数列的前 项和典型例题13()0,()()().f xRa bRf abaf bbf a、已知是定义在 上的不恒为的函数 且对于任意的有(1)(0),(1)ff求的值；0ab令，(0)0;f则1ab令，(1)(1)(1)fff则(1)0.f解解典型例题13()0,()()().f xRa bRf abaf bbf a、已知是定义在 上的不恒为的函数 且对于任意的有
21、(2)()f x判断的奇偶性，并证明你的结论；1,abx 令，()()(1)fxf xx f 则1,1ab 再令，(1)(1)(1)fff 则2(1)0f(1)0f()()fxf x，().f x即是奇函数解解典型例题13()0,()()().f xRa bRf abaf bbf a、已知是定义在 上的不恒为的函数 且对于任意的有(2)(3)(2)2,(),.nnnnffunNunSn若求数列的前 项和()()()0f abf af bababab当时，()(),f xg xx令()()f xxg x即，()()()g abg ag b则()()ng ang a()()nnnf aa g a(
22、)nna g a1()nnaag a1()nnaf a1()(),nnf aaf an1(2)11()()22nnnfufn解解典型例题13()0,()()().f xRa bRf abaf bbf a、已知是定义在 上的不恒为的函数 且对于任意的有(2)(3)(2)2,(),.nnnnffunNunSn若求数列的前 项和111(1)(2)2()(2)222ffff12()102f 11()22f 111()22nnu 111()22112nnS1()1.2n解解典型例题222212121212121214,1,1,1.a ab baabbaabb、已知命题：设与都是正数，且则中的最小数一定不
23、大于(1)n试将上述命题推广到 个比值的情况，写出推广后的命题；(2).证明你所推广的命题典型例题222212121212121214,1,1,1.a ab baabbaabb、已知命题：设与都是正数，且则中的最小数一定不大于(1)n试将上述命题推广到 个比值的情况，写出推广后的命题；1212(1),.,.,nna aab bb设与都是正数，22212.1,naaa且22212.1nbbb，1212,.,1.nnaaabbb则中的最小数一定不大于解解典型例题222212121212121214,1,1,1.a ab baabbaabb、已知命题：设与都是正数，且则中的最小数一定不大于(2).证
24、明你所推广的命题(2)1rrab证：设为最小数，1212,.,nrrrrrrnaaaaaabbbbbb则1212,.,.,nna aab bb与都是正数1122,.,rrrnnrrraaababababbb2222222221122(),(),.,()rrrnnrrraaababababbb典型例题222212121212121214,1,1,1.a ab baabbaabb、已知命题：设与都是正数，且则中的最小数一定不大于(2).证明你所推广的命题22222221212()(.).rnnrabbbaaab2()1rrab，1.rrab即典型例题222212121212121214,1,1,1
25、.a ab baabbaabb、已知命题：设与都是正数，且则中的最小数一定不大于(2).证明你所推广的命题2()11证：反证法 假设最小数大于，则全部分数均大于，12121,1,.,1nnaaabbb即1122,.,nnab abab2222221122,.,nnababab2222221212.nnaaabbb11 ，矛盾1.n故 个分数中的最小值一定不大于典型例题(1)(2,2),.PxoyPPO设点在斜坐标系中的坐标是求点到原点 的距离01545(,),.Pxoyx yPM NxMyN、两个同样的坐标轴成放置构成平面的一个斜坐标系，平面上任一点在斜坐标系中的坐标定义如下：过点作两坐标轴的
26、平行线分别交两坐标轴于两点，则 表示点的坐标表示点的坐标(2),1.Oxoy求以原点为圆心 半径为 的圆在斜坐标系中的方程典型例题(1)(2,2),.PxoyPPO设点在斜坐标系中的坐标是求点到原点 的距离01545(,),.Pxoyx yPM NxMyN、两个同样的坐标轴成放置构成平面的一个斜坐标系，平面上任一点在斜坐标系中的坐标定义如下：过点作两坐标轴的平行线分别交两坐标轴于两点，则 表示点的坐标表示点的坐标2220(1)2cos45OPOMMPOM MP22OP解解典型例题01545(,),.Pxoyx yPM NxMyN、两个同样的坐标轴成放置构成平面的一个斜坐标系，平面上任一点在斜坐
27、标系中的坐标定义如下：过点作两坐标轴的平行线分别交两坐标轴于两点，则 表示点的坐标表示点的坐标(2),1.Oxoy求以原点为圆心 半径为 的圆在斜坐标系中的方程(2)(,)(,)xoyPxoyP x yxoyP x y如图建立直角坐标系，若点 在中的坐标为，则在中的坐标为2222xxyyy解解典型例题01545(,),.Pxoyx yPM NxMyN、两个同样的坐标轴成放置构成平面的一个斜坐标系，平面上任一点在斜坐标系中的坐标定义如下：过点作两坐标轴的平行线分别交两坐标轴于两点，则 表示点的坐标表示点的坐标(2),1.Oxoy求以原点为圆心 半径为 的圆在斜坐标系中的方程221xoyxy在坐标
28、系中，圆的方程为2222()()122xoyxyy在斜坐标系中，圆的方程为2221xxyy即典型例题解解16,3.5,|4,.OxPQOPOQPQ、设双曲线的中心在坐标原点焦点在 轴上 过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于、两点 若求双曲线的方程222231,(),5xyyxcab设双曲线方程为直线方程为22222221,3()5xyabcabyxc则典型例题解解22224(53)2 1530bayb cyb或16,3.5,|4,.OxPQOPOQPQ、设双曲线的中心在坐标原点焦点在 轴上 过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于、两点 若求双曲线的方程22,530.PQbaQ、两点不同,将上
29、述两式相加 得22222222(53)6350baxa cxa ca b典型例题解解16,3.5,|4,.OxPQOPOQPQ、设双曲线的中心在坐标原点焦点在 轴上 过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于、两点 若求双曲线的方程22222242222(53)()62 153350,baxya cxb cyba ca b.这是一个圆的方程,OPOQ PQOQ为直径，点在圆上4222242243350,3830ba ca bba ba即222,150,caxyaxay代入圆方程 得典型例题解解223,ba22215()()4.22axyaa即|4,1,PQaQ16,3.5,|4,.OxPQOPOQ
30、PQ、设双曲线的中心在坐标原点焦点在 轴上 过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于、两点 若求双曲线的方程典型例题解解221.3yx 故所求双曲线方程为200172(0)()|.ypx pA BM xyFAFMFBF、抛物线上两动点、及一定点，为焦点，已知、成等差数列0(1)(0)ABQ xp求证：线段的垂直平分线过定点，；(2)(1)|4|6()MFOQO在中，若，为坐标原点，求抛物线方程；(3)(2).AQB对于中的抛物线，求的面积的最大值典型例题200172(0)()|.ypx pA BM xyFAFMFBF、抛物线上两动点、及一定点，为焦点，已知、成等差数列0(1)(0)ABQ xp求
31、证：线段的垂直平分线过定点，；120|,222pppAFxBFxMFx则，1122()(),2pA xyB xyx 设，准线1202.2xxMFAFBFx22112222ypxypx，2212122()yyp xx典型例题1212122.AByypkxxyy200172(0)()|.ypx pA BM xyFAFMFBF、抛物线上两动点、及一定点，为焦点，已知、成等差数列0(1)(0)ABQ xp求证：线段的垂直平分线过定点，；121200(),22yyyyxxp 120()2yyABN x中点为，0(0).Q xp故，为一定点典型例题12120()22yyyyNAByxxp 过点垂直的直线方
32、程为0 xxp得，200172(0)()|.ypx pA BM xyFAFMFBF、抛物线上两动点、及一定点，为焦点，已知、成等差数列(2)(1)|4|6()MFOQO在中，若，为坐标原点，求抛物线方程；042px，042px，28.yx抛物线方程为典型例题解解06xp，200172(0)()|.ypx pA BM xyFAFMFBF、抛物线上两动点、及一定点，为焦点，已知、成等差数列(3)(2).AQB对于中的抛物线，求的面积的最大值120122(),2yypAByxxyy直线：124(2)2yytytxt 设，则，222822160yxytyt与联立得：，2244(216)044.ttt(
33、2)ABykxt，典型例题解解128,ABkyy200172(0)()|.ypx pA BM xyFAFMFBF、抛物线上两动点、及一定点，为焦点，已知、成等差数列(3)(2).AQB对于中的抛物线，求的面积的最大值12122122128421()164641()yyyyQABdyyyy到直线的距离12121212(),ABAByyyykxxxxk2221212121221|()()(1)()4ABABxxyyyyy yk典型例题解解200172(0)()|.ypx pA BM xyFAFMFBF、抛物线上两动点、及一定点，为焦点，已知、成等差数列(3)(2).AQB对于中的抛物线，求的面积的
34、最大值1|2AQBSAB d故221212122111(1)()4()1624AByyy yyyk2221(1)(644)16216ttt典型例题解解200172(0)()|.ypx pA BM xyFAFMFBF、抛物线上两动点、及一定点，为焦点，已知、成等差数列(3)(2).AQB对于中的抛物线，求的面积的最大值2221(16)(16)164ttt典型例题解解2221(16)(322)(16)4 2ttt222313221616()34 2ttt64 6.9218()(,)(),(),.f xxaxb a bRAx xf x xRBx xf f xxR、设函数，集合(1);AB证明：(2)
35、1,3.AB 当时，求集合典型例题218()(,)(),(),.f xxaxb a bRAx xf x xRBx xf f xxR、设函数，集合(1);AB证明：0000,(),xAxf xxR对任意的有000()()xf xf f x0 xBAB.命题得证解解典型例题218()(,)(),(),.f xxaxb a bRAx xf x xRBx xf f xxR、设函数，集合(2)1,3.AB 当时，求集合 1,3A，1(1),3(3)ff 22(1)1333abab 即13ab 2()3f xxx()xf f x222(3)(3)3xxxxx222(3)(3)30 xxxxx即解解典型例题
36、218()(,)(),(),.f xxaxb a bRAx xf x xRBx xf f xxR、设函数，集合(2)1,3.AB 当时，求集合(1)AB由1 3B，1 3，是上述方程的根，2(1)(3)23,xxxx即方程左端含有因式22(23)(3)0 xxx于是上述方程可化为：1,3,3,x 解得 1,3,3,3.B 故得解解典型例题219(1,4),(2,1)(1)(2).ayaxbxcABxabc、已知 是正整数，抛物线过点，且与轴有两个不同的交点，求：的最小值；的最大值典型例题219(1,4),(2,1)(1)ayaxbxcABxa、已知 是正整数，抛物线过点，且与轴有两个不同的交点
37、，求：的最小值；41(1)42132abcbaabcca 由题知2240(1)4(32)0bacaaa 又，即112,9aaa或2.a即 的最小值为解解典型例题219(1,4),(2,1)(2).ayaxbxcABxbc、已知 是正整数，抛物线过点，且与轴有两个不同的交点，求：的最大值(2)234,bca 2,3,1abc 当时，等号成立，4.bc即的最大值为解解典型例题220().yaxbxc abxabcmmba、已知二次函数的图像恒不在轴下方，且恒成立，求实数的取值范围20yaxbxc恒成立24444()abcaabacbaa ba22444()aabba ba244()4(1)bbaaba24414(1)babctttabat令，19(5)41tt19(1)641tt1(66)3.4解解典型例题2040abac 且220().yaxbxc abxabcmmba、已知二次函数的图像恒不在轴下方，且恒成立，求实数的取值范围244,4tba bac当且仅当，即时，等号成立，33.abcmba的最小值为，即解解典型例题
