1、课题：角平分线的性质1难点名称：用尺规作角的平分线，角平分线的性质。用尺规作角的平分线，角平分线的性质。导入导入 三角形 全等的条件：（1）定义（重合）法；SSSSSS；SASSAS；ASAASA；AAS.AAS.（2）解题中常用的4种方法：（3）HL直角三角形全等用直角三角形全等用揭示概念角平分线的概念：角平分线的概念：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。oBCA12AOBC（对折对折）知识讲解知识讲解 如图如图,是一个平分角的仪器是一个平分角的仪器,其中其中AB=AD,BC=DC.AB=AD,BC=DC.将点将点A A放在角的顶点放在角的顶点,AB,AB和和ADA
2、D沿着角的两边放下沿着角的两边放下,沿沿ACAC画一条射线画一条射线AE,AEAE,AE就是角平分线就是角平分线.你能说明它你能说明它的道理吗的道理吗?思考：经过上面的探索，你能得到作已知角的平分线的方法吗？思考：经过上面的探索，你能得到作已知角的平分线的方法吗？小组内互相交流一下吧！小组内互相交流一下吧！证明：在ACD和ACB中，AD=AB（已知）DC=BC（已知）CA=CA（公共边）ACD ACB（SSS），CAD=CAB（全等三角形的对应边相等）AC平分DAB（角平分线的定义）根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）
3、（不用角平分仪或量角器）OABCENOMCENM已知已知：(如图)求作求作：的角平分线OC.在OMC和ONC中OM=ONMC=NCOC=OCOMC ONC(SSS)AOC=BOC即:OC 是的角平分线.1、以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。2、分别以M、N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在AOB内部交于点C。MN213、作射线OC，射线OC即为所求。作法作法：ABOCNM证明证明:连结MC,NC由作法知:(1)实验实验：将：将AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么
4、结论？斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？(2)(2)猜想猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等.证明：证明：OC平分平分 AOB（已知）（已知）1=2（角平分线的定义）（角平分线的定义）PD OA，PE OB（已知）（已知）PDO=PEO（垂直的定义）（垂直的定义）在在PDO和和PEO中中 PDO=PEO（已证）（已证）1=2（已证）（已证）OP=OP（公共边）（公共边）PDO PEO（AAS）PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）P PA AOOB BC CE EDD12已知：如图，已知：如图，OC
5、OC平分平分AOBAOB，点，点P P在在OCOC上，上，PDOAPDOA于点于点D D，PEOBPEOB于点于点E E求证求证:PD=PE:PD=PE(3)验证猜想验证猜想(4)得到角得到角平分线的平分线的性质：性质：利用此性质怎利用此性质怎样书写推理过程样书写推理过程?(几何符号语言）几何符号语言）1=2,PD OA，PE OB（已知）（已知）PD=PE（全等三（全等三角形的对应边相等）角形的对应边相等）P PA AOOB BC CE EDD12定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：用符号语言表示为：AOBPED121=2,P
6、D OA，PE OBPD=PE.题设：一个点在一个角的平分线上题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等结论：它到角的两边的距离相等角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等点点P是是AOB平分线上的一点平分线上的一点 又又PDOA，PEOB PD=PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）角平分线上的点到角的两边的距离相等）AOBEDP P证明线段相等证明线段相等有角的平分线，有垂直距离有角的平分线，有垂直距离应用定理的前提条件是：应用定理的前提条件是：定理的作用：定理的作用：思考：思考：要在区建一个集贸市场，使它
7、到公路，铁要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）s公路铁路DCs公路铁路课堂练习课堂练习 1、如图，、如图，AD平分平分BAC（已知）（已知）=，（在角的平分线上的点到这（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。）个角的两边的距离相等。）ADCBBD CD（）2、如图，、如图，DCAC，DBAB （已知）（已知）=，（在角的平分线上的点到这个（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。）角的两边的距离相等。）ADCBBD CD（）3、AD平分平分BAC,DCA
8、C，DBAB （已知）（已知）=，DBDC（在角的平分线上的点到这（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。）个角的两边的距离相等。）ADCB（）不必再证全等不必再证全等4、如图，、如图，OC是是AOB的平分线，的平分线，又又 _PD=PE (）PDOA，PEOB，BOACDPE角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等5.在在RtABC中，中，BD平分平分ABC，DEAB于于E，则：，则：图中相等的线段有图中相等的线段有 ;相等的角有：相等的角有：。哪条线段与哪条线段与DE相等？为什么？相等？为什么？若若AB10，BC8，AC6，求求BE，AE的长和的长和A
9、ED的周长。的周长。EDCBABE=BC,DE=DCABD=CBDBED=AED=C68106 6、已知：在等腰已知：在等腰RtRtABCABC中，中，AC AC BCBC C C9090，ADAD平分平分 BACBAC，DEABDEAB于点于点E E。求证：求证：BDBDDE DE ACAC 变式变式 已知已知AB 15cm,求求DBE的周长的周长EDCBA7.如图：在如图：在ABC中，中，C=90 AD是是BAC的平分线，的平分线，DEAB于于E，F在在AC上，上，BD=DF；求证：求证：CF=EBACDEBF 分析分析:要证要证CF=EB,首先我们想到的是要证它首先我们想到的是要证它们所
10、在的两个三角形全等们所在的两个三角形全等,即即RtCDF RtEDB.现已有一个条件现已有一个条件BD=DF(斜边相等斜边相等),还需还需要我们找什么条件要我们找什么条件DC=DE(因为角的平分线的性质因为角的平分线的性质)再用再用HL证明证明.试试自己写试试自己写证明。你一证明。你一定行！定行！证明证明:AD平分平分C,D是是AD上一点（已知）上一点（已知）如图：在如图：在ABC中，中，C=90 AD是是BAC的平分线，的平分线，DEAB于于E，F在在AC上，上，BD=DF；求证：求证：CF=EBDEAB,DCAC（已知）（已知）在在RTCDF和和RTBDE 中中 BD=DF（已知）（已知）
11、DC=DE（已证）（已证）RT CDF RTFDB(HL)CFB（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等）ACDEBFDCD(角平分线的性质）角平分线的性质）1 1、角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等3 3、定理的作用：、定理的作用：证明线段相等证明线段相等2、应用定理的前提条件是：、应用定理的前提条件是：有角的平分线，有垂直距离有角的平分线，有垂直距离4 4、应用角平分线的性质证题常用的辅助线是：应用角平分线的性质证题常用的辅助线是：过角平分线上的点作垂直线段过角平分线上的点作垂直线段2.2.定理定理 角平分线上的点到这个角的两边距离角平分线上的点到这个角的两边距离相等相等.w OCOC是是AOBAOB的平分线的平分线,w P P是是OCOC上任意一点上任意一点PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别垂足分别是是D,E(D,E(已知已知)PD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距角平分线上的点到这个角的两边距离相等离相等).).小结 拓展OCB1A2PDE1 1：画一个已知角的角平分线；：画一个已知角的角平分线；及画一条已知直线的垂线；及画一条已知直线的垂线；
