1、青云学府高二数学组 谢大强1.导数的概念导数的概念 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内的每一内的每一点处都有导数点处都有导数,此时对于每一个此时对于每一个x(a,b),都都对应着一个确定的导数对应着一个确定的导数f(x),从而构成了从而构成了一个新的函数一个新的函数f(x),称这个函数称这个函数f(x)为函为函数数y=f(x)在开区间内的导数，简称导数在开区间内的导数，简称导数,也也记作记作y,即即f(x)=y=lim =.x0limx000()()f xxf xxyx2.导数的几何意义导数的几何意义 函数函数y=f(x)在在x=x0处的导数的几何意义处的导数的几何意义,就是
2、曲线就是曲线y=f(x)在点在点P(x0,f(x0)处的切线的斜处的切线的斜率率,即即k=,相应地相应地,切线方程为切线方程为 .3.常用函数的导数公式常用函数的导数公式C=0(C为常数为常数);(xn)=(nQ);(sinx)=cosx;(cosx)=;(ex)=ex;(ax)=;(lnx)=;(logax)=.f(x0)y-f(x0)=f(x0)(x-x0)1x1xInanxn-1-sinxaxlna4.导数的运算法则导数的运算法则(1)f(x)g(x)=f(x)g(x);(2)f(x)g(x)=;(3)f(x)g(x)=(g(x)0).f(x)g(x)+f(x)g(x)2()()()()
3、()fx g xf x g xg x5.函数的单调性与其导数的关系函数的单调性与其导数的关系 (1)对于定义在区间对于定义在区间(a,b)内连续不间断内连续不间断的函数的函数y=f(x)，由，由f(x)0 y=f(x)在在(a,b)内内单调递增单调递增 f(x)0在在(a,b)内恒成立，其中内恒成立，其中(a,b)为为f(x)的单调递增区间；的单调递增区间；(2)对于定义在区间对于定义在区间(a,b)内连续不间断内连续不间断的函数的函数y=f(x),由由f(x)0.f(x)0在在(a,b)内恒成立，内恒成立，其中区间其中区间(a,b)为为f(x)的单调递减区间的单调递减区间.y=f(x)在在(
4、a,b)内单调递减内单调递减6.函数的极值与其导数的关系函数的极值与其导数的关系(1)极值与极值点：设函数极值与极值点：设函数f(x)在点在点x0及及其附近有定义，如果对其附近有定义，如果对x0附近的异于附近的异于x0的所的所有点有点x,都有都有 ,则称则称f(x0)为为f(x)的极大的极大值值,记作记作y极大值极大值=f(x0),x0为极大值点为极大值点.反之反之,若若 ,则称则称f(x0)为为f(x)的极小值，记作的极小值，记作y极小值极小值=f(x0),x0为极小值点，极大值和极小为极小值点，极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点为极
5、值点.(2)若若x0为可导函数为可导函数f(x)的极值点，的极值点，则则有有 ，不一定成立，不一定成立.f(x)f(x0)f(x0)=07.函数的最值与其导数的关系函数的最值与其导数的关系(1)函数的最值：如果在函数函数的最值：如果在函数y=f(x)的定义的定义域域I内存在内存在x0，使得对任意的，使得对任意的xI，都有都有 ,则称则称f(x0)为函数的最大值为函数的最大值,记作记作ymax=f(x0);反之反之,若有若有 ,则称则称f(x0)为函数的最小值，记为函数的最小值，记作作ymin=f(x0).最大值和最小值统称为最值；最大值和最小值统称为最值；(2)如果函数如果函数y=f(x)在闭
6、区间在闭区间a,b上的上的图图象是象是 的曲线的曲线,则该函数在闭区则该函数在闭区间间a,b上一定能够取得最大值与最小值上一定能够取得最大值与最小值.f(x)f(x0)f(x)f(x0)一条连续不间断一条连续不间断8.极值与最值的区别与联系极值与最值的区别与联系极值是反映函数的局部性质，最值是极值是反映函数的局部性质，最值是反映函数的整体性质反映函数的整体性质.极大极大(小小)值不一定是值不一定是最大最大(小小)值，最大值，最大(小小)值也不一定是极大值也不一定是极大(小小)值，极大值不一定比极小值大值，极大值不一定比极小值大.但如果但如果函数的图象是一条不间断的曲线，在区间函数的图象是一条不
7、间断的曲线，在区间(a,b)内只有一个极值，那么极大值就是最内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值大值，极小值就是最小值.9.利用导数解决生活中的优化问题可归结利用导数解决生活中的优化问题可归结为求函数的最值问题为求函数的最值问题其解题的程序其解题的程序:读题读题(文字语言文字语言)建模建模(数数学语言学语言)求解求解(数学应用数学应用)反馈反馈(检验作答检验作答)注意事项：注意事项：(1)函数建模，要设出两个变量，根据题函数建模，要设出两个变量，根据题意分析它们的关系，把变量间的关系转化成意分析它们的关系，把变量间的关系转化成函数关系式，并确定自变量的取值范围；函数关系式，并
8、确定自变量的取值范围；(2)问题求解中所得出的数学结果要检问题求解中所得出的数学结果要检验它是否符合问题的实际意义；验它是否符合问题的实际意义；(3)在函数定义域内只有一个极值，则在函数定义域内只有一个极值，则该极值就是所求的最大该极值就是所求的最大(小小)值值.10.近几年高考中和导数有关的综合题近几年高考中和导数有关的综合题主要有以下几类主要有以下几类(1)求参数的取值范围求参数的取值范围.多数给出单调性多数给出单调性,利用导数研究函数单调性的逆向思维问题利用导数研究函数单调性的逆向思维问题,灵活运用等价转化、分类讨论、数形结合灵活运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想方法等思想方法,建立
9、关于字母参数的不等关系建立关于字母参数的不等关系.(2)用导数方法证明不等式用导数方法证明不等式.其步骤一般是：构造可导函数其步骤一般是：构造可导函数研研究单调性或最值究单调性或最值得出不等关系得出不等关系整整理得出结论理得出结论.(3)与几何图形相关的最值问题与几何图形相关的最值问题.根据几根据几何知识建立函数关系，然后用导数方法求何知识建立函数关系，然后用导数方法求最值最值.1.函数函数f(x)在在x=x0处的导数可表示为处的导数可表示为f(x0)或或y|x=x0,即即()DA.f(x0)=f(x0+x)-f(x0)B.f(x0)=limf(x0+x)-f(x0)C.f(x0)=D.f(x
10、0)=limx0 x000()()f xxf xx00()()f xxf xx由导数的定义知由导数的定义知D正确正确.2.下列求导运算正确的是下列求导运算正确的是()CA.(xn)=nxn B.()=C.()=D.(sinx+cosx)=cosx+sinx1x21x12xx 因为因为(xn)=nxn-1，所以，所以A不正确不正确.因为因为()=(x-1)=-x-2=-,所以所以B不正确不正确.因为因为(x)=()=,所以所以C正确正确.因为因为(sinx+cosx)=cosx-sinx,所以所以D不正确不正确.故选故选C.1x21x1212x112x12 x3.以初速度以初速度v0(v00)垂
11、直上抛的物体垂直上抛的物体,t秒时的秒时的高度为高度为s(t)=v0t-gt2,则物体在则物体在t0时刻的瞬时时刻的瞬时速度是速度是 .12st 先求出先求出s,再用定义求当再用定义求当t0时时,的极限值的极限值.v0-gt0 s=v0(t0+t)-g(t0+t)2-(v0t0-12gt02)=(v0-gt0)t-g(t)2,所以所以 =v0-gt0-gt,所以所以t0时，时，v0-gt0.故物体在时刻故物体在时刻t0的瞬时速度为的瞬时速度为v0-gt0.12st1212st 瞬时速度即是平均速度在瞬时速度即是平均速度在t0时时的极限值，为此，要求瞬时速度，应先的极限值，为此，要求瞬时速度，应
12、先求出平均速度求出平均速度.4.函数函数y=x2+x-1+e2x+lgx+tanx的导函数是的导函数是y=.直接运用求导公式和运算法则求即可直接运用求导公式和运算法则求即可.2221112210cosxxexxInx5.曲线曲线y=2x2+1在在(0,1)处的切线方程是处的切线方程是 .y=1因为因为y=4x,所以所以k=y|x=0=0,所以所以y-1=0(x-0)=0,所以所以y=1.1.导数的核心是变化率，在给定的导数的核心是变化率，在给定的关系式中，会两边同时对某一变量求导，关系式中，会两边同时对某一变量求导，得出相应的变化率得出相应的变化率.2.导数的运算导数的运算.1先化简，确定类型
13、，再依次选用先化简，确定类型，再依次选用求导公式、运算法则进行求导求导公式、运算法则进行求导.2求复合函数的导数，关键是选择求复合函数的导数，关键是选择好中间变量，如例好中间变量，如例2中的中的(4)y=,若令若令y=,u=v4,v=1-3x，计算就麻烦了，计算就麻烦了.然后逐然后逐层求导，每一步对谁求导不能混淆，最层求导，每一步对谁求导不能混淆，最后应把中间变量转换成自变量后应把中间变量转换成自变量.3要弄清函数的导数与导数值的区要弄清函数的导数与导数值的区别与联系，欲求导数值，先求其导数，别与联系，欲求导数值，先求其导数，再将值再将值x0代入代入,求出导数值求出导数值f(x0)，导数是，导
14、数是原来函数的导函数原来函数的导函数,而导数值是导数函数而导数值是导数函数在某一点的函数值在某一点的函数值,导函数值是常数导函数值是常数.41(1 3)x1u3.切线切线.1注意是求在点注意是求在点P处的切线，还是处的切线，还是求过点求过点P的切线的切线.在点在点P处的切线以点处的切线以点P为为切点，过点切点，过点P的切线，点的切线，点P不一定是切点，不一定是切点，需要设出切点需要设出切点.2斜率斜率k=f(x)不存在时不存在时,曲线在该点曲线在该点处并不一定没有切线处并不一定没有切线,要检验直线要检验直线x=x0是是否为该曲线的切线否为该曲线的切线.3直线与曲线公共点的个数不直线与曲线公共点
15、的个数不是切线的本质特征是切线的本质特征,直线与曲线只有直线与曲线只有一个公共点一个公共点,不能说明直线就是曲线不能说明直线就是曲线的切线的切线,反之反之,直线是曲线的切线直线是曲线的切线,也不也不能说明直线与曲线只有一个公共点能说明直线与曲线只有一个公共点.4曲线未必在其切线的曲线未必在其切线的“同同侧侧”，例如直线，例如直线y=0是曲线是曲线y=x2在点在点（0，0）处的切线）处的切线.6.已知函数已知函数f(x)在点在点x0处连续，下列命题中处连续，下列命题中,正确的是正确的是()CA.导数为零的点一定是极值点导数为零的点一定是极值点B.如果在点如果在点x0附近的左侧附近的左侧f(x)0
16、,右侧右侧f(x)0,右侧右侧f(x)0，那么，那么f(x0)是极大值是极大值D.如果在点如果在点x0附近的左侧附近的左侧f(x)0,那么那么f(x0)是极大值是极大值 由极值的定义知由极值的定义知C正确正确.7.函数函数y=的单调递增区间为的单调递增区间为()B21xxA.(-,-1)B.(-1,1)C.(1,+)D.(-,2)因为因为y=,所以由所以由y0得得1-x20,所以所以x21,所以所以-1x0时，时，f(x)0,g(x)0，则，则x0,g(x)0 B.f(x)0,g(x)0C.f(x)0 D.f(x)0,g(x)0，f(x)0，所以，所以f(x)在在(0,+)上单调上单调递增，递
17、增，所以所以f(x)在在(-,0)上也是单调递增上也是单调递增,即即x0.同理，同理，g(x)在在(-,0)上单调递减，上单调递减，所以所以x0时，时，g(x)0，故选，故选B.12.已知函数已知函数y=f(x)的图象如右的图象如右图所示图所示(其中其中f(x)是函数是函数f(x)的的导函数导函数).下面四个图象中下面四个图象中,y=f(x)的大致图象是的大致图象是()A y=f(x),由题图知，由题图知，当当x-1时，时，y0,所以所以f(x)0,所以所以f(x)递增递增;当当0 x1时时,y0,所以所以f(x)0,所以所以f(x)递减递减;当当x1时，时，y0,所以所以f(x)0,所以所以
18、f(x)递增递增.故选故选A.13.内接于半径为内接于半径为R的半圆的周长最大的矩的半圆的周长最大的矩形的边长分别是形的边长分别是 .R和和 R554 55 如图，设矩形的一边如图，设矩形的一边长为长为2x,则另一边长为则另一边长为 (0 xR),所以矩形的周长所以矩形的周长y=2(2x+),所以所以y=2(2-)(0 xR).令令y=0,得得x=R,此时此时 =R，易得易得x=R是是y=2(2x+)的极大值点，的极大值点，即同时也是定义域上的最大值点即同时也是定义域上的最大值点.22Rx22Rx22xRx2 5522Rx552 5522Rx14.设点设点P是曲线是曲线y=x3-3x+上任意一
19、点，上任意一点，P点点处切线的倾斜角为处切线的倾斜角为，则角，则角的取值范围的取值范围是是 .0,),)23223因为因为y=3x2-3-3,所以所以tan-3,所以所以0,),).2231.应用导数证明不等式，关键在于应用导数证明不等式，关键在于构造适当的函数构造适当的函数.2.利用导数解决优化问题，关键在利用导数解决优化问题，关键在于建立目标函数，并且还要根据实际于建立目标函数，并且还要根据实际问题，写出函数的定义域问题，写出函数的定义域.3.在求实际问题的最值时，如果只在求实际问题的最值时，如果只有一个极值点，则此点就是最值点有一个极值点，则此点就是最值点.学例1 (2008全国卷全国卷
20、)汽车经过启动、加汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时看作时间间t的函数，其图象可能是的函数，其图象可能是()A 根据汽车加速行驶根据汽车加速行驶s=at2,匀速行匀速行驶驶s=vt,减速行驶减速行驶s=v0t-at2,结合函数图结合函数图象可知，故选象可知，故选A.1212 (2009湖北卷湖北卷)设球的半径为时间设球的半径为时间t的的函数函数R(t).若球的体积以均匀速度若球的体积以均匀速度c增长增长,则则球的表面积的增长速度与球的半径球的表面积的增长速度与球的半径()学例2
21、DA.成正比，比例系数为成正比，比例系数为cB.成正比，比例系数为成正比，比例系数为2cC.成反比，比例系数为成反比，比例系数为cD.成反比，比例系数为成反比，比例系数为2c 因为因为V(t)=R3(t)，所以所以V(t)=4R2(t)R(t)=c,所以所以R(t)=.因为因为S（t)=4R2(t)，所以所以S(t)=8R(t)R(t)=8R(t)=,故故选选D.4324()cR t24()cR t2()cR t学例1 (2009辽宁卷辽宁卷)已知函数已知函数f(x)x2-ax+(a-1)lnx,a1.(1)讨论函数讨论函数f(x)的单调性；的单调性；(2)证明：若证明：若a-1.121212
22、()()f xf xxx (1)f(x)的定义域为的定义域为(0,+).f(x)=x-a+=.()若若a-1=1,即即a=2,则则f(x)=.故故f(x)在在(0,+)单调增加单调增加.()若若a-11,故故1a2,则当则当x(a-1,1)时时,f(x)0.故故f(x)在在(a-1,1)单调减少，在单调减少，在(0,a-1),(1,+)单调增加单调增加.1ax21xaxax(1)(1)xxax 2(1)xx()若若a-11，即，即a2，同理可得，同理可得f(x)在在(1,a-1)单调单调减少，在减少，在(0,1),(a-1,+)单调增加单调增加.(2)证明证明:考虑函数考虑函数g(x)=f(x
23、)+x =x2-ax+(a-1)lnx+x.则则g(x)=x-(a-1)+-(a-1)=1-(-1)2.由于由于1a0,即即g(x)在在(0,+)单调增加，单调增加，从而当从而当x1x20时有时有g(x1)-g(x2)0,即即f(x1)-f(x2)+x1-x20,故故 -1.当当0 x1-1.121ax12axx1a1212()()f xf xxx1212()()f xf xxx2121()()f xf xxx学例1 (2009湖南卷湖南卷)某地建一座桥，两端的桥某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩两端桥墩
24、之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为的工程费用为256万元；距离为万元；距离为x米的相邻两墩米的相邻两墩之间的桥面工程费用为之间的桥面工程费用为(2+)x万元万元.假设桥墩假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素他因素.记余下工程的费用为记余下工程的费用为y万元万元.(1)试写出试写出y关于关于x的函数关系式；的函数关系式；(2)当当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使米时，需新建多少个桥墩才能使y最小最小?x (1)设需新建设需新建n个桥墩，则个桥墩，则(n+1)x=m,即即n=-1,所以所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+)x =256(-1)+(2+)x =+m +2m-256.(2)由由(1)知，知，f(x)=-+m =.mxxmxmxx256mxx2256mx1212x2256mx令令f(x)=0，得，得 =512,所以所以x=64.当当0 x64时，时，f(x)0，f(x)在区间在区间(0,64)内内为减函数；为减函数；当当64x0，f(x)在区间在区间(64,640)内为增函数内为增函数.所以所以f(x)在在x=64处取得最小值处取得最小值.此时此时n=-1=-1=9.故需新建故需新建9个桥墩才能使个桥墩才能使y最小最小.32xmx64064再见再见
