1、理科 1 2020 届高三第一学期 10 月考数学试题(理科) 第卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：共一、选择题：共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题中，只有一项是符合题目要求的在每小题中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数 2i i z （i为虚数单位）在复平面内对应的点位于 （A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限 2.已知集合|2Ax x ， |Bx x1，则AB （A） |x x2（B） | 2xx 1（C）2x x（D） |x x1 3.一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为直角三角形)，则该三棱锥的体积为 （A）4（B
2、）24（C）16（D）8 4.设实数, x y满足约束条件 1 210 10 x xy xy ，则3zxy的最小值为 （A）2（B）1（C）6（D）3 5.执行如图所示的程序框图，则输出的n的值是 （A）9（B）5（C）7（D）11 6.西游记 三国演义 水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝， 并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的 情况，随机调查了 200 学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学 生共有 160 位，阅读过红楼梦的学生共有 100 位，阅读过西游记 且阅读过红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅读过西游记的学 生人数与该校学生总数比值的估计值为 A.0.5B.0
3、.6C.0.7D.0.8 7.下列判断正确的是 （A）函数 2 2 1 9 9 f xx x 的最小值为2 （B） “2 x”是“ln30x”的充分不必要条件 （C）当, R时，命题“若，则sinsin”的逆否命题为真命题 （D）命题“0,201920190 x x”的否定是“ 0 x 0 0,20192019 x 0” 开始 1,0nS 是 1 (2) SS n n 2nn 否 输出n 结束 4 ? 9 S 理科 2 8.已知函数( )32cosf xxx.若 2 2 (3),(2),(log 7)afbfcf，则, ,a b c的大小关系是 （A）bca（B）cba（C）bac（D）abc
4、 9.在各棱长均相等的直三棱柱 111 ABCABC中，已知M是棱 1 BB的中点，N是棱AC的中点，则异面直线 1 AM与BN所成角的正切值为 （A）3（B）1（C） 6 3 （D） 2 2 102019 年建国 70 周年国庆阅兵式上举行升旗仪式，在坡度 为 0 15的观礼台上， 某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的 平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为 0 60和 0 30，且第一排和最后一 排的距离为610米，则旗杆的高度为 （A）20米（B）50米（C）40米（D）30米 11.已知定义在R上的函数( )f x的图象关于直线xa（0a ） 对称， 且当xa时， 2
5、 ( )ex a f x .若A,B 是函数( )f x图象上的两个动点，点( ,0)P a，则当PA PB 的最小值为0时，函数( )f x的最小值为 （A） 1 2 e （B） 3 2 e （C） 1 e（D） 2 e 12.已知椭圆 22 22 1(0) xy Cab ab ：的左， 右顶点为,A B，P是椭圆上不同于,A B的一点.设直线,AP BP 的斜率分别为,m n，则当 22 (3) 3 a bmnmn 3(ln|ln|)mn取得最小值时，椭圆C的离心率为 （A） 3 2 （B） 2 2 （C） 4 5 （D） 1 5 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题
6、共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡上把答案填在答题卡上. 13某连队身高符合建国 70 周年国庆阅兵标准的士兵共有 45 人，其中 18 岁到 21 岁的士兵有 15 人，22 岁到 25 岁的士兵有 20 人，26 岁到 29 岁的士兵有 10 人，若该连队有 9 个参加国 庆阅兵的名额，如果按年龄分层选派士兵，那么，该连队年龄在 26 岁到 29 岁的士兵参加 国庆阅兵的人数为_ 14.已知双曲线 22 :1C xy的右焦点为F，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为_ 15. 4 1 (2)x x 展开式的常数项是_. 理科
7、 3 16.ABC中，内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，已知 3 A ， 222 3 3 bcabca，则ABC的面积 的最大值为_. 三、解答题：三、解答题：本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12 分） 已知 n a是各项均为正数的等比数列， 132 2,216aaa. （1）求 n a的通项公式； （2）设 2 log nnn baa，求数列 n b的前 n 项和 n T. 理科 4 18（本小题满分 12 分） 在 2018 年俄罗斯世界杯期间， 莫斯科
8、的部分餐厅经营了来自中国的小龙虾， 这些小龙虾均标有等级代码. 为得到小龙虾等级代码数值x与销售单价y之间的关系，经统计得到如下数据： 等级代码数值x384858687888 销售单价y（元/kg）16.818.820.822.82425.8 （）已知销售单价y与等级代码数值x之间存在线性相关关系，求出y关于x的线性回归方程(系数精 确到0.1)； （）若莫斯科某个餐厅打算从上表的 6 种等级的中国小龙虾中随机选 2 种进行促销，记被选中的2种 等级代码数值在60以下（不含60）的数量为X，求X的分布列及数学期望. 参考公式参考公式: :对一组数据 11 ( ,)x y， 22 (,)xy，(
9、,) nn xy，其回归直线 ybxa的斜率和截距的最小二乘估 计分别为： 1 2 2 1 n ii i n i i x ynxy b xnx ， aybx.参考数据：参考数据： 6 1 8840 ii i x y， 6 2 1 25564 i i x. 理科 5 1 19 9 （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的菱形， 3 ABC ，PA平面ABCD，点M是 棱PC的中点 （）证明：PA平面BMD； （）当3PA时 ，求直线AM与平面PBC所成角的正弦值 理科 6 20 （本小题满分 12 分） 已知长度为4的线段AB的两个端点A,B分别在x轴和y轴上运
10、动， 动点P满足3 BPPA， 记动点P 的轨迹为曲线C. （）求曲线C的方程； （）设不经过点(0,1)H的直线2yxt与曲线C相交于两点,M N.若直线HM与HN的斜率之和为1， 求实数t的值. 理科 7 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 e ln, x f xaxax a x R. （）当0a 时，讨论函数 f x的单调性； （）当1a 时，若关于x的不等式 1 ( )()exf xxbx x 1恒成立，求实数b的取值范围 理科 8 请考生在第 22，23 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 请考生在第 22
11、，23 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 1 , 2 ( 3 1 2 xt t yt 为参数）.在以坐标原点O为极点， x轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是 2 2sin() 4 . （）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （）设点(0, 1)P.若直线l与曲线C相交于两点,A B,求PAPB值. 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函
12、数( ) |21|1| 2 x f xx. （）求不等式( )30f x 的解集； （）若关于x的方程 2 5 ( )20 4 f xmm无实数解，求实数m的取值范围. 理科 1 2020 届高三第一学期 10 月考数学试题(理科)参考答案 一选择题：(每小题 5 分，共 60 分) 1. D； 2.C； 3.D； 4.B； 5.A； 6.B； 7.C； 8.A； 9.C； 10. D； 11.C； 12.A 二填空题：(每小题 5 分，共 20 分)13. 2；14.1；15. 24；16. 3 3 4 . 三解答题：(共 70 分) 17.解：(1)因为数列 n a 是各项均为正数的等比数
13、列， 32 216aa=+ ， 1 2a ， 所以令数列 n a 的公比为q， 22 31 =2aa qq=， 21 2aa qq= ， 所以 2 2416qq=+，解得2q (舍去)或4， 所以数列 n a是首项为2、公比为4的等比数列， 121 2 42 nn n a 。 (2)因为 2 log nnn baa，所以 21 212 n n bn ，所以数列 n b 2 2 41) 3 n n Tn（=+- 。 18.解： （）由题意，得 384858687888 63 6 x，1 分 16.8 18.820.822.82425.8 21.5 6 y，2 分 6 1 6 2 2 1 6 88
14、406 63 21.5 0.4 255646 63 63 6 ii i i i x yxy b xx ，4 分 21.50.4 633.7 aybx.5 分 故所求回归方程为 0.43.7yx.6 分 （）由题意，知X的所有可能取值为0,1,2. 02 33 2 6 1 (0) 5 C C C P X ， 11 33 2 6 3 (1) 5 C C C P X , 20 33 2 6 1 (2) 5 C C C P X , X的分布列为 X012 P 1 5 3 5 1 5 10 分 131 ()0121 555 E X.12 分 19.解： （）如图，连接AC交BD于O点，连接MO. ,M
15、O分别为PC，AC中点，PAMO.2 分 PA平面BMD，MO平面BMD,4 分 PA平面BMD.5 分 理科 2 （）如图，取线段BC的中点H，连接AH. ,. 3 ABCAHAD 分别以AH，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 3 13 (0,0,0), ( 3, 1,0),( 3,1,0), (0,0, 3),(,) 222 ABCPM.6 分 3 13 (,),(0,2,0),( 3,1,3) 222 AMBCPC.7 分 设平面PBC的法向量为( , , ) x y zm. 由 0 0 BC PC m m ，得 20 330 y xyz .
16、取1z，(1,0,1)m.9 分 设直线AM与平面PBC所成角为. 313 |1+0+1| |42 222 sin|cos,|= 77 2 4 AM AM AM |m m m .11 分 直线AM与平面PBC所成角的正弦值为 42 7 .12 分 20.解： （）设( , )P x y，( ,0)A m，(0, )Bn. 3 BPPA， ( ,)3(,)x ynmxy(33 , 3 )mxy，即 33 3 xmx yny . 4 3 4 mx ny .2 分 又4AB， 22 16mn.从而 2 2 16 1616 9 x y.4 分 曲线C的方程为 2 2 1 9 x y.5 分 （）设 1
17、122 ( ,),(,).M x yN xy联立 2 2 2 1 9 yxt x y ，消去y，得 22 37369(1)0xtxt. 由 22 (36 )4379(1)0 tt，可得3737 t. 又直线2yxt不经过点(0,1)H，且直线HM与HN的斜率存在， O M D A P C B H 理科 3 1 t.3737 t，且1 t. 2 1212 3699 , 3737 tt xxx x.8 分 121212 1212 114(1)() HMHN yyx xtxx kk xxx x ,10 分 1212 12 4(1)()4 41 1 x xtxxt x xt .解得3t .t的值为3.
18、12 分 21.解： （）由题意，知 22 e1 ee ( ) x xx axx ax fxa xxx .1 分 当0,0ax时，有e0 x ax .当1x 时，0( )fx；当01x时，( )0fx.3 分 函数( )f x在0,1上单调递增，在1,上单调递减.4 分 （）由题当1a 时，不等式 1 ( )()exf xxbx x 1恒成立. 即eln(1) x xxb x1恒成立，即1b ln1 ex x xx 恒成立.5 分 设 ln1 ( )ex x g x xx .则 2 222 1 ln1eln ( )e x x xxx g x xxx . 设 2 ( )eln x h xxx.则
19、 2 1 ( )(2 )exh xxx x .当0x 时，有( )0h x. ( )h x在(0,)上单调递增，且(1)e0h， 1e ( )ln20 24 h. 函数( )h x有唯一的零点 0 x，且 0 1 1 2 x.7 分 当 0 (0,)xx时，( )0,( )0, ( )h xg xg x单调递减； 当 0 (,)xx时，( )0,( )0, ( )h xg xg x单调递增. 即 0 ()g x为( )g x在定义域内的最小值.1b 0 0 00 ln1 ex x xx .8 分 0 ()0,h x得 0 0 00 0 ln1 e1 2 x x xx x ，.（*） 令 1 (
20、 )e ,1. 2 x k xxx方程（*）等价于 1 ( )( ln ),1 2 k xkxx.而( )(1)exk xx在(0,)上恒大于零， ( )k x在(0,)上单调递增.故( )( ln )k xkx等价于 1 ln1. 2 xxx ， 设函数 1 ( )ln1. 2 m xxxx，易知( )m x单调递增. 又 0 111 ( )ln20,(1)10,( ,1), 222 mmx使得 0 ()0m x. 理科 4 即方程lnxx 有唯一解 0, x即 00 ln, xx或 0 0 1 ex x .11 分 故( )g x的最小值 0 00 0 00000 ln()111 ()e1
21、 x xx g x xxxxx .实数b的取值范围为(,2).12 分 22. 解： （）将直线l的参数方程消去参数t并化简，得直线l的普通方程为310 xy.2 分 将曲线C的极坐标方程化为 2 22 2 2 (sincos ) 22 . 即 2 2 sin2 cos. 22 22xyyx. 故曲线C的直角坐标方程为 22 (1)(1)2xy.5 分 （）将直线l的参数方程代入 22 (1)(1)2xy中，得 22 13 (1)(2)2 22 tt. 化简，得 2 (12 3)30tt.7 分 0 ，此方程的两根为直线l与曲线C的交点,A B对应的参数 12 ,t t. 由根与系数的关系，得
22、 12 2 31tt.8 分 由直线参数的几何意义，知 1212 | |2 31PAPBtttt.10 分 23.解： （）由题意，知 5 ,2 2 31 ( )2112, 2 222 51 , 22 x x xx f xxx x x .2 分 由 30f x，可得 2 5 30 2 x x ，或 1 2 2 3 230 2 x x ，或 1 2 5 30 2 x x . 解得 21 32 x，或 16 25 x.4 分 所求不等式的解集为 2 6 (, ) 3 5 .5 分 （）由（） ，知函数 f x的值域为 5 ,) 4 .7 分 若关于x的方程 2 5 2 4 f xmm无实数解，则 2 20mm.9 分 解得20 m.实数m的取值范围为( 2,0).10 分
