1、一一.数列的基本知识数列的基本知识 按照一定顺序排列的一列数称为数列。按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列按项数的多少可分为：数列按项数的多少可分为：无穷数列有穷数列1.1.数列的定义数列的定义2.2.数列的分类数列的分类按项的大小分：按项的大小分：递增数列递增数列 a n a n+1递减数列递减数列 a n a n+1常数列常数列:a n=a n+1摆动数列摆动数列:a n 1 a n 且且 a n a n+1一一.数列的基本知识数列的基本知识通项公式通项公式3.3.数列的确定数列的确定 数列数列an的第的第n项与序号项与序号n之间的关系式之间的关系式。递推关系递推关系式式 数列数列an的
2、任意连续若干项所满足的关系式的任意连续若干项所满足的关系式。122nnannnnaaaaa12211,1nnnaaa2111斐波那契数列斐波那契数列一一.数列的基本知识数列的基本知识4.4.数列的通项与前数列的通项与前n n项和之间的关系式项和之间的关系式11nnnSSSa2,1,nn数数 列列等等 差差 数数 列列等等 比比 数数 列列定定 义义公差（比）公差（比）定义变定义变形形通项公通项公式式一般形一般形式式 an+1-an=dqaann1d 叫叫公差公差q叫叫公比公比 an+1=an+d an+1=an q an=a1+(n-1)d an=a1qn-1 an=am+(n-m)d an=
3、amqn-mmnaadmn mnmnaaq 六六.等差数列与等差数列与等比数列的区别：等比数列的区别：数数 列列等等 差差 数数 列列等等 比比 数数 列列关关 系系 式式性性 质质中中 项项构造三数构造三数构造四数构造四数2b=a+cb2=aca，a+d，a+2da,aq,aq2a-d，a，a+d或或aqaqa，或或a-3d，a-d，a+d，a+3d33aqaqqaqa，an=am+(n-m)dan=amqn-mm+n=s+t an+am=as+atm+n=s+t anam=asat(4)an为等差数列为等差数列 Sn=an2+bn（1）利用an:若a10,d0,Sn有最大值，可由an ,且
4、an+1 ,求得n的值.若a10,Sn有最小值，可由an ,且an+1 ,求得n的值.(2)利用Sn:Sn=d2n2+(a1-d2)n,利用二次函数配方法求得最值时的 n值.求等差数列前n项和的最值问题有两种基本方法在等差数列在等差数列an中中有最大值nSda,0,01 001nnaa有有最最小小值值nSda,0,01 001nnaa配方，看对称轴,2BnAnSn(2)如果已知等差数列的首项为如果已知等差数列的首项为a1，公差为公差为d，项数为，项数为n，把把an=a1+(n-1)d代入代入 可得到等差数列可得到等差数列前前n项和的另一个公式项和的另一个公式:2)aa(nSn1n dnnnaS
5、n2)1(1 等差数列的前等差数列的前n项和公式项和公式2)(1nnaanS(1)等比数列的判定方法 1.定义法：定义法：)(*1Nnqaann a n 是等比数列是等比数列2.通项公式法：通项公式法：)0,(qccqann a n 是等比数列是等比数列3.中项公式法：中项公式法：21212(0)nnnnnnaaaaaa a n 是等比数列是等比数列4.前前n项和公式法项和公式法(qA0,q0,1)nnSA qA A、为常数且 a n 是公比不为是公比不为1的等比数列的等比数列v由 Sn.an,q,a1 ,n 知三而可求二.)1()1(1)1()1(1)1(1111qnaqqqaaSqnaqq
6、qaSnnnn或v.了解等比数列的推导过程(错位相减)v并能应用.等差（比）数列的增减性等差（比）数列的增减性：1.等差数列（前多少项和最大或最小）等差数列（前多少项和最大或最小）（）（）d，递增数列，递增数列，（）（）d，递减数列，递减数列（）（）d，常数列，常数列.等比数列等比数列（）（）q，摆动数列，摆动数列（）（）q，常数列，常数列（），（），q，递减数列，递减数列（），（），q，递增数列，递增数列（），（），q，递增数列，递增数列（），（），q，递减数列，递减数列01a01a01a01a 等差等差(比比)数列的性质：数列的性质：（1）仍成等差仍成等差(比比),232kkkkkSSSS
7、S基本性质三、错位相减法三、错位相减法：一、一、公式法公式法二、二、倒序相加法倒序相加法四、裂项项相消法四、裂项项相消法五五、分组转化法分组转化法一、公式法：一、公式法：所给数列的通项是关于所给数列的通项是关于n n的多项式，此时求的多项式，此时求和可采用公式法求和，常用的公式有：（和可采用公式法求和，常用的公式有：（1)1)等差数列前等差数列前n项和公式项和公式;(2)等比数列前等比数列前n项和项和公式公式;121211nnnknk121612122212nnnnknk223331314121nnnknk五、一点补充五、一点补充 这些数依次排列后构成离地取出一些数，为等差数列，从中等距若na
8、)1(这些数依次排列后构成离地取出一些数，为等比数列，从中等距若na)2(等差数列等差数列等比数列等比数列.(3)(3)若若an 为等差数列为等差数列,则则am+l-al=am+k-ak=md （其中（其中m,k,lN*）(4)(4)若若an,bn 为等差数列，则为等差数列，则anbn与与 kan+bn(k、b为非零实数为非零实数)也是等差数列。也是等差数列。(5).等差数列等差数列an奇数项之和为奇数项之和为S奇奇,偶数项之和为偶数项之和为S偶偶.当项数为偶数当项数为偶数2n时时:S偶偶-S奇奇=nd,S奇奇/S偶偶=an/an+1;当项数为奇数当项数为奇数2n+1时时:S奇奇-S偶偶=an
9、+1,S奇奇/S偶偶=n+1/n.数数 列列等等 差差 数数 列列等等 比比 数数 列列定定 义义公差（比）公差（比）定义变形定义变形 通项公式通项公式 一般形式一般形式 an+1-an=dqaann1d 叫叫公差公差q叫叫公比公比 an+1=an+d an+1=an q an=a1+(n-1)d an=a1qn-1 an=am+(n-m)d an=amqn-mmnaadmn mnmnaaq 六六.等差数列与等差数列与等比数列的区别：等比数列的区别：数数 列列等等 差差 数数 列列等等 比比 数数 列列关关 系系 式式性性 质质中中 项项 构造三数构造三数 构造四数构造四数 2b=a+cb2=
10、aca，a+d，a+2da,aq,aq2a-d，a，a+d或或aqaqa，或或a-3d，a-d，a+d，a+3d33aqaqqaqa，an=am+(n-m)dan=amqn-mm+n=s+t an+am=as+atm+n=s+t anam=asat知识结构知识结构数列数列数数列列的的应应用用数列求和数列求和等比数列等比数列前前n项和公式项和公式性质性质定义定义等差数列等差数列通项公式通项公式递推公式递推公式数列的概念数列的概念通项公式通项公式前前n项和公式项和公式性质性质定义定义通项公式通项公式重要性质：重要性质：am+anap+aq(等差数列等差数列)amanapaq(等比数列等比数列)m+
11、n=p+q(m、n、p、qN*)特别地特别地 m+n=2p时有时有:am+an2ap(等差数列等差数列)amana2p(等比数列等比数列)返回返回特别强调：特别强调：an为等差数列为等差数列an+1-an=d（常数）（常数）2an+1=an+2+anan=an+ba、b为常数为常数Sn=an2+bn a、b、c成等差数列成等差数列2b=a+can为等比数列为等比数列an+1/an=q（非零常数）（非零常数）(an+1)2=an+2anan=cqnSn=k(1-qn)a、b、c成等比数列成等比数列b2=ac 等差（比）数列的增减性：1.等差数列（前多少项和最大或最小）（）d，递增数列，（）d，递
12、减数列（）d，常数列.等比数列（）q，摆动数列（）q，常数列（），q，递减数列（），q，递增数列（），q，递增数列（），q，递减数列01a01a01a01a 等比数列的特点是从第二项起任一项与其前一项的比相等。等比数列的通项公式:an=a1qn-1.等比中项:如果a、G、b成等比数列，则G叫做a、b的等比中项，且 G=ab 等比数列的前n项和公式 当q1时，Sn=a1(1-qn)/(1-q)或Sn=(a1-anq)/(1-q)当q=1时，Sn=na1等比数列an的性质 (1)当q1,a10或0q1,a11,a10,或0q0时,an是递减数列;当q=1时,an是常数列;当q0.(3)an=amqn-m(n,mN*).(4)当n+m=p+q(n,m,p,qN*)时,有anam=apaq已知:an=1024+lg21-n(lg2=0.3010)nN*.问多少项之和为最大?前多少项之和的绝对值最小?解：1 02lg102402lg)1(10241nanann10241024134013403lg2lg2nn n=34022 Sn=1024n+(-lg2)n(n-1)/2 当Sn=0或Sn近于0时,其和绝对值最小 令Sn=0，即Sn=1024n+(-lg2)n(n-1)/2=0 得：n=2048/lg2+16804.99 又nN*n=6805
