1、3数学归纳法对数学归纳法的理解(1)数学归纳法原理:数学归纳法原理是设有一个关于正整数n的命题,若当n取第1个值n0时该命题成立,又再假设当n取第k个值时该命题成立后可以推出n取第k+1个值时该命题成立,从而该命题对一切自然数nn0都成立.(2)数学归纳法:数学归纳法可以用于证明与正整数 有关的命题.证明需要经过三个步骤:验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时命题成立.假设当n=k时(kN+,kn0)命题成立,证明当n=k+1 时命题也成立.在完成了上述两个步骤之后,就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都成立.n点拨点拨 数学归纳法一般被用来证明某些涉及正整数n的命题,n可取无限多个
2、值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳法证明。一般来说,从n=k到n=k+1时,如果问题中存在可利用的递推关系,则可以用数学归纳法,否则使用数学归纳法就有困难.在运用数学归纳法时,要注意起点n0并非一定取1,也可能取0,2等值,要看清题目,比如证明凸n边形的内角和f(n)=(n-2)180,这里面的n应不小于3,即n3,第一个值n0=3.答案:D 答案:D 思考辨析思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.()(2)所有与正整数有关的数学命题都可以用数学归纳法证明.()(3)用数学归纳
3、法证明问题时,只要推理过程正确,归纳假设可以不用.()答案:(1)(2)(3)反思感悟反思感悟 利用数学归纳法证明等式时应注意的问题(1)第一步的验证,对于有些问题验证的并不是n=1,有时需验证n=2,n=3,甚至需要验证n=10,如证明:对足够大的正整数n,有2nn3,就需要验证n=10时不等式成立.(2)注意当n=k+1时式子的项数,特别是寻找n=k与n=k+1的式子之间的关系时,项数发生什么变化容易被弄错,因此对n=k与n=k+1时式子的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障.(3)在第三步的证明过程中一定要用上归纳假设,否则这样的证明就不再是数学归纳法.变式训练变式训练1用数学归纳
4、法证明:1+32+522+(2n-1)2n-1=2n(2n-3)+3(nN+).证明(1)当n=1时,左边=1,右边=2(2-3)+3=1,左边=右边,所以等式成立.(2)假设当n=k(kN+)时,等式成立,即1+32+522+(2k-1)2k-1=2k(2k-3)+3.（3）当n=k+1时,1+32+522+(2k-1)2k-1+(2k+1)2k=2k(2k-3)+3+(2k+1)2k=2k(4k-2)+3=2k+12(k+1)-3+3,即当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)（3）知,等式对任何nN+都成立.【例2】用数学归纳法证明:(3n+1)7n-1(nN+)能被9整除.分析在第二
5、步证明中,注意利用归纳假设,对n=k+1时的式子进行合理变形.证明(1)当n=1时,(31+1)7-1=27能被9整除,命题成立.(2)假设当n=k(kN+,k1)时命题成立,即(3k+1)7k-1能被9整除.（3）当n=k+1时,3(k+1)+17k+1-1=(3k+1)7k+1-1+37k+1=(3k+1)7k-1+6(3k+1)7k+37k+1=(3k+1)7k-1+9(2k+3)7k.因为(3k+1)7k-1和9(2k+3)7k都能被9整除,所以(3k+1)7k-1+9(2k+3)7k能被9整除,即当n=k+1时,命题也成立,综合(1)(2)可知,(3n+1)7n-1(nN+)能被9整
6、除.反思感悟反思感悟 用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除.其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.变式训练变式训练2用数学归纳法证明:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除,其中nN+,aR.证明(1)当n=1时,an+1+(a+1)2n-1即为a2+a+1,能够被a2+a+1整除,结论成立.(2)假设当n=k(kN+)时,结论成立,即ak+1+(a+1)2k-1能够被a2+a+1整除,（3）当n=k+1时,ak+2+(a+1)2k+1=aak+1+
7、(a+1)2(a+1)2k-1=aak+1+(a+1)2k-1-a(a+1)2k-1+(a+1)2(a+1)2k-1=aak+1+(a+1)2k-1-(a+1)2k-1(a2+a+1).由归纳假设知,上式能够被a2+a+1整除,即当n=k+1时,结论也成立.由(1)(2)（3）可知,原结论对任意nN+都成立.【例3】平面内有n个圆,任意两个圆都相交于两点,任意三个圆不相交于同一点,求证:这n个圆将平面分成f(n)=n2-n+2个部分(nN+).分析因为f(n)为n个圆把平面分割成的区域数,那么再有一个圆和这n个圆相交,就有2n个交点,这些交点将增加的这个圆分成2n段弧,且每一段弧又将原来的平面
8、区域一分为二,所以增加一个圆后,平面分成的区域数增加2n个,即f(n+1)=f(n)+2n.有了上述关系,数学归纳法的第二步证明可迎刃而解.证明(1)当n=1时,一个圆将平面分成两个部分,且f(1)=1-1+2=2,所以当n=1时命题成立.(2)假设当n=k(kN+,且k1)时命题成立,即k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2个部分,（3）当n=k+1时,在k+1个圆中任取一个圆O,剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分,而圆O 与k个圆有2k个交点,这2k个点将圆O分成2k段弧,每段弧将原平面一分为二,故得f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2.所以当n
9、=k+1时,命题成立.综合(1)(2)（3）可知,对一切nN+,命题成立.反思感悟反思感悟 对于几何问题的证明,可以先从有限情形中归纳出一个变化的过程,或者说体会出是怎样变化的,然后再去证明,也可以用“递推”的方法来证明.证明的关键是寻找f(k+1)与f(k)之间的递推关系,从f(k+1)中将f(k)分离出来.又因为任何三条直线不共点,所以这k个交点不同于k条直线的交点,且k个交点也互不相同,如此k个交点把直线l分成(k+1)段,每一段把它所在的平面区域分成两部分,故新增加了(k+1)个部分.这时即当n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)（3）知,命题对任何nN+都成立.因未用上归纳假设而致
10、误 【典例】已知数列an中,a1=3,其前n项和Sn满足Sn=6-2an+1(nN+),计算a2,a3,a4,然后猜想出an的表达式,并用数学归纳法证明你的结论.纠错心得纠错心得 1.本题在证明时出现了两个错误:(2)未用归纳假设.2.数学归纳法的两个步骤缺一不可,第一步中验证n的初始值至关重要,它是递推的基础,但n的初始值不一定是1,而是n的取值范围内的最小值.3.第二步证明的关键是运用归纳假设.在使用归纳假设时,应分析p(k)与p(k+1)的差异与联系,利用拆、添、并、放、缩等手段,或从归纳假设出发,从p(k+1)中分离出p(k)再进行局部调整.123451.在用数学归纳法证明凸多边形内角
11、和定理时,第一步应验证()A.n=1成立B.n=2成立C.n=3成立D.n=4成立解析:凸n边形的内角和为(n-2),最少边的凸n边形为三角形,所以应验证n=3时成立.答案:C123451.在用数学归纳法证明凸多边形内角和定理时,第一步应验证()A.n=1成立B.n=2成立C.n=3成立D.n=4成立解析:凸n边形的内角和为(n-2),最少边的凸n边形为三角形,所以应验证n=3时成立.答案:C12345A.1B.1+a+a2C.1+aD.1+a+a2+a3解析:因为当n=1时,an+1=a2,所以此时式子左边为1+a+a2.答案:B 123453.用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)(n+
12、n)=2n13(2n-1)(nN+),由n=k到n=k+1时,等式左边的变化是()A.多乘了(2k+1)B.多乘了2(2k+1)C.多乘了(2k+1)(2k+2)D.多乘了2(k+1)解析:当n=k时,左边=(k+1)(k+2)(k+k),当n=k+1时,左边=(k+1)+1(k+1)+2(k+1)+(k+1)=(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2)=(k+1)(k+2)(k+k)=(k+1)(k+2)(k+k)2(2k+1),所以多乘了2(2k+1).答案:B123454.用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的第二步中,当n=k+1时,为了使用归纳假设应将5k+1-2k+1变形为.解析:假设当n=k(kN+,k1)时,5k-2k能被3整除,则当n=k+1时,5k+1-2k+1=5(5k-2k)+32k.由假设知5k-2k能被3整除,又32k能被3整除,故5(5k-2k)+32k能被3整除.答案:5(5k-2k)+32k12345
