1、1.过平面a外的一条直线，且与平面a垂直的平面有_个一个或无数2.已知两个平面垂直，有下列命题：一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题的序号是_.3.如果平面a平面b，ab=l，点Pa，点Ql，那么“PQl”是“PQb”的_条件4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，则平面AED与平面_垂直充要A1D1F 5.设a，b表示两个不同平面，m，n是平面a，b外的两条不同直线.给出四个
2、论断：mn；ab；nb；ma.以其中三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：_或.用判定定理证明面用判定定理证明面面垂直面垂直【例1】如 图，在 正 三 棱 柱 A B C A1B1C1中，点D，F分别是BC，BB1的中点(1)求证：平面AC1D平面BCC1B1；(2)若BB1BC，求证：平面FAC平面ADC1.11111111111111111111.2.ABCABCDBCADBCCCABCADABCC CADADBCC BADAC DAC DBCC BADB BCCFCB BCCADFCB BBCB BCCFDB BBCFCDC在正三棱柱中，因为 是的中点，所以因为平面，
3、平面，所以，所以平面又平面，所以平面平面因为平面，平面，所以又因为，所以四边形是正方形又，分别为，的中点，所以【证明】而111.ADC DDFCADCFCAFCFACADC，所以平面又平面，所以平面平面 要证明面面垂直，只需在一个平面内找一条直线与另一个平面垂直即可【变式练习1】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD平面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.求证：平面PBC平面DEF.PDABCDCDABCDPDDCPDDCPDCDEPCDEPCPDABCDPDBCABCDBCDCBCPDCDEPDCBCDEDEPCPCBCCDEPBCDEDEFPBC
4、因为侧棱平面，且平面，所以，因为，可知是等腰直角三角形，而是斜边的中线，所以，同样由平面，得，因为底面是正方形，有，所以平面，而平面，所以，又由前面可知，所以平面，而平面，所以平面【证明】平面.DEF面面垂直的性质定面面垂直的性质定理的应用理的应用【例2】如下图，已知平面、满足，l，求证：l.【证明】方法1：设AB，BC，如图所示在内任取一点P，过P作直线m，n分别垂直于直线AB，BC.因为，所以m，n.又l，所以l且l，所以ml，nl.而mnP，所以l.2././././.ABBCabaABbBCabababaalalaallIII方法：设，如图所示在、内分别作直线、，使得，由面面垂直的性质
5、定理得，所以，且，由线面平行的判定定理得又因为，故由线面平行的性质定理得综上，有，所以 本题题目文字少，但有一定难度只有真正对面面垂直的性质定理熟练掌握后才能得心应手面面垂直的性质定理的核心是“垂直于交线，则垂直于平面”，所以已知面面垂直，首先应找交线，看是否在某个平面内存在直线垂直于交线，若无，肯定要向交线作垂线在不同平面内向交线作垂线都能解决问题，但难度显然不同，做题前应认真分析本题的方法1较简单，但方法2将平行和垂直的位置关系的判定和性质考查得淋漓尽致，不失为一个训练的好题【变式练习2】如图，在四面体ABCD中，平面ABC平面BCD，ABAC，DCBC.求证：平面ABD平面ACD.ABC
6、BCDDCBCABCBCDBCDCBCDDCABCABABCDCABABACACDCCABACDABABDABDACD因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面又平面，所以因为，故根据线面垂直的判定定理得平面而平面，所以平面平面【证明】与垂直有关的探与垂直有关的探索性问题索性问题【例3】如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，D B B C，DBAC，点M是棱BB1上一点(1)求证：MDAC；(2)试确定点M的位置，使得平面DMC1平面CC1D1D.111111.BBABCDACABCDBBACBDACBDBBBACBB DMDBB DMDACI证明：因为平面，平面，所以又因为，且，所以
7、平面而平面，所以【证明】11111111111111112./.MBBDMCCC D DDCNDCNNNDCOOMBNNDCBDBCBNDCDCABCDDCC DABCDDCC DBNDCC DONNBMONBMONBMONBNOM当点为棱的中点时，平面平面取的中点，的中点，连结交于，连结、因为 是的中点，所以又因为是平面与平面的交线，且平面平面，所以平面因为 是的中点，所以且，所以四边形是平行四边形，所以所111111.OMCC D DOMDMCDMCCC D D以平面，因为平面，所以平面平面 本题以立体几何中的棱柱为载体，重点考查立体几何中的垂直关系的探索及推理论证第(1)问要证线线垂直，
8、可通过线面垂直即可得证；第(2)问是开放性探究问题要使得平面DMC1平面CC1D1D，关键在于找出其中一个面的一条垂线，而另一个平面恰过这条垂线，从而问题转化为寻求平面CC1D1D的垂线由条件DBBC，可联想到取DC的中点N，则BN就是平面CC1D1D的垂线，再结合平面图形的特点，从而可确定M点的位置 33.12PABCDABCDBADPAPDPADABCDADPBEBCPCFDEFABCD如图，四棱锥 中，底面是菱形，若，平面平面求证：；若 为的【变式中点，能否练在棱上找到一点，使得平面平面，并证明你习】的结论 13.ADOPOBOBDPAPDPOADABCDBADABDOADADOBOBO
9、POADPOBPBPOBADPB证明：取的中点，连结，因为，所以，因为底面是菱形，所以是等边三角形，又 是的中点，所以，又，所以平面，因为平面【所以解，析】VI 2././FPCDEFABCDOEOCABCDEBCOADDOCEDOCEDOECDEOCMMOCFMFPCFMPOPADABCDPADABCDADPOADPOABCDFMABCD当 是棱的中点时，平面平面连结，因为在菱形中，为的中点，是的中点，所以，所以四边形是平行四边形，设，所以是的中点，连结又因为 是棱的中点，所以；因为平面平面，平面平面，所以平面，所以平面，又因为II.FMDEFDEFABCD平面，所以平面平面1.lll 若
10、为一条直线，、为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：，；，；，其中正确的命题有_ 2.三个平面两两垂直，且它们的三条交线交于一点O，点P到三个平面的距离分别是3、4、5，则OP的距离是 _5 23 4 55 2.OPOP是以、为边长的长方体的体对角线，【解析】3.二面角CBDA是直二面角，且DA平面ABC，则ABC是_三角形(填“锐角”、“直角”、“钝角”)直角ABCCBDABDCBDABDBDAAEBDAECBDBCCBDAEBCDAABCBCABCADBCADAEABCABDABABDBCABABCVIIV是直角三角形如图，平面平面，平面平面，过点 作，则平面，又因为平面，所以；因为平面
11、，平面，所以；又因为，所以平面，又因为平面，【解所以，所以是析】直角三角形4.如图，设P是ABC所在平面外一点，P到A、B、C的距离相等，BAC为直角求证：平面PBC平面ABC.PPHABCHHAHABCBACABCHBCPHPBCPHABCPCBABC过 作底面，垂足为，连结易知 是的外心又因为为直角，所以是直角三角形，所以 是斜边的中点，即平面且底面由面面垂直的判定定理得平面平面【证明】5.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知M是棱AB的中点求证：(1)AC1平面B1MC；(2)平面D1B1C平面B1MC.1111111111111./.BCBCNMNABCDABC DMABMN
12、ACACB MCMNB MCACB MC如图，连结交于，连结因为是正方体，且是棱的中点，所以又平面，平面，所以/平面【证明】11111111111111111111111111111211.1/.BCBCABB BCCABBCABBCBBCABCACABCBCACB DACBCB DBACB DCMNACMNB DCMNB MCB DCB MCII方法：由知，又平面，所以因为，所以平面而平面，所以同理可证又因为，故平面由知，所以平面又平面，故平面平面11111111111111112221111112.52.36322290.D NB DCNBCD NBCaMBMCaMNBCMNDD BCB MCD MMNDMDaD NaMNaD NMNMDMNDD BCB MC方法：连结因为是正三角形，是的中点，所以设正方体的棱长为，则，所以所以是平面和平面所成的二面角连结在中，所以，即根据面面垂直的定义，知平面平面VV 面面垂直的性质的理解中三个条件也不可缺少，即：两个平面垂直；其中一个平面内的直线；垂直于交线所以无论何时见到已知两个平面垂直，都要首先找其交线，看是否存在直线垂直于交线来决定是否该作辅助线，这样就能目标明确，事半功倍
