1、书书书 绝密启用前 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷 数学 （ 理科）（ 一） 注意事项：本试卷分第卷 （ 选择题）和第卷 （ 非选择题） 考试时间为 分钟，满分 分 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置 第卷 （ 选择题，共 分） 一、选择题：本大题共 小题，每小题分，共 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 已知集合犃狓 狓 ，则瓓犃 狓狓 狓 狓狓 狓狓狓 设是虚数单位，如果复数狕 犪 的实部与虚部互为相反数，那么狕 的虚部为 下列说法错误的是 “ 若犪，则犪 ”的否命题是 “ 若犪，则犪” “ 若 ，则 ”是真命题 狓（，） ，使 狓狓成
2、立 命题 “ 若犿，则方程狓 狓犿有实根”是真命题 若 （） ，则 （） 已知双曲线犆：狓 犿 狔 狀的渐近线方程为狔 狓，则犿 狀 函数犳（狓）狓 狓 狓的图象大致为 记犛狀为数列犪狀 的前狀项和，且犪狀犪狀犪狀（狀，狀）犪，犛，则 犛为 或 或 已知函数 是一个求余函数，记 （犿，狀） 表示犿除以狀的余数，例 （，） ，如图是某个算法的程序框图，若输入犿的值为 时，则输出犻的值为 页 共 页 第 ）一（）科理（学数 九章算术中有如下问题： “ 今有堑堵下广二丈，袤 一十八丈六尺，高二丈五尺问积几何？ ”其译文如 下：现有底面是直角三角形直三棱柱，底面直角三角 形的两条直角边宽为丈，长为 丈
3、尺高为丈 尺，问它的体积是多少？下图是一个 “ 堑堵”的三 视图，则其外接球的体积为 槡 槡 已知抛物线犆：狔 狆 狓 （ 狆 ） 的焦点为犉，点犘为犆上一动点，犃（ ，） ， 犅（狆，槡狆） ，且犘 犃的最小值为，则犅 犉 在犃 犅 犆中，角犃、犅、犆的对边分别为犪、犫、犮，犅 犆边上的高为犪 ，则 犫 犮 犮 犫的最 大值是 槡槡 已知函数犳（狓）犪 狓 犫 狓 犮 狓犱，其中犪，犫，犮，犱，若存在狓狓使得 犳 （ 狓） 犳 （ 狓）（ 狓狓） 犪 ，则 犳（狓）犳（狓）犳（狓）犳（狓） 犳（狓） 犳（狓）犳（狓） 犳（狓） 第卷 （ 非选择题，共 分） 二、填空题：本题共小题，每小题分，
4、共 分 向量 犃 犅（，） ， 犃 犆（，） ，则犃 犅 犆的面积为 已知狓，狔满足约束条件 狓狔 狓狔 狓狔 烅 烄 烆 ，则狕 狓 狔 的最大值为 若函数犳（狓）犪 狓 狓（犪） 狓犪（犪） 的一个极值点为狓 ， 则犳（ 狓） 的最大值为 页 共 页 第 ）一（）科理（学数 已知正四面体犃 犅 犆 犇的棱长为，其中犃 犅面，犕，犖分别为线段犃犇，犅 犆的中 点，以犃 犅为轴旋转正四面体，且正四面体始终在平面的同侧，则线段犕犖在平面 上的射影长的取值范围是 三、解答题：共 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 题为必考 题，每个试题考生都必须作答第 、 题为选考题，考生根据要求作答 （
5、 分）设正项数列犪狀 的前狀项的和为犛狀，对任意狀，犛 槡狀是犪狀 和的等差 中项 （ ）求数列犪狀 的通项公式犪狀 （ ）设犫狀 犪 狀犪 狀 狀（狀 ） ，求数列 犫狀 前狀项和犜狀 （ 分）我国北方大部分地区供暖期为每年的 月 日至下一年的月 日为了 对比供暖前后空气质量状况，对某市供暖前 天及供暖期内的 天的空气质量指 数犃 犙 犐的值进行统计，统计结果如频率分布直方图所示根据规定，当犃 犙 犐的所在 区间为 ， ）时，空气质量为优；所在区间为 ， ）时 ，空气质量为良；所 在区间为 ， ）时 ，空气质量为污染假设每天的犃 犙 犐的值均小于 ，且 一天内的犃 犙 犐为定值 供暖前 天空
6、气质量直方图 供暖期内 天空气质量直方图 （ ）将天气根据空气质量分为优或良，以及污染两类，补全下列列联表，并根 据列联表判断是否有 以上的把握认为空气质量与供暖有关 空气质量为优或良空气质量为污染合计 供暖前 供暖期内 合计 （ ）某人计划在元旦三天小长假内安排一次外出，但要根据空气质量状况决定是否会 外出，从放假的第一天起，只要空气质量达到优或良就外出，且外出后如遇空气质量 转为污染就立即返回，否则继续外出，记该人外出的天数为犡，利用频率估计概率， 求犡的分布列及数学期望 犘（犓 犽） 犽 附：犓 狀（犪 犱犫 犮） （ 犪犫） （犮犱） （犪犮） （犫犱） （ 其中狀犪犫犮犱） 页 共
7、页 第 ）一（）科理（学数 （ 分）如图在正三棱柱犃 犅 犆犃犅犆中，犃 犅犃犃，犇，犈分别是犃 犅，犅 犆 上的点，且犅犇犆犈槡 （ ）证明：犇 犈犅 犅 （ ）求二面角犆犃犇犆的余弦值 （ 分）在直角坐标系狓 犗 狔中，动点犘到犉（犮，）（犮）与直线犾：狓犮的距离之 比为 （ ）求动点犘的轨迹； （ ）以犘为圆心的圆与直线犾相切，与点犘的轨迹相交，点犙为其中一个交点，若 犘 犉犙 犉犮，犘 犙 犉的面积为槡，求犮 （ 分）犳（狓） （狓）犪 狓 狓 （ ）讨论犳（狓） 的单调性； （ ）若犳（狓） 有两个零点，求犪的取值范围 选修：坐标系与参数方程（ 分） 在极坐标系犗 狓中，犃（ ，） ，犅（， ） ，犆（ ， ） ，犇（ ， ） ，直线犃 犆与 犅 犇相交于点犘 （ ）当 时，求 犃 犆，犅 犇的极坐标方程，并判断犃 犆，犅 犇的位置关系； （ ）求犘 犆的最小值 选修：不等式选讲（ 分） 已知定义在上的函数犳（ 狓） 狓 狓 （ ）解不等式犳（狓）； （ ）若犳（狓）犪 犪的解集非空，求犪的取值范围 页 共 页 第 ）一（）科理（学数
