1、刘徽刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位他的杰作九章算术注和海岛算经，是我国最宝贵的数学遗产 九章算术约成书于东汉之初，共有246个问题的解法在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列， 但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法在几何方面，提出了割圆术，即将圆周用内接或外
2、切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法他利用割圆术科学地求出了圆周率=3.14的结果 他用割圆术，从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形，割得越细，正多边形面积和圆面积之差越小，用他的原话说是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”他计算了3072边形面积并验证了这个值刘徽提出的计算圆周率的科学方法，奠定了此后千余年中国圆周率计算在世界上的领先地位 刘徽在数学上的贡献极多，在开方不尽的问题中提出“求徽数”的思想，这方法与后来求无理根的近似值的方法一致，它不仅是圆周率精确计算的必要条件，而且促进了十进小数的产生；在线性方程组解法中，
3、他创造了比直除法更简便的互乘相消法，与现今解法基本一致；并在中国数学史上第一次提出了“不定方程问题”；他还建立了等差级数前n项和公式；提出并定义了许多数学概念：如幂（面积）；方程（线性方程组）；正负数等等刘徽还提出了许多公认正确的判断作为证明的前提他的大多数推理、证明都合乎逻辑，十分严谨，从而把九章算术及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基础之上虽然刘徽没有写出自成体系的著作，但他注九章算术所运用的数学知识实际上已经形成了一个独具特色、包括概念和判断、并以数学证明为其联系纽带的理论体系 刘徽在割圆术中提出的割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣，这可视为中国古代极限观
4、念的佳作海岛算经一书中，刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目刘徽思想敏捷，方法灵活，既 提倡推理又主张直观他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生他虽然地位低下，但人格高尚他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。个人成就刘徽的数学成就大致为两方面： 一是清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。这方面集中体现在九章算术注中。它实已形成为一个比较完整的理论体系： 在数系理论方面 用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的运算法则；在开方术 的注释
5、中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法。 在筹式演算理论方面 先给率以比较明确的定义，又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础，他还用“率”来定义中国古代数学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。在勾股理论方面 逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对“勾中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析，形成了中国特色的相似理论。 在面积与体积理论方面 用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理，并解决了多种几何形、几何体的面
6、积、体积计算问题。这些方面的理论价值至今仍闪烁着余辉。 二是在继承的基础上提出了自己的创见。这方面主要体现为以下几项有代表性的创见： 割圆术与圆周率 他在九章算术?圆田术注中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法。他首先从圆内接六边形开始割圆，每次边数倍增，算到192边形的面积，得到=157/50=3.14，又算到3072边形的面积，得到=3927/1250=3.1416，称为“徽率”。 刘徽原理 在九章算术?阳马术注中，他在用无限分割的方法解决锥体体积时，提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。 “牟合方盖”说 在九章算术?开立圆术注中，他指出了球体积公式V=9D3/16
7、(D为球直径)的不精确性，并引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型。“牟合方盖”是指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。 方程新术 在九章算术?方程术注中，他提出了解线性方程组的新方法，运用了比率算法的思想。 重差术 在白撰海岛算经中，他提出了重差术，采用了重表、连索和 累矩等测高测远方法。他还运用“类推衍化”的方法，使重差术由两次测望，发展为“三望”、“四望”。而印度在7世纪，欧洲在1516世纪才开始研究两次测望的问题。刘徽的工作，不仅对中国古代数学发展产生了深远影响，而且在世界数学吏上也确立了崇高的历史地位。鉴于刘徽的巨大贡献，所以不少书上把他称作“中国数学史上的牛顿”。刘徽生平简
8、介刘徽是魏晋时期最伟大的数学家，对中国的古典数学理论的创立及发展做出了极其重要的贡献，在中国乃至时间的数学史上，都占据着重要的位置。刘徽的出生日期，大约是在公元225年前后，他卒于295年，是当时世界上最杰出得到数学家。他在这方面的著作，对后世数学的发展有着至关重要的影响，同时也奠定了他在数学界不可动摇的地位，也为数学界留下了最为宝贵的文化遗产。刘徽思维敏捷又刻苦好学，在数学上有着许多的成就，而这些成就大致可以分为两个方面的内容。其一是他研究了古代中国的数学理论，从而整理出了一套数学体系，而他这方面的这就从他的数学著作中就可以看出来。他那一套比较完整的数学理论又包括了通分、约分以及各运算法则，
9、同时又从理论方面证明了无理方根的存在;刘辉还给了率一个明确地定义，再通过“率”来定义“方程”;同时他对勾股理论也做出了一定的发展。其二就是面积与体积理论。他提出了刘徽原理，并将多种面积或体积的问题加以解决。另外，他还在自己的著作中，给出了对幽州率的计算方法，使圆周率又成为“徽率”。刘徽一直都在数学的海洋中遨游，不断地专研和学习，并提出新的见解和理论，对数学的发展做出了巨大的贡献。刘徽与圆周率故事刘徽是我国古代有名的数学家，他发明了“割圆术”，为圆周率的计算奠定了基础，而他留下的著作被视为数学界的瑰宝。那么，他与圆周率之间又有着怎样的故事呢刘徽是魏晋时期最伟大的数学家，他提出的理论对后世数学的发
10、展产生了深远的影响。也是刘徽提出了计算圆周率的方法，使我国在圆周率的计算方面，一直处于遥遥领先的地位。那么什么是圆周率呢?为什么要求圆周率呢?所谓圆周率就是“圆周长与该圆直径的比率。而圆周率又直接关乎到对球体和圆计算的准确性。 刘徽利用“割圆术”从一个圆内接正六边形开始割圆。从而他发现只要他切割地更加仔细，得到的多边形的和圆面见，他们之间的差距就会变得越来越小。他话中的大意是：“割得越细，差距越小。割了又割，直到它不能再割，就能够与圆周全部重合，没有什么差距了。”为了证明证明这一理论，也为了更加精确地计算圆周率，刘徽将切割工作进行地十分仔细，最后计算到了3072边形的面积，去验证而来圆周率的值
11、为3.1416。徽一直都执着地计算着圆周率的近似值，而他提出的“割圆术”又为求得圆周率提供了理论基础和完善的手法，进而求得圆周率的为3.1416。这在当时的数学界，在对圆周率的计算上，已经领先了别人很远的一大步，这丫致使中国在圆周率的计算上有了一个高的起点。刘徽与割圆术故事刘徽是魏晋时期最有名的数学家，他虽然出身寒门，但是却在数学上刻苦专研，在数学上有着极高的成就，割圆术的发明就是他其中的一个成就。何为割圆术呢?刘徽是这样形容的：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”通俗的说，不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法。牛顿发现了万有引力定律，而刘徽发现割圆
12、术的过程与牛顿有着异曲同工之妙。有一天，刘徽在偶然中看到了石匠在切割石头，看着看着竟觉得十分有趣，就站在一边，细细地观察起来。刘徽看到，一块方形的石头，先由石匠切去了四个角，四角的石头瞬间就有了八个角，然后再把这八个角切去，以此类推，石匠一直在把这些角一个一个地切去，直到无角可切为止。到最后，刘徽就发现，本来呈现方形的石块，早在不知不觉中变成了一个圆滑的柱子。石匠打磨石块的事情，每天都在发生，但就是这样的一件小事，让刘徽瞬间茅塞顿开，看到了别人没有看到的事情。刘徽就像石匠所做的那样，把圆不断分割，终于发明了“割圆术”。刘徽从偶然事件得到了启迪，从中联想到了计算圆周率的方法，进而发明了“割圆术”
13、，为计算圆周率提供了一套严密的理论和完善的算法。刘徽的数学成就 一、刘徽生平刘徽是中国古代最伟大的数学家之一他是三国时代魏国人，籍贯山东，生卒年不详，约死于西晋初年刘徽出身平民，终生未仕，被称为“布衣”数学家刘徽在童年时代学习数学时，是以九章算术为主要读本的，成年后又对该书深入研究，于公元263年左右写成九章算术注，刘徽自序说：“徽幼习九章，长再详览观阴阳之割裂，总算术之根源探赜之暇，遂悟其意，是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注”刘徽在研究九章算术的基础上，对书中的重要结论一一证明，对其错误予以纠正，方法予以改进，并提出一些卓越的新理论、新思想九章算术注是刘徽留给后世的十分珍贵的数学遗产，是中国
14、传统数学理论研究的奠基之作刘徽还著有重差一卷，专讲测量问题他本来把重差作为九章算术注的第十卷，唐代初年改为单行本，并将书名改作海岛算经，流传至今从刘徽著作来看，他学风严谨，实事求是，而且富于批判精神，敢于创新，理论研究相当深入，堪称数学史上的一代楷模二、九章算术注此为刘徽的力作，反映了他在算术、代数、几何等方面的杰出贡献1算术(1)十进分数刘徽之前，计算中遇到奇零小数时，就用带分数表示，或者四舍五入刘徽首创十进分数，用以表示无理根的近似值这种记数法与现代 刘徽用忽来表示，但a后各位就不必再命名了，刘徽称它们为“微数”，说：“微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母退之弥下，其分弥细”
15、这种方法，与我们现在开平方求无理根的十进小数近似值的方法一致，即其中a1，a2，an是0至9之间的一位整数(2)齐同术九章算术中虽有分数通分的方法，但没有形成完整理论，刘徽提出齐同术，使这一理论趋于完善他说：“凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同”又进一步提出通分后数值不变的理论依据，即“一乘一除，适足相消，故所分犹存“法实俱长，意亦等也”前句话的意思是，一个分数用同一个(非零)数一乘一除，其值不变；后句话的意思是，分数的分子、分母扩大同一倍数，分数值不变刘徽指出，“同”即一组分数的公分母，“齐”是由“同”而来的，是为了使每个分数值不变另外，刘徽还将齐同术引而伸之，用来解释方程及盈不足问题2代数(
16、1)对正负数的认识九章算术成书后，正负数的运算越来越广泛，但究竟应该如何认识正负数，却很少有人论及刘徽在九章算术注中首次给出正负数的明确定义：“今两算得失相反，要令正负以名之”就是说以正负数表示得失相反的量他还进一步阐述正负的意义：“言负者未必负于少，言正者未必正于多”即负数绝对值未必少，正数绝对值未必大另外，他又提出筹算中表示正负数的两种方法：一种是用红筹表正数，黑筹表负数；再一种是以算筹摆法的正、斜来区别正、负数这两种方法，对后世数学都有深远影响(2)对线性方程组解法的改进九章算术中用直除法解线性方程组，比较麻烦刘徽在方程章的注释中，对直除法加以改进，创立了互乘相消法例如方程组刘徽是这样解
17、的：(1)2，(2)5，得(4)-(3)，得21y20(下略)显然，这种方法与现代加减消元法一致，不过那时用的是筹算刘徽认为，这种方法可以推广到多元，“以小推大，虽四、五行不异也”他还进一步指出，“相消”时要看两方程首项系数的同异，同则相减，异则相加刘徽的工作，大大减化了线性方程组解法(3)方程理论的初步总结刘徽在深入研究九章算术方程章的基础上，提出了比较系统的方程理论刘徽所谓“程”是程式或关系式的意思，相当于现在的方程，而“方程”则相当于现在的方程组他说：“二物者再程，三物者三程，皆如物数程之并列为行，故谓之方程”这就是说：“有两个所求之物，需列两个程；有三个所求之物，需列三个程程的个数必须
18、与所求物的个数一致诸程并列，恰成一方形，所以叫方程”这里的“物”，实质上是未知数，只是当时尚未抽象出未知数的明确概念定义中的“皆如物数程之”是十分重要的，它与刘徽提出的另一原则“行之左右无所同存”，共同构成了方程组有唯一组解的条件若译成现代数学语言，这两条即：方程个数必须与未知数个数一致，任意两个方程的系数不能相同或成比例刘徽还认识到，当方程组中方程的个数少于所求物个数时，方程组的解不唯一；如果是齐次方程组，则方程组的解可以成比例地扩大或缩小，即“举率以言之”对于方程组的性质，刘徽总结出如下诸条：“令每行为率”，即方程各项成比例地扩大或缩小，不改变方程组的解；“每一行中，虽复赤黑异算，无伤”，
19、即方程各项同时变号，不改变方程组的解；“举率以相减，不害余数之课也，即两方程对应项相减，不改变方程组的解很明显，刘徽对于线性方程组的初等变换，已经基本掌握了不过，他没有考虑交换两个方程的位置，因为不进行这种变换亦可顺利求出方程组的解，而且调换算筹的位置是不方便的3几何(1)割圆术刘徽以前，一般采用周三径一的圆周率，这是很不精确的刘徽在九章算术注中指出：周三径一的数据实际是圆内接正六边形周长和直径的比值，不是圆周与直径的比值他认为圆内接正多边形的边数越多，其面积就越接近圆面积他从这一思想出发，创立了科学的求圆周率方法-割圆术具体来说，就是以1尺为半径作圆，再作圆内接正六边形，然后逐渐倍增边数，依
20、次算出内接正六边形、正12边形乃至正192边形的面积刘徽之所以选半径为1，是为了使圆面积在数值上等于圆周率，从而简化运算他利用公式(ln为内接正n边形边长，S2n为内接正2n边形面积)来求各正多边形面积至于正多边形边长，他是反复利用勾股定理来求的例如，由以下三式即可求得正12边形边长(图414)： TROR-OT， 后，便根据S192SS192(S192S96)刘徽舍弃分数部分，取圆面积为314平方寸，从而得到314、这种方法可以求得任意精度的圆周率近似值，刘徽对这一点是很清楚的不过，他根据当时的需要，运算中只取到两位小数割圆术的创立是数学史上的一件大事古希腊的阿基米德(Archimedes，
21、公元前287-前212)也曾用割圆术求圆周率，他的方法是以圆内接正多边形和外切正多边形同时逼近圆，比刘徽的方法麻烦一些刘徽的成就晚于阿基米德，但是独立取得的(2)几何定理的证明刘徽采用出入相补原理，证明了九章算术中许多几何公式和定理例如，他在证明三角形面积公式时，思路如下：把三角形的高h二自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也，合成弦方之幂”可惜的是原图失传，所以不知刘徽怎样“出入相补”刘徽在研究立体几何时，发现“邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”即“过对角面分割堑堵为一个阳马(图416中ABCDE)和一个鳖臑(图416中DEFC)，则阳马与鳖臑的体积
22、之比恒为二比一”为叙述方便，我们称之为阳马定理刘徽从长方体体积公式出发证明了这一定理，然后用它证明了各种多面体的体积公式另外，他还发现了一条重要原理：对两个等高的立体，若用平行于底面的平面截得的面积之比为一常数，则这两立体的体积之比也等于该常数这一原理可称为“刘徽原理”在九章算术注中，刘徽多次运用了这一原理，例如，圆台体积外切正四梭台体积=圆面积外切正方形面积=4书中对圆锥、圆台等旋转体体积公式的推导，都是以刘徽原理为依据的(3)对球体积的研究刘徽发现了九章算术中球体积公式不正确，试图利用刘徽原理求出正确的球体积公式他首先作球的外切立方体，然后用两个直径等于球径的圆柱从立方体内切贯穿(图417
23、)于是，球便被包在两圆柱相交的公共部分，而且与圆柱相切刘徽只保留两圆柱的公共部分，取名“牟合方盖”(图418)根据刘徽原理，球体积与牟合方盖体体积，整个问题就迎刃而解了刘徽没有成功，只好“以俟能言者”但他的思路正确，为后人解决这一问题打下了基础4刘徽的极限观念从九章算术注可以看到，刘徽具有明确的极限思想他把极限用于代数和几何研究，取得重要成果这说明极限思想从春秋战国时期萌芽以后，到这时已有较大发展例如，刘徽的割圆术便建立在极限理论的基础上他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”就是说当圆内接正多边形的边数无限增加时，正多边形面积的极限便是圆的面积他还把割圆术用
24、于求弓形面积如图419，刘徽在弓形内 为弓形面积显然，用此方法可使弓形面积达到任何需要的精确度刘徽在研究开方不尽的问题时，认为求出的位数越多，就越接近真值，但永远不会达到真值，只能根据需耍，求到“虽有所弃之数，不足言之也”的程度刘徽正是在这种极限观念的基础上创立十进分数的他在征明有关体积的定理(如阳马定理)时也用到极限，并深刻地指出，极限问题“谓以情推，不用筹算”，就是说研究极限靠思维和推理而不靠具体计算三、刘徽的重差术重差术是中国古代的一种重要测量方法，用以测量不可到达的距离刘徽对这一理论进行了总结和提高，写出重差术专著-海岛算经(即重差)他在序言中说：“凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差
25、”全书只有九道题，但很有代表性 例如第一题(译为今文)：为测量海岛，立两根3丈高的标杆，前后相距1000步，令后杆与前杆对齐从前杆后退123步，人眼着地看岛峰，视线正好过杆顶从后杆后退127步，人眼着地看岛峰，视线也过杆顶问岛高和岛离杆的距离各是多少？按题意画图如下：因当时1步为6尺，故标杆高5步由刘徽术文，得若用字母表示，则因公式中用到d(两杆与岛的距离差)和a1-a2两差之比，所以叫重差术这是书中最简单的一题，只须测望二次其他问题往往要测望三次或四次，但原理与本题相同刘徽曾著重差图和重差注，可能是用来推导术文的，已佚估计刘徽的推导方法不外两种，一是利用出入相补，二是利用相似三角形如果用三角
26、知识去解重差问题，结果也是一样的中国传统数学无三角，重差术便起着与西方平面三角类似的作用，这是中国数学的特色之一四、刘徽的学术思想刘徽所以能在数学上取得卓越成就，是与他先进的学术思想分不开的概括起来，他的学术思想有如下特点1富于批判精神刘徽在数学研究中不迷信权威，也不盲目地踩着前人的脚印走，而是有自己的主见他曾一针见血地指出张衡关于球体积的不正确观点，还批评了那种泥守古人“周三径一”的踵古思想，说：“学者踵古，习其谬失”刘徽正是因为有这种可贵的批判精神，才在研究九章算术时发现许多问题，从而深入探讨，写出名垂千古的九章算术注2注意寻求数学内部的联系刘徽在九章算术注的序言中说：“事类相推，各有攸归
27、，故枝条虽分而同本干者，知发其一端而已”不难看出，他的整个数学研究都贯穿了这一思想例如，他把许多平面几何问题归为出入相补，把许多体积公式的推导归为刘徽原理，把各种比例问题归为今有术，以及用重差术的一般方法解决各种测量问题，都是这一思想的体现3注意把数学的逻辑性和直观性结合起来刘徽主张“析理以辞，解体用图”，就是说问题的理论分析要用明确的语言表达，空间图形的分解要用图形显示，也就是理论和直观并用他认为只有这样才能使数学既简又明实际上，他对原书和九章算术注中提出的重要数学概念，都给出明确定义他对定理、公式的证明基本上采取演绎法，推理相当严密例如，他从长方体体积公式出发，运用极限观念，证明了阳马定理
28、，又用阳马定理证明了棱锥、棱台的体积公式，然后根据刘徽原理推出圆锥、圆台的体积公式，是一环扣一环的另一方面，刘徽也很注意数学的直观他常借助图形来证明平面几何定理，称为图验法；借助立体模型来研究开立方和推导体积公式，称为棋验法(刘徽称特定的立体模型为棋)有时，他还在证明过程中辅之以剪贴和涂色的方法总之，他在数学研究中既注意逻辑推理，又注意运用直观手段，所以他的理论明白易懂五、与刘徽同时代的数学家-赵爽赵爽是三国时代吴国数学家他与刘徽一南一北，各自独立地进行数学研究，刘注九章算术而赵注周髀算经虽然周髀算经注没有九章算术注那样精采，但其中也有不少独到见解尤其是一段名为“勾股圆方图”的论文，是数学史上
29、的珍贵文献文中给出勾股定理的证明，并导出勾、股、弦及其和差互求的24条命题令人惊讶的是，这样丰富的内容，竟包含在仅五百余字的论文中，可见语言之精炼下面便根据赵爽的弦图及注文，介绍他证明勾股定理的方法弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形(图421)，其面积称为弦实图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红(朱)色及黄色，其面积称朱实、黄实因为勾股=2朱实，所以2勾股=4朱实，又因为(股-勾)2=黄实，所以2勾股+(股-勾)24朱实+黄实=弦实化简，得 勾2+股2=弦2另外，赵爽在周髀算经注中还给出并证明了日高术，构思十分巧妙其术为：在地面上立两根高为h的表(标杆)AB和CD，它们之间距离为d，太阳照表，得影长a1，a2，则赵爽画日高图如图422，证明思路如下：由出入相补原理，得HC=CN，GC=AN(表矩形面积)相减，得HJ=CB，(a1-a2)HIdh，赵爽的这种出入相补方法对后世有一定影响，只是由于日高术假定大地是平面，所以不可能得到日高的正确数值 18 / 18
