1、第六章第六章 复习课复习课1.d)(baxxfU,ba，d,xxx xxfUd)(d.,ba，x2baxx x)(xfy baxxfAd)(，xxgxfAdd)()(baxxgxfA d)()(abxxx )(xgy)(xfy baxyd3xyocd)(yx y+dyy dcyyAd)(dcyxdxoy)(yx )(yx cdy+dyy dcyyyA d)()(，yyyAd)()(d 4 )()(tytx .)()(21 tttttA d 1t2tdbaAy x 5围成的曲边梯形绕围成的曲边梯形绕x轴轴旋转一周而成的立体的体积旋转一周而成的立体的体积.由连续曲线由连续曲线、)(xfy 直线直线
2、x=a、x=b(ab)及及x轴所轴所(1).xf(x)abx.dxx Vxxfd)(2 ba 3.求旋转体的体积求旋转体的体积.d2 baxy 6xyo)(yx cd dcyx d2),(yx dycy ,yy V2()dyy d c 71、.9)0(,22为为所所围围成成的的平平面面图图形形的的面面与与使使曲曲线线为为何何值值时时求求xyaaxya xoy2yx 2yax 解解22yaxyx 323(0,0),(,),aa交交点点为为依题意得依题意得:320()d9aaxxx 27.a 82、,sin,01xyeyx xxx 求求曲曲线线和和围围成成的的平平面面图图形形绕绕 轴轴旋旋转转而而
3、成成的的xoy解解 选积分变量为选积分变量为x,则积分区间为则积分区间为0,1体积元素为体积元素为dV 22ddyxyx 下下上上22=()d(sin)dxexxx xye sinyx 22(sin)dxexx 则所求得体积为则所求得体积为:1220=(sin)dxVexx 2(24sin2).4e .立立体体的的体体积积9xyo3yx A0 xB解解300(,),Axx设设 点点的的坐坐标标为为231,3yx 则则切切线线方方程程为为2330001(),3yxxxx 002,yxx 令令，得得0(2,0),Bx 则则 点点的的坐坐标标为为3(03),yx xA 过过曲曲线线 上上点点 作作切
4、切线线 使使该该例例切切线线与与曲曲线线xD3 3及及 轴轴围围成成的的平平面面图图形形 的的面面积积为为，求求4 4(1)(2)ADx点点 的的坐坐标标；求求 绕绕 轴轴旋旋转转一一周周所所得得立立体体的的体体积积.103yx A0 xB依题意有依题意有033000133d,24xxxx x 002,yxx 令令,得得0(2,0),Bx 则则 点点的的坐坐标标为为3(03),yx xA 过过曲曲线线 上上点点 作作切切线线 使使该该例例切切线线与与曲曲线线xD3 3及及 轴轴围围成成的的平平面面图图形形 的的面面积积为为，求求4 4(1)(2)ADx点点 的的坐坐标标；求求 绕绕 轴轴旋旋转
5、转一一周周所所得得立立体体的的体体积积.01x 解解得得，01y ，(1,1).A则则点点 的的坐坐标标为为(2)Dx绕绕 轴轴旋旋转转所所得得的的体体积积为为122301 13()d3Vxx 12302()d.5xx xyo11计算由曲线计算由曲线的体积。的体积。21,yx43 221Vy dx 221(1)xdx 体积为体积为直线直线x=1,x=2及及x轴轴所围成的平面图形绕所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体轴旋转一周所得旋转体12设位于曲线设位于曲线下方，下方，x轴上方的无界区域为轴上方的无界区域为G，求，求G绕绕x轴旋转轴旋转21(1ln)yxx ()ex 21(1)tte dt
6、et 2211arctan14dttt ln,xt 2eVy dx 2(1ln)edxxx 一周所得空间区域的体积。一周所得空间区域的体积。体积为体积为令令136.(1,0)2PyxL 过过点点作作曲曲线线的的切切线线,将将曲曲线线1.;DA求求 的的面面积积2.yxLxD 、切切线线 及及 轴轴所所围围成成的的平平面面图图形形记记为为2.Dx求求 绕绕 轴轴旋旋转转一一周周所所成成旋旋转转体体的的体体积积.切切线线方方程程:0001-2(),22yxxxx (1,0),P切切线线过过000102(1),22xxx 则得则得03,x 01,y (3,1).M切切点点的的坐坐标标为为切切线线方方
7、程程:1-1(3),2yx 210.xy 即即146.(1,0)2PyxL 过过点点作作曲曲线线的的切切线线,将将曲曲线线1.;DA求求 的的面面积积2.yxLxD 、切切线线 及及 轴轴所所围围成成的的平平面面图图形形记记为为yo1M32x(3,1)1.;DA的的面面积积dA :则则所所求求面面积积为为1202(21)dAyyy 面积元素为面积元素为22(21)d,yyy 积分变量取积分变量取y,则则210.xy 120(1)d(1)yy 3 101(1)3y 3 101(1)3y 1.3P156.(1,0)2PyxL 过过点点作作曲曲线线的的切切线线,将将曲曲线线2.yxLxD 、切切线线
8、 及及 轴轴所所围围成成的的平平面面图图形形记记为为2.Dx求求 绕绕 轴轴旋旋转转一一周周所所成成旋旋转转体体的的体体积积.y1M32x体体积积为为：322211(312)d3xx （）V (2)积分变量取积分变量取x,则则32232dxx （）232212 32xx 2132 .6 16yr解解hP rh设设圆圆锥锥体体的的底底半半径径为为、高高为为。,0hx xoxhry ,建建立立坐坐标标系系如如图图所所示示的的方方程程为为则则直直线线 OP处处的的体体积积元元素素为为为为积积分分变变量量，则则取取 xx2d()d V xyx 2()d ,0,.rxxxhh 0 d()hVV x 圆圆
9、锥锥体体的的体体积积为为20()d hrxxh .312hr 的的体体积积公公式式？为为积积分分变变量量建建立立圆圆锥锥体体：能能否否以以 y思思考考xy17yr另解另解hPxo为为积积分分变变量量，取取 yd()V y .0,ry 0d()rVV y 02()d rhy hyyr .312hr xy2()d ,hyhyyr 式式。球球体体、椭椭球球体体等等体体积积公公：以以本本例例方方式式可可以以建建立立注注2()d yhxy 处处的的体体积积元元素素为为则则 y1833cos,(0)sin,xatayat a aoyx由公式由公式 2 ()dbaVf xx 2 daaVyx 2 02day
10、x 0262 22sin3 cos(sin)datattt 3722 06sin(1 sin)dattt 37922 0 06sin dsin)d at ttt 36 4 28 6 4 267 5 39 7 5 3a 332.105a19a aoyx,323232xay 222333(),yax,aax xxaVaad33232 .105323a 33cos,(0)sin,xatayat 20例例9 9解解121xx e dx求2xx e因为为偶函数1122102xxx e dxx e dx故1202xx de11220022xxx ee dx1024xexe dx24e1024xexde11
11、0024xxexee dx21例例1010212200(),(1)().xyyf xedyxf x dx设求解解120(1)()xf x dx13130011(1)()(1)()33xf xxdf x 1021)1(2)1()1(612xdexxux 2)1(令令 016duueeu).2(61 e1301()(1)3f x d x(0)0f注意到213201(1)3xxxedx 22abf(x)yx0u求旋转体体积求旋转体体积 柱壳法柱壳法曲边梯形曲边梯形 y=f(x)，xdxx=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴生成的旋转的体积生成的旋转的体积.23xabyx0)(2xxf内表面积内表面积
12、.dxdV=2 x f(x)dxf(x)u求旋转体体积求旋转体体积 柱壳法柱壳法曲边梯形曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴生成的旋转的体积生成的旋转的体积.24byx0adV=2 x f(x)dxf(x).u求旋转体体积求旋转体体积 柱壳法柱壳法曲边梯形曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴生成的旋转的体积生成的旋转的体积.25byx0adV=2 x f(x)dxf(x)0.u求旋转体体积求旋转体体积 柱壳法柱壳法曲边梯形曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴生成的旋转的体积生成的旋转的体积.260y0 xbxadxd
13、V=2 x f(x)dxf(x)0.u求旋转体体积求旋转体体积 曲边梯形曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴生成的旋转的体积生成的旋转的体积.27f(x)Yx0bdx0yz.2()dbyaVxf xx a.dV=2 x f(x)dx28baoyxxx x)(xfy 围成的曲边梯形绕围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周轴旋转一周而成的立体的体积而成的立体的体积.求由连续曲线求由连续曲线、)(xfy 直线直线x=a、x=b(ab)及及x轴所轴所小结小结.2()dbyaVxf xx 类似地，类似地，如果旋转体是由如果旋转体是由连续曲线连续曲线),(yx 直线直线dycy ,及及
14、y轴轴所所围成的围成的曲边梯形曲边梯形绕绕 轴轴旋转旋转一周一周而而成的成的立体的体积立体的体积.xxyocd)(yx y+dyy2()ddxcVyyy 29a2柱壳体积柱壳体积xxxdy:可可按按柱柱壳壳法法求求出出2 x y 柱面面积柱面面积2dxyx 1.计算摆线计算摆线(sin)(1 cos)xa ttyat (0)a 的一拱与的一拱与 y0所围成的图形分别所围成的图形分别y 轴旋转而成的立体体积轴旋转而成的立体体积.(sin)(1 cos)xa ttyat 202dayVxy x 2 20(sin)a tt (1 cos)at 22dt30解解4,0 y3PM取积分变量为取积分变量为
15、y,PQyd体积元素为体积元素为yQMPMVdd22 yyyd)43()43(22 ,d412yy yyVd4124 0 .64 求由曲线求由曲线24xy 及及y=0所围成的图形绕直线所围成的图形绕直线x=3旋转构成的旋转体的体积旋转构成的旋转体的体积.2.313.3.求圆 绕 轴旋转一周所成的旋转体(环体)的体积(图7-15)。)0()(222baaybxy解解:将圆的方程改写为22yabx则右半圆的方程为221)(yabyxx左半圆的方程为222)(yabyxx32解 环体是这两个半圆在 轴的区间 上所围成的曲边梯形绕轴旋转所得体积之差，于是得体积微元为：从而由公式可得环体体积为：y,aaydyxxdyyxdyyxdV)()()(22212221aadyxxV)(2221aadyyabyab)()(222222222 ba33
