1、金融工程课程1第十三章期权定价模型【本章学习要点本章学习要点】本章涉及的重要概念有：期权定价的二本章涉及的重要概念有：期权定价的二叉树模型、资产组合复制定价、风险中性定价、叉树模型、资产组合复制定价、风险中性定价、n n期二叉期二叉树模型、美式期权的定价、布莱克树模型、美式期权的定价、布莱克-斯科尔斯微分方程、布斯科尔斯微分方程、布莱克莱克-斯科尔斯期权定价公式、维纳过程等。要求理解二叉斯科尔斯期权定价公式、维纳过程等。要求理解二叉树模型期权定价的原理；掌握二叉树期权定价公式的推动树模型期权定价的原理；掌握二叉树期权定价公式的推动过程；了解布莱克过程；了解布莱克-斯科尔斯微分方程的总结过程；并
2、能够斯科尔斯微分方程的总结过程；并能够根据实际条件进行欧式期权的价格计算。根据实际条件进行欧式期权的价格计算。金融工程课程2第一节第一节 二叉树期权定价模型的推导二叉树期权定价模型的推导 一、基本假定 二、看涨期权单步二叉树模型 三、n期的二叉树模型第二节第二节 二叉树期权定价模型的扩展应用二叉树期权定价模型的扩展应用 一、标的资产价格按比例支付股息 二、美式期权的二叉树定价模型第三节第三节 布莱克布莱克斯科尔斯期权定价模型斯科尔斯期权定价模型 一、布莱克斯科尔斯模型的假设条件 二、布莱克斯科尔斯微分方程 三、布莱克斯科尔斯期权定价公式 四、布莱克斯科尔斯期权定价公式的应用举例第四节维纳过程与
3、证券价格变化过程第四节维纳过程与证券价格变化过程 一、弱式效率市场假说 二、维纳过程 三、维纳过程与股票价格的变化过程金融工程课程3第一节第一节 二叉树期权定价模型的推导二叉树期权定价模型的推导一、基本假定一、基本假定关于期权定价的模型主要有两种：关于期权定价的模型主要有两种：l 二叉树模型（二叉树模型（The Binominal Option Pricing Model,BOPM）；）；l 布莱克布莱克-斯科尔斯模型（斯科尔斯模型（Black-Scholes）；）；二叉树模型的主要假定有：二叉树模型的主要假定有：1.最基本的模型为最基本的模型为不支持股利的欧式股票看涨期权不支持股利的欧式股票
4、看涨期权定价模型；定价模型；2.股票市场和期权市场是完全竞争的，市场运行是高效率的，如没有卖空限股票市场和期权市场是完全竞争的，市场运行是高效率的，如没有卖空限制，无套利的；制，无套利的；3.股票现货交易与期权合约的交易无交易成本，同时也没有税收；股票现货交易与期权合约的交易无交易成本，同时也没有税收；4.市场参与者可以按照已知的无风险利率无限制地借入和贷出资金，利率在市场参与者可以按照已知的无风险利率无限制地借入和贷出资金，利率在期权有效期内保持不变，不存在信违约风险。期权有效期内保持不变，不存在信违约风险。金融工程课程4第一节第一节 二叉树期权定价模型的推导二叉树期权定价模型的推导一、基本
5、假定一、基本假定0Spp1uS0dS0图图13-1 t t时间内基础资产价格和对应的期权价格的变动时间内基础资产价格和对应的期权价格的变动金融工程课程5二、看涨期权单步二叉树模型二、看涨期权单步二叉树模型（一）资产组合复制定价法（一）资产组合复制定价法)0,max(0KuSVu)0,max(0KdSVdkhSV00utrVkeuhS0dtrVkedhS0dSuSVVhdu00trduueuduVVVkdutrVpVpeV)1(*0dudeptr*假定投资者在假定投资者在t0卖出一份股票卖出一份股票的看涨期权，价格为的看涨期权，价格为V0，以得，以得到的货币同时买入到的货币同时买入h股股票和利股
6、股票和利率为率为r的的k货币单位的债券货币单位的债券金融工程课程6二、看涨期权单步二叉树模型二、看涨期权单步二叉树模型例例13-1:设以设以A股目前价格为股目前价格为100元，假设元，假设一个月一个月后标的资产价格可能是后标的资产价格可能是125元，元，也可能是也可能是75元，当期市场的无风险收益率为元，当期市场的无风险收益率为10%，求以，求以A股为标的资产，执行股为标的资产，执行价格为价格为100元，一个月后到期的该欧式看涨期权的价格。元，一个月后到期的该欧式看涨期权的价格。解：根据题意，100K uS0=125 dS0=751t 10%r 125/1001.25u 75/1000.75d
7、 25)0,100125max()0,max(0KuSVu0)0,10075max()0,max(0KdSVd10%10%00.7525016.071.250.75eVe则一份欧式看涨期权现在的价格为则一份欧式看涨期权现在的价格为=16.07金融工程课程7二、看涨期权单步二叉树模型二、看涨期权单步二叉树模型（二）风险中性定价机制（二）风险中性定价机制在风险中性的假定下，可以得到下面两个结论：在风险中性的假定下，可以得到下面两个结论：1.所有可交易股票的期望收益率为无风险利率；所有可交易股票的期望收益率为无风险利率；2.未来资产的当前现金流可以根据其期望值按无风险利率贴现而得到。未来资产的当前现
8、金流可以根据其期望值按无风险利率贴现而得到。*(1)r tSep SupSd*(1)rtep upd*r tedpud dutrVpVpeV)1(*0例例13-2:按照风险中性定价机制，我们重新计算例按照风险中性定价机制，我们重新计算例13-1中的看涨和看跌期中的看涨和看跌期权现在的价格。权现在的价格。金融工程课程8三、三、n期的二叉树模型期的二叉树模型 0S0uS0dS02Su0udS0duS02Sd0uuuS0uudS0uduS0uddS0duuS0dudS0dduS0dddS3,2,1,0)0,max(30,3iKduSViii)0,max()1()0,max()1(3)0,max()1
9、(3)0,max(303*202*20*2*303*30KdSpKudSppKduSppKuSpeVtr金融工程课程9将上述结论推广到将上述结论推广到n期二叉树模型，有期二叉树模型，有 niKduSViinin3,2,1,0)0,max(0,)0,max()1()!(!0*030KduSppinineViiniinnitrdudeptr*如果是离散的情况，有，)0,max()1()!(!)1(10*00KduSppininrViiniinnindudrp1*金融工程课程10第二节第二节 二叉树期权定价模型的扩展应用二叉树期权定价模型的扩展应用一、标的资产价格按比例支付股息一、标的资产价格按比例
10、支付股息分红派息的方式主要有两种：分红派息的方式主要有两种：l一种是按照股票市场价格的固定比例派发一定股息，在财务上称为一种是按照股票市场价格的固定比例派发一定股息，在财务上称为“股息实得率股息实得率”，l另一种是每股股票派发一定固定数额的股息。另一种是每股股票派发一定固定数额的股息。若标的股票在未来某一确定时间将支付已知股息率若标的股票在未来某一确定时间将支付已知股息率（股息与标的资产价格之比），（股息与标的资产价格之比），我们只要调整在各个结点上的标的资产价格，就可算出期权价格。调整方法如下：我们只要调整在各个结点上的标的资产价格，就可算出期权价格。调整方法如下：如果时刻如果时刻mt t在
11、除权日之前，则结点处标的资产价格仍为：在除权日之前，则结点处标的资产价格仍为：miduSiim3,2,1,00如果时刻如果时刻mt在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：miduSiim3,2,1,0)1(0金融工程课程11第二节第二节 二叉树期权定价模型的扩展应用二叉树期权定价模型的扩展应用二、美式期权的二叉树定价模型二、美式期权的二叉树定价模型 美式期权与欧式期权的区别是美式期权可以在期权合约到期前的任何时点执行美式期权与欧式期权的区别是美式期权可以在期权合约到期前的任何时点执行权利，而欧式期权则仅可在到期日执行权利。权利，而欧式期权则仅可在到期
12、日执行权利。事实上，在运用二叉树方法求当前的期权价格时，前提假设条件是期权的定价者事实上，在运用二叉树方法求当前的期权价格时，前提假设条件是期权的定价者，对于二叉树上所有节点上的信息是知道的。求美式期权的当前价格时，在每个，对于二叉树上所有节点上的信息是知道的。求美式期权的当前价格时，在每个二叉树的节点上，期权持有者可以有两个价格选择，一个是立刻执行期权获得收二叉树的节点上，期权持有者可以有两个价格选择，一个是立刻执行期权获得收益，另一个选择是持有期权继续等待，继续等待相当于选择了与欧式期权一样的益，另一个选择是持有期权继续等待，继续等待相当于选择了与欧式期权一样的期望价值。这样，美式期权的价
13、格计算与欧式期权的价格计算的路径基本相同，期望价值。这样，美式期权的价格计算与欧式期权的价格计算的路径基本相同，都是由期末的期权价值向后递推而来的。不同之处是在每一个节点处，期权的持都是由期末的期权价值向后递推而来的。不同之处是在每一个节点处，期权的持有者可以选择上述有者可以选择上述两种收益中的较大者两种收益中的较大者作为向后递推的价格依据。作为向后递推的价格依据。例例13-3:13-3:已知股票的信息：已知股票的信息：S S0 0=100=100美元美元,u,u1.21.2，d d0.80.8，K=100K=100美元，美元，r r0.050.05，n n3 3；求解看跌美式期权的价格。；求
14、解看跌美式期权的价格。6283.04.08.00513.18.02.18.005.0*edudeptr金融工程课程12第二节第二节 二叉树期权定价模型的扩展应用二叉树期权定价模型的扩展应用二、美式期权的二叉树定价模型二、美式期权的二叉树定价模型1001208014496648.1722.1158.762.51金融工程课程13第二节第二节 二叉树期权定价模型的扩展应用二叉树期权定价模型的扩展应用二、美式期权的二叉树定价模型二、美式期权的二叉树定价模型008.761002.232.511008.48向后递推值即刻执行值最大值最大值iVkV金融工程课程14第二节第二节 二叉树期权定价模型的扩展应用二
15、叉树期权定价模型的扩展应用二、美式期权的二叉树定价模型二、美式期权的二叉树定价模型向后递推值*(1)rtikepVpV即刻执行值MaxK K该节点的股价，0向后递推值1191.31)8.48*3717.02.236283.005.0e即刻执行值即刻执行值1006436金融工程课程15第二节第二节 二叉树期权定价模型的扩展应用二叉树期权定价模型的扩展应用二、美式期权的二叉树定价模型二、美式期权的二叉树定价模型31.119136368.202648.20260002.900102.900117.630520208.804408.8044002.238.48图图13-6 求解看跌美式期权的二叉树求解
16、看跌美式期权的二叉树 依照上述方法，逐步完成全部向后递推过程，如果图依照上述方法，逐步完成全部向后递推过程，如果图13-4所示，最终所示，最终可以得到该美式看跌期权的当前价格应当为可以得到该美式看跌期权的当前价格应当为8.8044美元。美元。金融工程课程16第三节第三节 布莱克布莱克斯科尔斯期权定价模型斯科尔斯期权定价模型省略省略金融工程课程17本章小结：本章小结：本章讲述了期权有效期内标的资产价格可能遵循的路径，首先本章讲述了期权有效期内标的资产价格可能遵循的路径，首先阐述了二叉树模型的基本假设，介绍了二叉树模型的两种不同假定下定价阐述了二叉树模型的基本假设，介绍了二叉树模型的两种不同假定下
17、定价模型推导，一种是资产组合复制（无风险套利假定），一种是风险中性假模型推导，一种是资产组合复制（无风险套利假定），一种是风险中性假定。然后介绍了布莱克定。然后介绍了布莱克舒尔斯期权定价模型以及相关的布莱克舒尔斯期权定价模型以及相关的布莱克舒尔斯舒尔斯微分方程、定价公式等。最后，总结了与连续状态下相关的市场效率假说微分方程、定价公式等。最后，总结了与连续状态下相关的市场效率假说、维纳过程以及股票价格变化的前提假定。本章的学习目的是使读者了解、维纳过程以及股票价格变化的前提假定。本章的学习目的是使读者了解期权价格的特征，掌握布菜克一斯科尔斯期权定价模型，运用定价方法对期权价格的特征，掌握布菜克一
18、斯科尔斯期权定价模型，运用定价方法对现实中的期权进行分析。现实中的期权进行分析。金融工程课程18思考与练习：思考与练习：1.阐述风险中性定价的假设。阐述风险中性定价的假设。2.考虑这样一种情况，在某个欧式期权有效期内，标的资产价格运动可用两步二叉树图来考虑这样一种情况，在某个欧式期权有效期内，标的资产价格运动可用两步二叉树图来描述。解释为什么用股票和期权构建的头寸在期权的整个有效期内是不可能一直无风险描述。解释为什么用股票和期权构建的头寸在期权的整个有效期内是不可能一直无风险的。的。3.某股票现价为某股票现价为50元，元，6个月后价格将变为个月后价格将变为55元或元或45元。无风险年利率为元。
19、无风险年利率为10%。执行价格。执行价格为为50元，元，6个月后到期的欧式看跌期权的价格是多少？个月后到期的欧式看跌期权的价格是多少？4.股票现价为股票现价为50美元，已知美元，已知2个月后股价将为个月后股价将为53美元或美元或48美元。无风险年利率为美元。无风险年利率为10%（按（按连续复利计）。执行价格为连续复利计）。执行价格为49美元，美元，2个月期的欧式看涨期权的价值为多少？个月期的欧式看涨期权的价值为多少？5.某股票现价为某股票现价为100元。有连续两个时间步，单个时间步的步长为元。有连续两个时间步，单个时间步的步长为6个月，每个单步二叉个月，每个单步二叉树预期上涨树预期上涨10%，
20、或下跌，或下跌10%。无风险年利率为。无风险年利率为8%。执行价格为。执行价格为100元的一年期欧式看元的一年期欧式看涨期权的价格为多少？涨期权的价格为多少？6.对于美式看跌期权，已知对于美式看跌期权，已知0时，股票的价格为时，股票的价格为125美元，执行价格定为美元，执行价格定为120美元，到期美元，到期日为未来第日为未来第5期末，每期利率为期末，每期利率为1，1.05，0.96，求需提前执行的节点位置。，求需提前执行的节点位置。7.假设某种不支付红利股票的市价为假设某种不支付红利股票的市价为50元，无年风险利率为元，无年风险利率为10%，该股票的年波动率为，该股票的年波动率为30%，求该股票协议价格为，求该股票协议价格为50元、期限元、期限3个月的欧式看跌期权价格。个月的欧式看跌期权价格。
