1、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ?槡? ? ?槡 ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
3、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
4、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
5、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡?
6、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2019 冬季联赛高二文科数学参考答案及解析冬季联赛高二文科数学参考答案及解析 第第 I 卷（选择题共卷（选择题共 60 分）分） 一
7、、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 道小题，每小题道小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） （ 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） （1） 【答案】D 【解析】化简集合 |01Axx， 1 | 2 Bx x，所以 1 ()( ,1) 2 U AB . （2） 【答案】A 【解析】由题意可知，大正方形的边长为 5，小正方形的边长为 1，根据几何概型 的定义可知质点落在阴影部分的概率是面积之比，即 25 1 . （3） 【答案】A 【解析】易得 1 sin 2 ，又(0,) 2 ，所以 6 ，进而tan23
8、 （4） 【答案】C 【命题意图】考查常用逻辑用语，容易题 【解析】选项 A：若pq为假命题，则p，q至少有一个是假命题即可；选项 B：ab是 lnlnab的必要不充分条件； 选项D： 命题 “ 00 R60xx，” 的否定是 “ 00 R60xx，” ； 选项 C 是正确的 （5） 【答案】D 【 解 析 】 化 简 1 108101 ( )9 101101 xx xx f x ， 易 知 101 ( ) 101 x x g x 是 奇 函 数 ， 又 3336 log (log 6)log (log 3)与互为相反数，所以 3336 (log (log 6)(log (log 3)18ff
9、. （6） 【答案】C 【解析】本题考查三角函数图象变换，诱导公式三角函数图象的变换问题，先统一名称， 即sincos() 2 yxx ，为了得到函数 cos() 3 yx的图象，所以要向左平移 5 236 个 长度单位. （7） 【答案】C 【解析】()248AB ACAOOBACAO AC uuu r uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu r . （8） 【答案】D 【解析】本题考查函数的图象与性质，难度：中等题首先判定函数的定义域以及函数的奇 偶性， 可知该函数是定义在 |1x x 上的奇函数， 故答案在 B、 D 中选择， 又(2)ln31f， 所以答案选 D.
10、（9） 【答案】C 【解析】如图，约束条件对应的平面区域为两条直线和曲线2xy 围成的封闭部分（包括 边界）.当直线0zxky k 经过点 3 ,3 2 A 时， z取得最大值，所以 315 3 22 k ，解得 2k .将直线 2zxy 向下平移，假设在 曲线2xy 上的点 2 ,Mx x 处z取得最小值，因为 413 4 B x ， 3 2 C x ，则 4 2zxyx x 在 413 3 , 42 x 单调递减，所以 3 2 x 时，z取得最小值 25 6 . （10） 【答案】C 【解析】令 2 ( ) 4 m tf x，由题意可知 2 24 mm ，解得(,02,)m U （11）
11、【答案】B 【解析】构造一个几何体M，与“帐篷”同底等高的正四棱柱挖去一个倒放的同底等高的 正四棱锥（如图） ，用平行于底面的平面截“帐篷”和该几何体，设截面到底面的距离为x， 易得截“帐篷”得的截面面积为 2 2 1x，截几何体M得“回 字形”截面面积也是 2 2 1x，因此，由祖暅原理知“帐篷” 与几何体M体积相等，体积为 22 14 2121 33 V . （12） 【答案】D 【解析】 对于， 显然 11nn aaa ，N*(3)nn， 满足定义； 对于， 由于 1 1a ， 2 4a ， 3 9a ，故 312 aaa，不满足定义；对于，由于 1 3a ， 2 9a ， 3 27a
12、，故 312 aaa， 不 满 足 定 义 ； 对 于 ， 123 12 151515 ()()() 222 nnn nnn aaa ， N*(3)nn，满足定义；故选 D. 第第 II 卷（非选择题共卷（非选择题共 90 分）分） 2 2 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。把答案填在答题卡的相应位置） （ 分。把答案填在答题卡的相应位置） （13） 【答案】 3 5 【解析】正六边形的六个顶点中任取两个点共有 15 种选择，其中两点之间距离大于 1 的共 有 9 个，故概率为 93 = 155 （14） 【答案】 【解析】由正
13、弦定理，sincos2sincosBAAB，sincos3sincosCAAC， 整理得：tan2tanBA，tan3tanCA， 由ABC中，利用tantantantantantanABCABC得 3 6tan6tanAA， 所以tan1A ， 2 cos 2 A （15） 【答案】2,2 【解析】曲线 21xy 由四条射线组成，一方面，当0m 时，要使直线l与曲线C有 两个不同的交点，则22k ，另一方面，当22k 时，结合图形已知，对任意的 mR，直线l与曲线C都有两个不同的交点. 因此，实数k的取值范围为2,2. （16） 【答案】 2 3 【解析】由题意可知， 12 23aee ru
14、 ru u r ， 12 52bee ru ru u r ， 12 1 2 ee u r u u r ，计 算 2 2 12 (23)19aee ru ru u r ， 2 2 12 ( 52)19bee ru ru u r ， 1212 19 (23) ( 52) 2 a beeee r ru ru u ru ru u r ，从而 1 cos 2| a b a b ，故 2 3 . 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤） （ 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤） （17） （本小题满分） （本
15、小题满分 10 分） 解析： 分） 解析： （1）由题意可知，当天需求量30n 时，当天的利润85(30)6 30330ynnn ； 当天需求量30n 时，当天的利润8 306 3060y . 第第 16 题图题图 故 330,30 , 60,30 nn yn n N；（5 分） （2）由题意及（1）可得， 日需求量 n282930313233 日利润545760606060 频数346674 所以这 30 天的日利润的平均数为 54 35646023 59 30 （元） ，（8 分） 方差为 222 (5459)3(5759)4(6059)23 3.8 30 （10 分） （18） （本小题
16、满分） （本小题满分 12 分） 解析： 分） 解析： （1）由 123 232 n aaanan 得 1231 23121 (2) n aaanann ， -得：2 n na ，即 2 (2) n an n ，又由得 1 2a ， 所以， * 2 () n an n N，.6 分 （2）由（1）得 1 2 2 n n n n a ， 所以 0121 1 22 23 22n n Sn 121 2 1 22 21 22 nn n Snn -得： 0121 22222121 nnn n Snn 所以，1 21 n n Sn.12 分 （19） （本小题满分） （本小题满分 12 分） 解析： 分）
17、 解析： （1）证明：将平面MNP延展为平面 11 AC D，在长方体中，易得 11/ ACAC且 11 AC 平面 1 ACB， 所以 11/ AC平面 1 ACB.同理， 1 /AD平面 1 ACB， 而 11 AC， 1 AD为平面 11 AC D 内两条相交直线，所以平面 11 /AC D平面 1 ACB，即平面/MNP平面 1 ACB.4 分 （2） 111 11 11 111112 12 1 4443224 DMNPDAC DD AC D VVV .8 分 （3）当Q为 11 C D的中点时，平面MNP 平面 1 QBB，此时， 1 2 2 DQ . 证明如下：当Q为 11 C D
18、的中点时，由题中数据及平面几何知识易得 111 ACBQ，又在长方 体中 1 BB 平面 1111 ABC D 1111 ABC D，所以 111 BBAC，所以 11 AC 平面 1 QBB.因为 11/ ACMN，所以MN 平面 1 QBB，所以平面MNP 平面 1 QBB.12 分 （20） （本小题满分） （本小题满分 12 分） 解析： 分） 解析：（）由题意可知， 0 2230 a aa ，解得 3 0 4 a；4 分 （）显然，0a 时符合题意； 当0a 时，( )f x 单调，所以 1 ( ) 2 f tf ，又 1 ( ) 2 f tf ，所以 1 ( )0 2 f tf 则
19、 5 2331 2 ataa 在2, 1t 有解且 5 30 2 30 a a ，令 5 ( )2331 2 g tataa ，则210gg，解得 16 5 a 或 16 1 15 a ， 又由 5 30 2 30 a a 得 6 5 a . 所以 16 1 15 a 或0a 12 分 （21） （本小题满分） （本小题满分 12 分） 解析： 分） 解析： （1）按照方案一，设ABx，BCy，则 22 100xy.所以矩形钢板ABCD的 面积 22 50 2 xy Sxy ，当且仅当5 2xy时，等号成立.所以，矩形面积钢板的 最大值为 2 50cm.4 分 （2）设ABx，则 3 x OA
20、 ，又10OD ， 2 3 OAD ，在OAD中由余弦定理得 22 2 100 33 xx x，从而正方形ABCD的面积 2 300 43 13 Sx 2 cm. 8 分 （3）按照方案二，设ABx，BCy，则 3 x OA ，在OAD中由余弦定理得 222 2 2cos 3 ODOAADOA AD ， 即 22 22 10023 3333 xxyxxy yyxy， 当且仅当310xy时等号成立.所以， 矩形钢板ABCD的面积 100100 3 33 Sxy . 因为 100 3 50 3 ，所以按照方案二截出的矩形钢板面积更大，最大面积为 2 100 3 3 cm. 12 分 （22） （本
21、小题满分） （本小题满分 12 分） 解 析 ： 分） 解 析 ： （ 1 ） 设 圆 心,6,(0)M aaa， 圆 半 径 为R， 则 2 2 2 66 69 2 aa Ra ，解得3a 或15a （舍去） ，所以 2 18R ，圆 心3,3M，圆M的方程为 22 3318xy.5 分 （2） 直线MN的方程为y x ， 所以可设 ,1Q t tt ，,P x y， 由 1 PQ PN 得 22 2 PQPN， 即 2222 2 11xtytxy ， 整 理 得 22222222 11222220xytxtyt， 又点P在圆M上， 所以 22 660xyxy，所以 22 22 226 1 0 t t ，解得1t （舍去）或 3 2 t ， 所以 3 2 . 综上，存在 33 , 22 Q ， 3 2 符合题意.12 分
