1、11.随机试验；随机试验；2.样本空间；样本空间；3.随机事件随机事件1.子事件：子事件：A B2.和事件：和事件：AB3.积事件积事件:AB4.差事件差事件:A-B=A-AB=AB5.互斥事件互斥事件(互不相容事件互不相容事件):AB=6.互逆事件互逆事件:AB=，且且AB=S2 事件的运算法则事件的运算法则1.交换律：交换律：AB=BA,AB=BA 4.德德.摩根律摩根律(对偶原则对偶原则)：设事件设事件Ai(i=1,2,n)则则niiiniAA11 2.结合律：结合律：A(BC)=(AB)C;A(BC)=(AB)C 3.分配律：分配律：A(BC)=(AB)(AC);A(BC)=(AB)(
2、AC)5.对必然事件的运算法则：对必然事件的运算法则：AS=S,AS=A6.对不可能事件的运算法则：对不可能事件的运算法则：A=A,A=A,A=ininiiAA11 3 设设E-随机试验，随机试验，S-样本空间样本空间.事件事件A P(A),称为事件称为事件A的的概率概率,如果如果P()满足下列条件满足下列条件:1 对于每一个事件对于每一个事件A，有，有 P(A)0 ；2 对于必然事件对于必然事件SP(S)=1)=1；3 设设A1，A2，是是两两互不相容两两互不相容的事件，即对于的事件，即对于 则则 P(A1A2 )=P(A1)+P(A2)+,2,1,jiAAjiji 概率公理化定义概率公理化
3、定义4 概率性质概率性质(2)(有限可加性有限可加性)若若A1，A2，An 两两不相容，两两不相容，P(A1A2An)=)=P(A1)+)+P(A2)+)+P(An)(1)P()=0)=0(3)若若A B，则有，则有 P(B A)=P(B)P(A);(5)逆事件逆事件：P(A)=1 P(A)，(4)对于任一事件对于任一事件A，有，有P(A)1，一般有一般有 P(B A)=P(B)P(AB)(6)加法公式加法公式 P(AB)=)=P(A)+)+P(B)-)-P(AB)P(A1A2 2A3 3)=)=P(A1 1)+)+P(A2 2)+)+P(A3 3)-)-P(A1 1A2 2)-)-P(A1
4、1A3 3)-)-P(A2 2A3 3)+)+P(A1 1A2 2A3 3)5等可能概型等可能概型(古典概型古典概型)1.1.定义：定义：设设E是试验，是试验，S S是是E的的样本样本空间，若空间，若 (1)试验的试验的样本样本空间的元素只有有限个；空间的元素只有有限个；(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同试验中每个基本事件发生的可能性相同.这种试验称为等可能概型或古典概型这种试验称为等可能概型或古典概型2.2.古典概型中事件古典概型中事件A的概率的计算公式的概率的计算公式中基本事件的总数中基本事件的总数包含的基本事件数包含的基本事件数SAnkAP )(61.1.条件概率条件概率0)(,)
5、()()(APAPABPABP2.2.乘法公式乘法公式 niiiBPBAPAP1)()()(3.3.全概率公式全概率公式11 2()()(),()()iiinjjjP A B P BP B AinP A BP B4.4.贝叶斯公式贝叶斯公式)()()(BAPAPABP 7 独立性独立性 事件事件A,B相互独立相互独立 P(AB)=P(A)P(B)A1,A2,.,An两两相互独立两两相互独立 P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)，（，（1 i j n）A1,A2,.,An 相互独立相互独立（1）1i1i2.ikn,(kn),（2）1212()()()()kkiiiiiiP A AAP AP AP
6、 A nkknnkkAPAAAPAP121111)()(8独立的性质独立的性质:1.设设A和和B是两个事件是两个事件,且且P(A)0.若若A和和B相互独立相互独立,则则 P(B|A)=P(B).反之亦然反之亦然.2.若事件若事件A和和B相互独立相互独立,则下列各对事件也相互独立则下列各对事件也相互独立:A与与B,A与与B,A与与B3.则则A、B互斥与互斥与A、B相互独立不能相互独立不能 同时存在同时存在.4.若事件若事件A和和 独立独立,且且 则事件则事件A和和 独立独立.)(jiBBji iniB1,0)(,0)(BPAP),2,1(niBi 9 第二章 随机变量及其分布 1.随机变量的引入
7、 定义：定义：设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为S=e.X=X(e)是定是定义在样本空间义在样本空间S上的实值单值函数上的实值单值函数.称称X=X(e)为随机变为随机变量量.与普通实函数的区别：与普通实函数的区别：(1)(1)它的定义域是样本空间它的定义域是样本空间S，而而S不一定是实数集不一定是实数集;(2)(2)它的取值是随机的，它的取值是随机的，所所取每一个可能值都有一定取每一个可能值都有一定 的概率的概率.随机变量的分类：随机变量的分类：离散型离散型/非离散型非离散型(连续型连续型)102.离散型随机变量及其概率分布 定义定义:取有限个或可数个值的随机变量取有限个或可数个值的
8、随机变量;分布律：分布律：PX=xk=pk,k=1,2,其中其中 pk 满足：满足：,0)1(kp.1)2(1 kkp 常见分布：常见分布：1）(0-1)分布：分布：PX=k=pk(1-p)1-k,k=0,1(0p1)nk,.,2,1,0 2)二项分布：二项分布：X b(n,p),)1(knkknkppCkXPp 3)泊松分布：泊松分布：,.2,1,0,!kkekXPk )(X113.3.随机变量的分布函数随机变量的分布函数 定义定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 F(x)=PX x -称为X的分布函数 对任意实数对任意实数x1x212211111110()()()()()P xXx
9、F xF xP XxF xP XxF xF x 分布函数的性质分布函数的性质(1)有界性有界性 xxF,1)(0(2)F(x)是单调不减的是单调不减的,即若即若2121,xFxFxx则(3)1lim,0limxFFxFFxx (4)F(x)是右连续的是右连续的,即即F(x+0)=F(x)12(1)(1)离散型随机变量离散型随机变量X的分布函数计算公式的分布函数计算公式)(xXPxFxxkkxXPxdttfxF)()(2)(2)连续型随机变量的分布函数的定义连续型随机变量的分布函数的定义0)(.1xf21)(.321xxdxxfxXxP.)()()(.4的的连连续续点点，在在xfxfxF1)(.
10、2dxxff(x)的性质的性质13 三种重要的连续型随机变量三种重要的连续型随机变量(一)均匀分布其其它它，,0 ,1)(bxaabxf(二)指数分布 0 ,00 ,1)(xxexfx (三)正态分布x ,21)(222)(xexf14 标准正态分布标准正态分布:XN(0,1)2221)(xex dtexxt2221)(),(2 NX)1,0(NXZ x)(x)()(xxF 1221xxxXxP 154 4 随机变量的函数随机变量的函数的的分布分布一、一、离散型随机变量函数的分布律离散型随机变量函数的分布律二、连续型随机变量函数的概率密度二、连续型随机变量函数的概率密度方法方法：由随机变量：由
11、随机变量X的概率密度的概率密度 去求去求 随机变量随机变量Y=g(X)的概率密度的概率密度 (step1)求出求出Y的分布函数的表达式的分布函数的表达式;(step2)由分布函数求导数，即可得到由分布函数求导数，即可得到.)(xfX)(yfY16第三章第三章 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布1.二维随机变量二维随机变量设设E一随机试验一随机试验,样本空间样本空间S=e,X、Y是定义在是定义在S上的随机变量上的随机变量,向量向量(X,Y)叫做叫做二维随机变二维随机变(向向)量量.2.二维随机向量二维随机向量(X,Y)的分布函数的分布函数),(),(yYxXPyxF 性质：性质：(1)F(
12、x,y)是变量是变量 x 和和 y 的不减函数；的不减函数；(2)0 F(x,y)1,且且 F(-,y)=0,F(x,-)=0,F(-,-)=0,F(,)=1,F(+,y)=FY(y),F(x,+)=FX(x)(3)F(x,y)关于关于 x 和和 y右连续右连续;(4)对于任意对于任意x1 x2,y1 y2,有有 F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2)0.173.3.边缘分布边缘分布(),(,)XFxP XxP Xx YF x (),(,)YFyP YyP XYyFy 4.随机变量独立性的定义随机变量独立性的定义)()(),(yFxFyxFYX 2Ryx ),(
13、2Ryx ),(18 ippp21 1.1.联合分布律：联合分布律：),2,1,(,jipyYxXPijji.1211jiijp101ijp性质：性质：21jyyy 212222111211ijiijjppppppppp 21ixxxYXjppp 21 2.边缘分布律边缘分布律 ipjp 1193 3.独立性独立性),2,1,(,jipppjiij yyxxijjipyxF),(4.4.分布函数分布函数2Ryx ),(20,0),(1 yxf,1),(2 dxdyyxfdudvvufyxFxy ),(),(3。.),(,),(F),(42的连续点的连续点在在yxfyxyxyxf .,),(GY
14、)P(X,5是一平面区域是一平面区域GdxdyyxfG 1.联合概率密度及性质联合概率密度及性质),(),(xydudvvufyxF212.2.边缘概率密度边缘概率密度X 的的边缘概率密度边缘概率密度 xdyyxfxfX ,),()()(,)()xxXXF xf x y dy dxfx dx Y 的的边缘概率密度边缘概率密度 ydxyxfyfY ,),()(边缘分布函数边缘分布函数dyyfdydxyxfyFyYyY)(),()(3.独立性独立性)()(),(yfxfyxfYX2Ryx ),(22(3)若若),(21,1 NX)(22,2 NY,且且X与与Y相互独立相互独立,则则),(22212
15、,1 NYXX+Y 仍服从正态分布仍服从正态分布,且且),(1211 niiniiniiNX 且相互独立且相互独立,则则),2,1(),(2,niNXiii 推广推广:若若(4)有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.(2)若若,),(),(222121 NYX0 X与与Y相互独立相互独立则则,),(),(222121 NYX(1)若若),(X211 N),(Y222 N则则正态分布随机变量的一些常用性质正态分布随机变量的一些常用性质),(12211 niiiniiiniiiaaNXa 23(1)Z=X+Y 的分布的分布 分
16、布函数分布函数:zyxZdxdyyxfzZPF),()(z概率密度概率密度:dxxzxfdyyyzfzfZ),(),()(当当X 和和Y 相互独立相互独立:卷积公式卷积公式 dxxzfxfzfYXZ)()()(dyyfyzfYX)()(两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布24(2)当当X 和和Y 相互独立时相互独立时:M=max(X,Y)的分布函数的分布函数)()()(maxzFzFzMPzFYXN=min(X,Y)的分布函数的分布函数)(minzNPzF)(1)(1 1zFzFYX25第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征(一一)数学期望数学期望(均值均值),2,1,
17、PX kpxkk(1-1)(1-1)X:离散型离散型.kkkpxXE 1)(分布律分布律:kkkpxgXgEYE 1)()()(Y=g(X)（g g 为连续函数）为连续函数）函数：函数：(1-2)(1-2)26若若 Z=g(X,Y)（g为二元连续函数）为二元连续函数）(1-3)(1-3)设设(X,Y)离散型随机变量离散型随机变量.分布律为：分布律为：,2,1,Y,PX jipyxijjiijijijpyxgYXgEZE 11),(),()(则则27(2-1)(2-1):连续型连续型 概率密度为概率密度为f(x).dxxfxXE)()(dxxfxgXgEYE)()()()(Y=g(X)（g g
18、为连续函数）为连续函数）(2-2)(2-2)函数：函数：28则则(2-3)(2-3)设设(X,Y)是连续型随机变量是连续型随机变量,概率密度为概率密度为 f(x,y).若若 Z=g(X,Y)（g为二元连续函数）为二元连续函数）dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(dxdyyxfxXE),()(dxdyyxfyYE),()(29(总结总结)数学期望数学期望(均值均值)kkkpxXE 1)(kkkpxgXgEYE 1)()()(dxxfxXE)()(dxxfxgXgEYE)()()()(ijijijpyxgYXgEZE 11),(),()(dxdyyxfyxgYXgEZE),(),
19、(),()(dxdyyxfxXE),()(dxdyyxfyYE),()(ijiijpxXE 11)(ijiijpyYE 11)(30(3)数学期望的性质:假设以下随机变量的数学期望均存在假设以下随机变量的数学期望均存在 1.E(C)=C,（C 是常数是常数）2.E(CX)=CE(X),（C 是常数是常数）3.E(X Y)=E(X)E(Y),4.设设X与与Y 相互独立相互独立,则则 E(XY)=E(X)E(Y)，反之不真。反之不真。31kkkpxXD 21E(X)(1,2,k ,PX kkpx1.1.若若X离散型离散型.dxxfxXD)(E(X)(2 2.2.若若X连续型连续型.概率密度为概率密
20、度为 f(x)E(X)XEVar(X)D(X)2 (1)(1)22E(X)E(XD(X)计算公式：计算公式：D(X)(x 3.3.均方差或标准差均方差或标准差:32 假设下列方差均存在假设下列方差均存在 1.D(C)=0,(C为常数为常数)2.D(CX)=C2 D(X),(C为常数为常数)3.设设X与与Y是两个随机变量，则有是两个随机变量，则有 特别，特别，若若X与与Y相互独立相互独立:D(XY)=D(X)+D(Y)4.D(X)=0 PX=E(X)=1.),(2)()()()(2)()()(YXCovYDXDYEYXEXEYDXDYXD (2)(2)方差的性质方差的性质335 5。若若X服从指
21、数分布服从指数分布,则则 E(X)=,)=,D(X)=.)=.3 3。若若X(),),则则 E(X)=)=,D(X)=)=.4 4。若若X服从区间服从区间(a,b)均匀分布均匀分布，则则 E(X)=()=(a+b)/2,)/2,D(X)=()=(b-a)2 2/12./12.6 6。若若XN(,2),则则E(X)=)=,D(X)=)=2.2。若若Xb(n,p),则则 E(X)=)=np,D(X)=)=np(1-P).1 1。若若X服从服从两点分布两点分布,则则 E(X)=)=p,D(X)=)=p(1-P).(三三)一些常见分布的期望与方差一些常见分布的期望与方差 2 34 设随机变量设随机变量
22、X的数学期望的数学期望E(X)=,方差方差D(X)=2 2.则对任意的正数则对任意的正数，有，有 上式称为切比雪夫上式称为切比雪夫(chebyshev)不等式不等式22|-XP|注注 此不等式给出了此不等式给出了 在随机变量的分布未知的情况下在随机变量的分布未知的情况下,事件事件 的概率值的一种估计方法的概率值的一种估计方法.|-X|35协方差协方差:)()(),(YEYXEXEYXCov 计算公式计算公式：1。Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)2。D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y)相关系数相关系数:D(Y)D(X)Y)Cov(X,XY X与与Y不相关不相关:XY=0
23、36协方差的性质：协方差的性质：1 1。Cov(X,X)=D(X)2 2。Cov(X,Y)=Cov(Y,X)3。Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)(a,b为常数为常数)4 4。Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)Cov(aX1+bX2,Y)=aCov(X1,Y)+bCov(X2,Y)37相关系数的性质：相关系数的性质：.11 xy.1,12 bXaYPbaxy使使常常数数 注注:1)1)若随机变量若随机变量X与与Y相互独立相互独立,则则X与与Y一定不相关一定不相关;反之不一定成立。反之不一定成立。2)2)对对二维正态随机变量二维正态随机变量(X,Y):X与与
24、Y不相关不相关 X与与Y独立独立 3)3)二维正态分布只要知道二维正态分布只要知道X与与Y的分布及相关系的分布及相关系 数即可确定数即可确定.0 38 设设X,Y为随机变量为随机变量,则则,2,1),E(X kk,2,1,),YE(X lklk1)1)X的的k阶原点矩阶原点矩(k阶矩阶矩)：2)2)X和和Y的的k+l 阶混合矩：阶混合矩：(五五)矩矩 协方差矩阵协方差矩阵,2,1,E(X)-EX kk3)3)X的的k阶中心矩：阶中心矩：,2,1,E(Y)-YE(X)-EX lklk4)4)X和和Y的的k+l 阶混合中心矩：阶混合中心矩：39几个常用的矩统计量样本均值样本标准差样本k阶原点矩样本
25、k阶中心矩;11 niiXnX212)(11XXnSnii 21)(11XXnSnii ),.,2,1(11nkXnAnikik ),.,2,1()(11nkXXnBkniik 样本方差 21211XnXnnii40 设X1,X2,Xn是来自总体 N(0,1)的样本,则2.2)(,)(22nDnE )(2n )(2222212nXXXn 设XN(0,1),Y2(n),且X与Y独立,则 t)(/ntnYXt)(nt)(nt F分布设U2(n1),V2(n2),且U 与V独立,则),(/2121nnFnVnUF 0F(n1,n2)41 总体总体X均值为均值为 ,方差为方差为 2,X1,X2,Xn是
26、来自是来自X 的样本的样本,.)(,)(,)(222 SEnXDXE设设X1,X2,Xn是来自正态总体是来自正态总体XN(,2)的样本的样本,则则),(2nNX 独立独立与与2SX)1()1(222 nSn )1,0(NnX )1(ntnSX)1()(12122 nXXnii 42点值估计区间估计假设检验参数估计正态总体方差正态总体均值 用样本(原点)矩作为总体(原点)矩的估计矩估计法:最大似然估计法：最大似然原理的直观想法最大似然原理的直观想法“概概率最大的事件最可能出现率最大的事件最可能出现”，把抽取的样本对应的事件，把抽取的样本对应的事件作为概率最大的事件，然后用此倒推未知参数的值作为概
27、率最大的事件，然后用此倒推未知参数的值.u似然函数:,);();,()(12,1 niinxpxxxLL ,);();,()(12,1 niinxfxxxLL 43 为了估计总体X 的未知参数,通过样本寻求一个区间，并且给出此区间覆盖参数 真值的可信程度这就是总体未知参数的无偏性无偏性（求期望）（求期望）有效性有效性（求方差）（求方差）相合性相合性（对（对n n求求极限极限）设总体X的分布函数F(x;),为未知参数,X1,X2,Xn是取自总体的样本.设 满足 01,则称随机区间 为的置信水平为1-的置信区间.(,),(21nXXX12(,)nX XX 1P 是两个统计量.若置信区间:441.均
28、值的置信区间(a)2为已知时,取枢轴量)1,0(/NnX 置信区间:2 znX 2/2/,znXznX或(b)2为未知时,取枢轴量(1)Xt nSn )1(2ntnSX2.方差2的置信区间)1()1(222 nSn 取枢轴量 )1()1(,)1()1(2212222nSnnSn 450H1Ho 两类错误=P第一类错误=P拒绝H0|H0真=P第二类错误=P接受H0|H0伪我们希望二者都小点，但是二者不可能同时最小，我们希望二者都小点，但是二者不可能同时最小，他们是一个跷跷板的两端，但也不满足他们是一个跷跷板的两端，但也不满足 =1-461.已知nXZ/0 检验统计量:2|zz H0:=0,H1:0.拒绝域:-Z检验法检验统计量：2.未知-t 检验法 nSXt/0)1(|2ntt H0:=0,H1:0.拒绝域:4722220010:,:HH 单总体单总体N(,2)方差方差 2 2的检验的检验-2 2 检验法检验法拒绝域:2222122(1)(1)或nn 双边检验:2220(1)nS 取检验统计量取检验统计量:假设检验与区间估计的关系：假设检验与区间估计的关系：1.所用的工具都一样，同样的随机变量（枢轴量，检验统计量）2.问题的提法不同，所用的原理不同，所以取向不同。即与拒绝域对立的接受域就是区间估计中的置信区间。3.学习的时候注意二者的联系与区别，对比着学习更轻松。48
