1、第三章第三章 力矩与平面力偶理论力矩与平面力偶理论 力矩的概念与计算力矩的概念与计算 力偶及其性质力偶及其性质 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡力 矩 的 概 念 与 计 算一、平面中力矩的概念一、平面中力矩的概念3.1一、力对点的矩的定义一、力对点的矩的定义力使刚体绕力使刚体绕O点转动的强弱点转动的强弱程度的物理量称为力对程度的物理量称为力对O点点的矩。用的矩。用 表示，其定表示，其定)(Fmo义式为：义式为：FdFmo)(其中：点其中：点O称为称为矩心矩心，d称为称为力臂力臂。力矩的正负号表。力矩的正负号表示力矩的转向，规定力使物体绕矩心逆时针转动取示力矩的转向，规定力使物体绕
2、矩心逆时针转动取正，反之取负。力矩的单位为：牛顿正，反之取负。力矩的单位为：牛顿米（米（N m）。）。由图可知：由图可知：OABFmo)(的面积的面积FBAod3.1力 矩 的 概 念 与 计 算一、平面中力矩的概念一、平面中力矩的概念二、平面汇交力系的合力矩定理二、平面汇交力系的合力矩定理定理：定理：平面汇交力系的合力对平面内任意平面汇交力系的合力对平面内任意一点的矩等于各个分力对同一点之矩的代一点的矩等于各个分力对同一点之矩的代数和。即数和。即)()(iooFmRm 利用合力矩定理，可以利用合力矩定理，可以写出力对坐标原点的矩的解写出力对坐标原点的矩的解析表达式，即析表达式，即yXxYXm
3、YmFmooo)()()(oxxyyFXAY3.2力 偶 及 其 性 质一、力偶的概念一、力偶的概念 在力学中，把等值、在力学中，把等值、反向、平行而不共线的反向、平行而不共线的两个具有特殊关系的力两个具有特殊关系的力作为一个整体，称为作为一个整体，称为力力偶偶。以。以 表示。表示。),(FF两力作用线所决定的平面称为两力作用线所决定的平面称为力偶的作用面力偶的作用面，两力作用线间的距离称为两力作用线间的距离称为力偶臂力偶臂。dFF定理定理:在同平面内的两个力偶在同平面内的两个力偶,如果力偶矩相如果力偶矩相等等,则两力偶彼此等效则两力偶彼此等效.3.2力 偶 及 其 性 质一、力偶的概念一、力
4、偶的概念证明证明:如图所示如图所示,设在同平面内有两设在同平面内有两个力偶个力偶(,)和和(,)作用作用,它们它们的力偶矩相等的力偶矩相等,且力的作用线分别交于且力的作用线分别交于点点 和和 ;现证明这两个力偶是等效的。现证明这两个力偶是等效的。将力将力 和和 分别沿它们的分别沿它们的 作用线作用线移到点移到点 和点和点 ；然后分别沿连线；然后分别沿连线 和力偶和力偶(,)的两力的作用线方向的两力的作用线方向分解分解,得到得到 ,和和 ,四个力四个力,显然显然,这四个力与原力偶这四个力与原力偶(,)等效等效.FF0F0FAB0F0FABABFF 1F 2F 1F2F0F0F 3.2力 偶 及
5、其 性 质一、力偶的概念一、力偶的概念ABCFFM 2),(00由于两个力平行四边形全等由于两个力平行四边形全等,于是力于是力 与与 大小相等大小相等,方向相反方向相反,并且共线并且共线,是是一对平衡力一对平衡力,可以除去可以除去;剩下的两个力剩下的两个力 与与 大小相等大小相等,方向相反方向相反,组成一个新组成一个新偶偶(,),并与原力偶并与原力偶(,)等效等效.连接连接 和和 .根据式根据式(213)计算力偶计算力偶矩矩,有有:1F1F2F2F2F2F0F0FCBDB3.2力 偶 及 其 性 质一、力偶的概念一、力偶的概念1F1F2F2F0F0FFFd0F0FBDCAADBFFM 2,()
6、22),(),(2200FFMFFM),(),(00FFMFFM因为因为CD平行平行AB，ACB和和 ADB同底同底等高得：等高得：即力偶（即力偶（，）与（）与（，）等效）等效时，它们的时，它们的力偶矩相等力偶矩相等。由假设知：。由假设知：0F0F2F2F3.2力 偶 及 其 性 质一、力偶的概念一、力偶的概念3.2力 偶 及 其 性 质一、力偶的概念一、力偶的概念因此有：因此有：),(),(22FFMFFM22,FFFF由图可见，力偶（由图可见，力偶（，）和（）和（，）有有相等的力偶臂相等的力偶臂d和相同的转向，于是得：和相同的转向，于是得：0FFF0F可见力偶（可见力偶（，）与完全（）与完
7、全（，）相等。）相等。又因为力偶（又因为力偶（，）与（）与（，）等效，）等效，所以力偶（所以力偶（，）与（）与（，）等效。于）等效。于是定理得到证明是定理得到证明.2F2FFF0F0FF2F2F0FF0F3.2力 偶 及 其 性 质一、力偶的概念一、力偶的概念 力偶对刚体的作用效果不仅与力偶中两力力偶对刚体的作用效果不仅与力偶中两力的大小有关，而且与力偶臂有关，将力偶中力的大小有关，而且与力偶臂有关，将力偶中力的大小和力偶臂的乘积冠以适当的正负号称为的大小和力偶臂的乘积冠以适当的正负号称为力偶矩力偶矩，用，用m表示，即表示，即Fdm 正负号表示力偶的转向。规定正负号表示力偶的转向。规定逆时针取
8、逆时针取正正；顺时针取负顺时针取负。单位同力矩的单位。单位同力矩的单位。力偶是具有特殊关系的力组成的力系，力偶是具有特殊关系的力组成的力系，虽然力偶中每个力仍具有一般的力的质，虽然力偶中每个力仍具有一般的力的质，但作为一个整体又有它本身的特性，归纳但作为一个整体又有它本身的特性，归纳如下：如下：3.2力 偶 及 其 性 质二、力偶的性质二、力偶的性质 1、力偶既没有合力，本身又不平衡，、力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本的力学量。是一个基本的力学量。力偶既然是一个无合力的非平衡力系。力偶既然是一个无合力的非平衡力系。因此：因此：力偶不能与一个力等效，也不能力偶不能与一个力等效，也不能与一
9、个力平衡与一个力平衡。力偶只能与力偶平衡力偶只能与力偶平衡。3.2力 偶 及 其 性 质二、力偶的性质二、力偶的性质2、组成力偶的两个力在任一轴上的投、组成力偶的两个力在任一轴上的投影之和为零影之和为零。3、组成力偶的两个力对其作用面内任、组成力偶的两个力对其作用面内任一点力矩之和与矩心的位置无关，恒一点力矩之和与矩心的位置无关，恒等于力偶矩等于力偶矩。证明：设证明：设O为任意一点，为任意一点，则则)()(FMFM)(xdFxFmdFdFFFo xd3.2力 偶 及 其 性 质二、力偶的性质二、力偶的性质 4、只要保持力偶矩不变，可以同时改变、只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和力
10、偶臂的长短；可以将力力偶中力的大小和力偶臂的长短；可以将力偶在其作用面内任意移转；而不改变其对刚偶在其作用面内任意移转；而不改变其对刚体的作用。体的作用。此性质是力偶系合成的基础。此性质是力偶系合成的基础。在平面问题中，决定力偶作用效果的因素为：在平面问题中，决定力偶作用效果的因素为：矩的大小和转向。所以力偶矩是代数量。矩的大小和转向。所以力偶矩是代数量。力偶可表示为：力偶可表示为：mm3.3平面力偶系的合成与平衡一、平面力偶系的合成一、平面力偶系的合成作用面共面的力偶系称为作用面共面的力偶系称为平面力偶系平面力偶系。dFm11dFm33dFm22321FFFR)(321FFFR321321)
11、(mmmdFFFRdM推广得：推广得：mmmmMn 21结论：结论：平面力偶系合成的结果还是一个力偶（称平面力偶系合成的结果还是一个力偶（称为合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩为合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代数和。的代数和。dRRAB2m3m1mAB1F2F3F3Fd2F1F3.3平面力偶系的合成与平衡一、平面力偶系的平衡一、平面力偶系的平衡 平面力偶系总可以简化为图平面力偶系总可以简化为图示情形。若示情形。若R=0，则力偶系平衡，则力偶系平衡，而力偶矩等于零。反之，若已知而力偶矩等于零。反之，若已知合力偶矩等于零，则或是合力偶矩等于零，则或是R=0或或是是d=0，无论哪种情况，该力偶系，无论哪种情况，该力偶系均平衡。因此可得结论：均平衡。因此可得结论：平面力偶系平衡的必要与充分条件是：力偶系平面力偶系平衡的必要与充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零。中各力偶矩的代数和等于零。即：即：0m上式称为上式称为平面力偶系的平衡方程平面力偶系的平衡方程。dRRAB15.6动力学普遍定理综合应用
