1、教学要求：教学要求：1.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；2.掌握利用两个重要极限求极限的方法掌握利用两个重要极限求极限的方法.夹逼准则夹逼准则一一 .单调有界准则单调有界准则二二 .第一重要极限第一重要极限三三 .第二重要极限第二重要极限四四 .夹逼准则夹逼准则一一准则准则I：在给定的变化过程中，如果在给定的变化过程中，如果f(x),g(x),h(x)满足满足)()()()1(xhxfxg Axhxg )(lim)(lim)2(.)(lim Axf 则则Proof:.,0 xx 考虑极限过程考虑极限过程不失一般性不失一般性 ,)(lim)
2、(lim00Axhxgxxxx ,0 ,0 0,101时时当当 xx,)(Axg有有.)(AxgA即即,0 0,202时时当当 xx,)(Axh有有.)(AxhA即即.,min 021 取取,0 0时时当当 xx,)()()(AxhxfxgA有有.)(Axf即即.)(lim 0Axfxx 注意：注意：”“0 xx 极极限限过过程程为为,(0 xx或或,0 xx,x,x).等等 x准则准则I：满足满足如果数列如果数列nnnzyx,),2,1()1(nzxynnnazynnnn limlim)2(.limaxnn 则则).1.211(lim 1.222 nnnnnexn 求求Solution.)1
3、211(222 nnnnn nnn22 22nn,1lim 22 nnnn又又.1lim22 nnn由夹逼准则得由夹逼准则得.1)1.211(lim222 nnnnnn).1.2111(lim .1222nnnnexn 求求Solution.)12111(222nnnn nnn212 nn,0lim 2 nnnn又又.01lim2 nnn由夹逼准则得由夹逼准则得.0)1.2111(lim222 nnnnn.1lim 2.nnnex证证明明Proof.1,1 nnn时时当当),0(1 nnnnhhna记记nnhn)1(则则有有nnnnhhnnnh 2!2)1(122)1(nhnn ,1202 n
4、hn,120 nhn,12111 nhann于于是是有有,1121lim nn而而.1lim nnn类似可证类似可证,).0(1lim aann证明证明为正整数为正整数设设,0,.321kaaaexk,maxlim2121knnknnnaaaaaa Proof.,max21kaaaa 令令nnnnknnnnakaaaa 21 anka ,1lim nnk又又,maxlim2121knnknnnaaaaaaa .单调有界准则单调有界准则二二准则准则II：单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.注意：注意：单增数列只需上有界；单减数列只需下有界单增数列只需上有界；单减数列只需下有界.x1x2x3
5、x1 nxnx几何解释几何解释:AMm1x2x3xA,0.421aaxaxaex 证明数列证明数列设设,3aaaxaaaxn 的极限存在，并求其极限的极限存在，并求其极限.Solution.),2,1(1 nxaxnn,01 ax,112xaxax ,1 nnxx假设假设nnnnxxaxax 11 则则.单增单增即即nx,1 1 nnxx从而从而,1 nnxax又又.12 nnxax则则nnnxxx2 nnxxa1 nnnxxxa1 1 aa1 a.上有界上有界即即nx所以数列极限存在所以数列极限存在.,limAxnn 设设.lim)(limlim 112 nnnnnnxaxax则则,2AaA
6、 即即2411 aA 解得解得.2411lim axnn )(负号舍去负号舍去 .第一重要极限第一重要极限三三1sinlim0 xxxAC)20(,xxAOBO 圆圆心心角角设设单单位位圆圆,tan,sinACxABxBDx 弧弧于于是是有有xoBD.ACO，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB的高为的高为,tansinxxx ,1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式对对于于 x,20时时当当 x,1coslim0 xx又又.1sinlim0 xxx注意：注意：,1)()(sinlim )1(0)(xxx 常用的形式是常用的形式是并
7、以此为工具可求出相应的其它一些函数的极限并以此为工具可求出相应的其它一些函数的极限.,1)()(sinlim)2(0不一定成立不一定成立 xxx .0)(不一定趋于不一定趋于因为因为x.1sinlim)3(;cos1lim)2(;sinlim)1(:.5200 xxxxxexxxx 求极限求极限Solution.xxxxxxsinlimsinlim)1(00 0sinlimlim00 xxxxx220202sin2limcos1lim)2(xxxxxx 220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 21 xxxxxx11sinlim1sinlim)3(1.1arcs
8、inlim .6xxexx 求极限求极限Solution.,1arcsin tx 令令.0,tx时时则当则当ttxxtxsinlim1arcsinlim 0 .1sinlim1sin1lim00 tttttt.cos1lim.70 xxexx 计算计算Solution.xxxx2sin2cos1 xxxxxx2sin2limcos1lim00 xxx2sin2lim0 22 xxxxxx2sin2limcos1lim00 xxx2sin2lim0 22 .cos1lim0不存在不存在xxx.sin)4(lim.822xxxexx 计算计算Solution.xxxxxxxxx sin)2)(2(
9、limsin)4(lim222 )2(sin)4()2(lim02ttttttx 令令ttttt sin)4()2(lim0 ttttt sin)4)(2(lim0.8 .sincossin1lim.90 xxxxxexx 计算计算Solution.)cossin1(sincossin1limsincossin1lim200 xxxxxxxxxxxxxxx)cossin11sinsinsin(lim20 xxxxxxxxx .1)sin1(lim210 xxx.2tan)1(lim.101xxexx 计算计算Solution.)1(2tanlim2tan)1(lim011ttxxtxtx tt
10、t2cotlim0 tttt2sin2coslim0 22cos2sin2lim0 tttt .2 .sin114lim.1122xxxxxexx 计算计算Solution.)114(sin23lim222 xxxxxxxx原式原式)11114(sin1213lim222xxxxxxxx 1 .第二重要极限第二重要极限四四exxx )11(lim下面分三步进行讨论下面分三步进行讨论.(1)设设x依次按自然数依次按自然数n变化，则函数为变化，则函数为nnnnfx)11()(21!2)1(1!11nnnnnxn).11()21)(11(!1)11(!2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()
11、1().11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(!21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 显显然然 ;是是单单调调递递增增的的nx!1!2111nxn 1212111 n1213 n,3 ;是是有有界界的的nx.lim存存在在nnx ennn )11(lim记记为为)71828.2(e类似地类似地,)2(时时x1 nxn设设,1111 nxn 于是于是,1111111nxn ,)11()11()111(1 nxnnxn11)111()111(lim)111(lim nnnnnnn而而e)11()11(lim)11(lim1nnnnnnn e.
12、)11(limexxx ,)3(时时x yyx,则则设设yyxxyx )11(lim)11(limyyyy)1(lim yyy)111(lim )111()111(lim1 yyyye 注意：注意：,)(11(lim )1()()(exxx 常用的形式是常用的形式是并以此为工具可求出相应的其它一些函数的极限并以此为工具可求出相应的其它一些函数的极限.)1(lim,1)2(10ezxzzz 有有令令.)11(lim.12xxxex 计算计算Solution.xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e.)12(lim.1312 xxxxex计算计算Solution.1212)1
13、11(lim)12(lim xxxxxxx1)1(2)111(lim xxx12)1()111()111(lim xxxx12)1()111(lim)111(lim xxxxx.e2 ex14.计算计算.1lim22xxxx Solution.xxxxxxx 222111lim1limxxx 2111limxxxxx 11111limxxxxx 1111lim1 eeex15.计算计算.coslim0 xxx Solution.xxxxxx100coslimcoslim xxx10)1(cos1lim xxx1202sin21lim xxxxx2sin22sin2120222sin21lim .21 exxxxaxaaxax)21(lim)(lim axaxaaxxaax 22)211(limaxaxx 2limea2e.,9)(lim.16aaxaxexxx求求设设 Solution.,9e 2 a故故.3ln aThe end
