1、1.力学量的平均值随时间的变化力学量的平均值随时间的变化tAHAtAt,i1)(dd0,HA0)(ddtAt2.守恒量守恒量若若则则A称为守恒量称为守恒量3.守恒量的性质守恒量的性质 如果力学量如果力学量A不含时间，若不含时间，若A,H=0(即为守恒量即为守恒量)，则，则无论体系处于什么状态，无论体系处于什么状态，A的平均值和测值概率均不随时间变化。的平均值和测值概率均不随时间变化。0)(dd2tatk第第4 章章 力学量随时间的演化与对称性力学量随时间的演化与对称性0)(ddtAt4.经典与量子力学中的守恒量间的关系经典与量子力学中的守恒量间的关系5.守恒量与定态守恒量与定态 (1)定态是体
2、系的一种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则 是一种特殊的力学量，与体系的是一种特殊的力学量，与体系的Hamilton量对易。量对易。（2）在定态下）在定态下一切力学量一切力学量的平均值和测值概率都不随时间改变；的平均值和测值概率都不随时间改变；而守恒量则在而守恒量则在一切状态一切状态下的平均值和测值概率都不随时间改变下的平均值和测值概率都不随时间改变(1)与经典力学中的守恒量不同，量子力学中的守恒量不一定取与经典力学中的守恒量不同，量子力学中的守恒量不一定取确定的数值确定的数值.守恒量对应的量子数称为守恒量对应的量子数称为好量子数好量子数(2)
3、量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。6.能级简并与守恒量的关系能级简并与守恒量的关系定理定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量设体系有两个彼此不对易的守恒量F和和G，即，即 F,H=0,G,H=0,F,G0,则体系能级一般是简并的则体系能级一般是简并的。推论：推论：如果体系有一守恒量如果体系有一守恒量F，而体系的某条能级并不，而体系的某条能级并不 简并，即对应某个能量本征值简并，即对应某个能量本征值E只有一个本征态只有一个本征态E，则则E必为必为F 的本征态。的本征态。)(2/2rVmpHVrmprVprpprmHprprt22i )(,2
4、1,ddiVrpm21VrT27.位力定理：位力定理：设粒子处于势场设粒子处于势场V(r)，其哈密顿为，其哈密顿为rp的平均值随时间的变化为的平均值随时间的变化为对定态有对定态有0 dd prt则则（定态下力学量的平均值不随时间（定态下力学量的平均值不随时间变化）变化）思考题：思考题：rp并不是厄米算符，应进行厄米化并不是厄米算符，应进行厄米化)(21rpprpr这是否会影响位力定理得证明。这是否会影响位力定理得证明。答：答：从位力定理的证明可以看出，将从位力定理的证明可以看出，将rp厄米化后并不能影响到厄米化后并不能影响到 定理的证明。定理的证明。例题例题1 设设V(x,y,z)是是x,y,
5、z的的n次齐次函数，即次齐次函数，即),(),(zyxVcczcycxVn证明证明VnT 28.Feynman-Hellmann定理定理设体系的束缚态能级和归一化的能量本征态为设体系的束缚态能级和归一化的能量本征态为nnE,若若H中含有参数中含有参数，则有，则有nnnHE9.9.全同粒子体系与波函数的交换对称性全同粒子体系与波函数的交换对称性 ,反对称波函数，对称波函数ijijPP(1)两个全同粒子组成的体系两个全同粒子组成的体系)()()()(21),(122121212121qqqqqqkkkkAkk)()()()(21),(122121212121qqqqqqkkkkSkk)()()()
6、()()()()()(!31),(321321321321333222111321qqqqqqqqqqqqkkkkkkkkkAkkk(2)N个全同个全同Femi子组成的体系子组成的体系三个全同三个全同Femi子：子：设三个无相互作用的全同设三个无相互作用的全同Femi子，处于三个子，处于三个不同的单粒子态不同的单粒子态k1,k2,k3 上，则反对称波函数为上，则反对称波函数为)()()()()()()()()(!1),(21212112221111NkkkNkkkNkkkNAkkqqqqqqqqqNqqNNNNSlater行列式行列式 N个全同个全同Bose子组成的体系子组成的体系PNkkii
7、NSnnqqPNnqqNN)()(!),(1111其中其中P是指那些只对处于不同单粒子态上的粒子进行对换而构成是指那些只对处于不同单粒子态上的粒子进行对换而构成的置换，这样的置换数为的置换，这样的置换数为iinN!4.3 Schrdinger4.3 Schrdinger图像和图像和HeisenbergHeisenberg图像图像)1()(),()(tAttA)2()()(itHtt)3(,i1)(ddHAtAt)5(1)0,0()4(),0()0,()(UtUt1.Schrdinger 图像图像力学量不随时间变化，而波函数随时间变化力学量不随时间变化，而波函数随时间变化。力学量的平均值力学量的
8、平均值波函数随时间演化方程波函数随时间演化方程-Schrdinger 方程方程力学量平均值随时间的变化力学量平均值随时间的变化波函数随时间演化可写成波函数随时间演化可写成)0()0,()0()0,(itHUtUt)6()0,()0,(itHUtUt)0,(tU)7()0,(/iHtetU称为称为时间演化算符。时间演化算符。(4)代入代入(2)得到得到则则积分得积分得)8(1)0,()0,()0,()0,(tUtUtUtU可以证明：可以证明：)0,(tU是是幺正算符。幺正算符。)9()0(),0()(),(tt)10()0()(),0()0()0,()0,(),0()0()0,(),0()0,(
9、)(tAtAUtUtAUtUtA)11()0,()0,()(tAUtUtA2.Heishenberg 图像图像波函数不变，算符随时间变化波函数不变，算符随时间变化算符的演化方程算符的演化方程-Heisenberg 方程方程)(i1 )0,(dd)0,()0,()0,(dd)(ddAHUUHAUUtUtAtUtAUtUttAt利用利用U的幺正性，的幺正性，及U+HU=H)()(i1 )(i1)(ddHtAtHAHUAHUUUHUUUtAt则则)12(),(i1)(ddHtAtAt上式称为上式称为Heisenberg方程方程。利用利用U的幺正性，的幺正性，及U+HU=H)()(i1 )(i1)(d
10、dHtAtHAHUAHUUUHUUUtAt则则)12(),(i1)(ddHtAtAt上式称为上式称为Heisenberg方程方程。例题例题1 自由粒子自由粒子mpH2/20,Hpp为守恒量，则为守恒量，则 p(t)=p(0)=pmpempeempreHtrtrttHtHtHtH 2/,i1),(i1)(dd/i/i/i2/itmprtr)0()(则则例题例题2 一维谐振子一维谐振子222212/xmmpH/i/i/i/i)(,)(HtHtHtHtpeetpxeetx)(,i1)(dd/)(,i1)(dd2/i/i/i/itxmeHpetptmtpeHxetxtHtHtHtHt)()(dd1)(
11、dd222txtptmtxttctctxsincos)(21tcmtcmtxtmtpsincos)(dd)(21而而则则其解其解为为则则根据初始条件根据初始条件mpcpcmpxcx/,)0()0(221则则tmptxtxsincos)(txmtptpsincos)(例题例题3 求一维谐振子在态求一维谐振子在态n下的动能和势能的平均值下的动能和势能的平均值解：解：一维谐振子的能量本征值为一维谐振子的能量本征值为21nEn由位力定理知由位力定理知:VT 则则21nVTHEn所以所以2121nVT例题例题4 判断下列说法的正误判断下列说法的正误 在非定态下，力学量的平均值随时间变化在非定态下，力学量
12、的平均值随时间变化(错错)(2)设体系处在定态，则不含时力学量测值的概率不随时间变化设体系处在定态，则不含时力学量测值的概率不随时间变化(对对)(3)设哈密顿量为守恒量，则体系处在定态设哈密顿量为守恒量，则体系处在定态（错）（错）(4)中心力场中的粒子处于定态，则角动量取确定的数值中心力场中的粒子处于定态，则角动量取确定的数值（错）（错）(5)自由粒子处于定态，则动量取确定值自由粒子处于定态，则动量取确定值（错）（错）（能级是二重简并的）（能级是二重简并的）(6)一维粒子的能量本征态无简并一维粒子的能量本征态无简并（错）（错）（一维束缚态粒子的能量本征态无简并）一维束缚态粒子的能量本征态无简并
13、）证明：证明：对于属于能量对于属于能量E的任何两个束缚态波函数有的任何两个束缚态波函数有1221则则2211/两边同时积分得两边同时积分得21C例题例题5 N=3 Bose子体系，设三个单粒子态分别是子体系，设三个单粒子态分别是321,解：解：(a)n1=n2=n3=1（只有（只有1个）个）)()()()()()()()()()()()()()()()()()(!31),(331221132231233211231231133221332211321111qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqS(b)n1=2,n2=1,n3=0（共有（共有6个个）)()()()()()()()()(31)
14、,(122131223111322111321210qqqqqqqqqqqqS(c)n1=3,n2=0,n3=0（共（共3个）个）)()()(),(312111321300qqqqqqS)()()(),(322212321030qqqqqqS)()()(),(332313321003qqqqqqS例题例题6(4.2)解：解：(a)两全同波色子两全同波色子单粒子态单粒子态3122 0 00 2 00 0 20 1 11 0 11 1 0分布分布)()(2111qq)()(2212qq)()(2313qq)()()()(2113222312qqqq)()()()(2113212311qqqq)()
15、()()(2112212211qqqq(b)两个全同费米子两个全同费米子单粒子态单粒子态3120 1 11 0 11 1 0分布分布)()()()(2113222312qqqq)()()()(2113212311qqqq)()()()(2112212211qqqq（c)两个不同粒子两个不同粒子单粒子态单粒子态3122 0 00 2 00 0 20 1 11 0 11 1 0分布分布)()(2111qq)()(2212qq)()(2313qq)()(),()(13222312qqqq)()(),()(13212311qqqq)()(),()(12212211qqqq例题例题7（4.3）解：解：3
16、21 设粒子的总数为设粒子的总数为n，量子态的总数为，量子态的总数为k.首先对首先对n 个粒子进行编号个粒子进行编号(1)粒子可以分辨粒子可以分辨每个粒子占据量子态的方式有每个粒子占据量子态的方式有k种，则种，则n个粒子占据量子态的个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有方式（量子态数目）有nk若若k=3,n=2,则有则有932若若k=3,n=3,则有则有2733(2)粒子不可分辨，每个量子态上的粒子数不受限制，波函数对称粒子不可分辨，每个量子态上的粒子数不受限制，波函数对称12346)!13(!2)!123(量子态总数量子态总数若若k=3,n=2,则有则有若若k=3,n=3,则有则有10)!1
17、3(!3)!133(3)粒子不可分辨，每个量子态上只能有一个粒子（粒子不可分辨，每个量子态上只能有一个粒子（kn）)!(!nknkCnk若若k=3,n=2,则有则有若若k=3,n=3,则有则有3)!23(!2!323C量子态总数量子态总数1)!33(!3!333C例题例题8.三个不计自旋及相互作用的波色体系，其中单粒子可能的态三个不计自旋及相互作用的波色体系，其中单粒子可能的态 是是1,2,试求出体系的归一化波函数。试求出体系的归一化波函数。解：解：)()()(),(3121113211qqqqqq)()()()()()()()()(31),(2211311231213221113212qqq
18、qqqqqqqqq)()()()()()()()()(31),(2212311232213222113213qqqqqqqqqqqq)()()(),(3222123214qqqqqq例题例题9 现有现有3个全同的波色子，可以分布在个全同的波色子，可以分布在4个不同的量子态上，个不同的量子态上，则该体系可能的状态数目有几种？则该体系可能的状态数目有几种？答：答：由统计物理学的知识知：由统计物理学的知识知：lalllMBlaN!lllllBEaa)!1(!)!1(lllllFDaa)!(!3个粒子4个量子态6443lalMB20143134)!()!(BE43434)!(!FD例题例题 10 两个
19、无相互作用的粒子置于一维无限深势阱中，对下列两个无相互作用的粒子置于一维无限深势阱中，对下列两种情况写出两粒子体系可具有的两个最低总能量值两种情况写出两粒子体系可具有的两个最低总能量值:两个自旋为两个自旋为1/2的可区分粒子的可区分粒子(1)(2)两个自旋为两个自旋为1/2的全同粒子的全同粒子解：解：(1)对两个自旋为对两个自旋为1/2的可区分粒子，波函数不必对称化。的可区分粒子，波函数不必对称化。其基态总能量为其基态总能量为2E1,波函数为波函数为)1,0()()()()(12111002111smmxxxxs四重简并四重简并第一激发态总能量是第一激发态总能量是E1+E2,波函数是波函数是)
20、1,0()()()()(12211002211smmxxxxs)1,0()()()()(12112002112smmxxxxs八重简并八重简并(2)对两个自旋为对两个自旋为1/2的全同粒子，波函数必须是反对称的的全同粒子，波函数必须是反对称的其基态总能量为其基态总能量为2E1，波函数为，波函数为002111)()(xx非简并非简并第一激发态总能量是第一激发态总能量是E1+E2，波函数是，波函数是)1,0()()()()(21)()()()(211122122110012212211smmxxxxxxxxs四重简并四重简并其中其中axnaxnsin2)(,2,1,22222nmanEn2ax）（
21、）（22226112naxx例题例题 11 对于无限深势阱中运动的粒子（见图）证明对于无限深势阱中运动的粒子（见图）证明 并证明当并证明当nn时上述结果与经典结论一致。时上述结果与经典结论一致。证明：证明：归一化的波函数是归一化的波函数是 axnaxnsin22/d2cos11dsin2d02020axxaxnaxxaxnaxxxaaa）（则则22220222220223 d2cos11dsin2dnaaxaxnxaxaxnxaxxxaa）（222222222222212 223naaanaaxxxx）（a12d1d00axxaxxxaa3d12202axxaxa 在经典力学的一维无限深势阱问
22、题中，因粒子局限在（0，a）范围中运动，各点的几率密度看作相同，由于总几率是1，几率密度 22222222223anaaxxxx）（故当n时二者相一致。例题例题12 计算计算tpdd解：解：dixp则则d)(ddiddxttp)(i2ii2ii2i)()(dd22332222VxxVxxxmVxmxxVxmtxxtxtxtxt而而上式中第一项分部积分两次后为零，第二项可写为上式中第一项分部积分两次后为零，第二项可写为xVxVxVxV22所以所以xVxxVdxxttpd)(ii )(ddidd2例题例题13 设归一化的波函数设归一化的波函数|满足薛定谔方程满足薛定谔方程Ht i定义密度算符（矩阵
23、）为定义密度算符（矩阵）为(1)证明任意力学量证明任意力学量F在态在态|下的平均值是下的平均值是)(trFF(2)求出求出的本征值的本征值(3)导出导出随时间演化方程随时间演化方程证明：证明：(1)(tr ,FnFnFnmmFnmmFnnFFnnmmnnmnmnm(2)202则其本征值是则其本征值是0,1(3)Ht i由薛定谔方程由薛定谔方程得得Ht i,iiiHHHHHttt利用上述两式得利用上述两式得即即,iHt例题例题14 粒子在势场粒子在势场V(x)中运动并处于束缚定态中运动并处于束缚定态n(x)中，证明粒子中，证明粒子 所受势场作用力的平均值为零。所受势场作用力的平均值为零。证明：粒
24、子所受势场的作用力为证明：粒子所受势场的作用力为,i1)(,i1ddHpxVpxVFxx则则0d)(,)(i1,i1xxHpxHpFnxnx例题例题15 设某一体系的哈密顿算符为设某一体系的哈密顿算符为4221xpmH其中其中x是位置算符，是位置算符，p为其共轭动量算符，为其共轭动量算符，m是粒子的质量，是粒子的质量，写出写出p随时间的演化方程随时间的演化方程解：解：/)(iHtiHtpeetp/3/4,1),(1)(ddiHtiHtiHtiHtpexepeHpeiHtpitpt例题例题16.t=0时刻体系处于力学量时刻体系处于力学量A的某一本征态上，如在其后的某一本征态上，如在其后任何时刻都
25、处在该态上，任何时刻都处在该态上，A需要满足什么条件？需要满足什么条件？答：答：A是守恒量，即是守恒量，即A,H=0,两者有共同的本征态。演化后的波两者有共同的本征态。演化后的波 函数是函数是/i)(),(EtEertr17 对于一个不含时间的厄米算符对于一个不含时间的厄米算符F而言，在含时间的状态而言，在含时间的状态|(t),(t0)上，它的取值概率是上，它的取值概率是W(t)、平均值是、平均值是F(t),在哪两种在哪两种情况下情况下W(t)与与F(t)皆与时间无关。皆与时间无关。解解:(1)F是守恒量，即是守恒量，即0,HF(2)|(t)|(t)是定态是定态18.对于对于yLmpH22是常
26、数，下列哪些量是守恒量是常数，下列哪些量是守恒量22,LLLLppppHzyxzyx答：答：守恒量是守恒量是22,LLppHyy18.电荷为电荷为q，质量为，质量为m的无自旋粒子在磁场的无自旋粒子在磁场B中运动，其哈密顿中运动，其哈密顿算符可近似写成算符可近似写成zLmpH22(1)指出指出(不必证明不必证明)下列各物理量中的守恒量下列各物理量中的守恒量22,LLLLppppzyxzyx(2)任选一个非守恒量，写出其海森堡运动方程任选一个非守恒量，写出其海森堡运动方程(3)写出写出的构造式的构造式(用用m,q表示表示)及及B的方向。的方向。解：（解：（1）守恒量是守恒量是22,LLppzz(2
27、)/i/ii),(d)(diHtyHtxxepeHtpttp19.单粒子在一维单粒子在一维 势阱中运动，势阱中运动，0),()(xxV(1)在坐标表象中求体系束缚定态的能量与相应的归一化波函数。在坐标表象中求体系束缚定态的能量与相应的归一化波函数。(2)在动量表象中求体系束缚定态的能量与相应的归一化波函数。在动量表象中求体系束缚定态的能量与相应的归一化波函数。解：解：(2)薛定谔方程薛定谔方程EVp22在动量表象中有在动量表象中有EpVppp22即即)()()(22pEpdppVppp其中其中2)(2)(21)()(21/)(/)(/dxxedxxVexdxdexxxVexdxdpxxVxxp
28、pVpxppixppixipipx代入薛定谔方程得代入薛定谔方程得pdppEp)()()2(2(1)两边对两边对p求导数得求导数得0)(2)()2(2ppdppdEp解得解得EpAp2)(2(2)其中其中A是归一化常数。是归一化常数。将将(2)代入代入(1)得得EEppd2212由此可得束缚态的能量是由此可得束缚态的能量是222E(3)将将(3)代入代入(2)可得可得2222)(pAp归一化波函数归一化波函数1)(2dpp2/32A22222/312)(pAp20 在在p表象中计算一维谐振子的定态能量和定态波函数表象中计算一维谐振子的定态能量和定态波函数解：薛定谔方程为解：薛定谔方程为 EVp
29、22在动量表象中有在动量表象中有EpVppp22)()()(22pEpdppVppp即即其中其中)()(2121)(21)(21212121)(21212222/)(2222/)(22222/)(2/22/ppdpddxedpddxedpddxxexdxdexxxexdxdpxxVxxppVpxppixppixppixipipx)()()()(21)(222222pEpdpppdpdpp代入薛定谔方程得代入薛定谔方程得)()()(21)(222222pEpdpdpp以后的求解见陈以后的求解见陈p9721.t=0时刻自由粒子的波函数是时刻自由粒子的波函数是)cos21(sin)(2kxkxAx求
30、此时粒子动量的可能取值、概率和平均值求此时粒子动量的可能取值、概率和平均值解：解：4421 2cos22cos1 )cos21(sin)(ii2i2i2kxkxkxkxeeeeAkxkxAkxkxAx22设设|n,l,m是氢原子是氢原子H,L2,Lz的共同本征函数，的共同本征函数，r是半径，求是半径，求nlmrnlmnlmrnlm21 ,1解：解：库仑势是库仑势是 rerV2)(即势是即势是r的的-1次齐次函数，由位力定理得次齐次函数，由位力定理得VT2221221naeVVTHEn则则renaeV11222所以所以211anr径向波函数满足的等效一维问题中径向波函数满足的等效一维问题中rer
31、llmdrdmH2222221)1(2222121rmllH1 ,1222lnnnaeErn由由Feynman-Hellmann定理定理lHlEn得得anerml3222121)2/1(11232lanr23 一个质量为一个质量为m的粒子在中心力场的粒子在中心力场V(r)中运动，试证明中运动，试证明HE )1(其中其中E代表能级，代表能级，是相应的束缚定态波函数，是相应的束缚定态波函数，是是H中的参量中的参量(2)对于确定节点（即对于确定节点（即nr相同）的状态，若轨道角动量越大相同）的状态，若轨道角动量越大（即（即l越大），则其能量越高。越大），则其能量越高。证明证明:(1)由于由于EHHE
32、 ,d则则HEHHHHHE d)()(d d d(2)在中心力场中势能项是在中心力场中势能项是222)1()(rllrV则由则由F-H定理得定理得22122rllHlE显然显然0lE即即E随随l的增大而升高。的增大而升高。2012年山东大学研究生入学考试年山东大学研究生入学考试量子力学量子力学试题试题一、填空题一、填空题(25分分)量子力学中的力学量必须是量子力学中的力学量必须是(),这是为了使力学量的本征值这是为了使力学量的本征值 是是(_),测量力学量所得的值一定是该力学量的测量力学量所得的值一定是该力学量的(),只有当只有当 粒子处于力学量的粒子处于力学量的()时，才能具有确定的测量值。
33、时，才能具有确定的测量值。测量力学测量力学 量的不确定来源于量的不确定来源于()，两个力学量同时具有确定值的条件是，两个力学量同时具有确定值的条件是 ()2.力学量力学量H有两个本征态有两个本征态|n1，|n2,对应的本征值是对应的本征值是E1和和E2，则在该力学量表象中则在该力学量表象中H可以表示为可以表示为(),体系可能处的状态是体系可能处的状态是 (),可能的测值是可能的测值是(),相应的测量几率是相应的测量几率是().二、计算题二、计算题(25分分)一个质量为一个质量为m的粒子处于势场的粒子处于势场xLLxxxU ,0 ,00 ,)(中，且中，且t=0时粒子处于态时粒子处于态)(30)
34、0,(5xLxLx求任意时刻求任意时刻t的波函数。的波函数。三、计算题三、计算题(25分分)处于宽度为处于宽度为a的一维无限深方势阱的一维无限深方势阱(0 x测量力学量测量力学量sz得到得到/2的概率是的概率是1/3,测量力学量测量力学量Sx得到得到/2的概率是的概率是1/6.求；求；(1)自旋态自旋态|；(2)六六 计算题计算题(25分分)设在绝对零度时，一维线性谐振子势设在绝对零度时，一维线性谐振子势2221)(xmxV中有中有10个自旋为个自旋为1/2，质量为，质量为m的全同粒子组成的体系。忽略的全同粒子组成的体系。忽略粒子之间的相互作用，已知这粒子之间的相互作用，已知这10个粒子的平均能量个粒子的平均能量5eV.试回答：试回答：(1)什么是全同性原理？什么是全同性原理？费米统计与玻色统计的区别？费米统计与玻色统计的区别？全同性原理对费米子和玻色子有什么不同全同性原理对费米子和玻色子有什么不同?(2)如果同样温度下该势场中有如果同样温度下该势场中有20个上述全同粒子，则体系个上述全同粒子，则体系 的平均能量是？的平均能量是？(3)如果同样温度下该势场中有如果同样温度下该势场中有20个自旋为个自旋为0，质量为，质量为m的的 全同粒子，那么体系的平均能量又是多少？全同粒子，那么体系的平均能量又是多少？
